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Teorema de Hasse sobre curvas elípticas

El teorema de Hasse sobre curvas elípticas , también conocido como límite de Hasse, proporciona una estimación del número de puntos de una curva elíptica sobre un campo finito , acotando el valor tanto por encima como por debajo.

Si N es el número de puntos de la curva elíptica E sobre un campo finito con q elementos, entonces el resultado de Hasse establece que

La razón es que N difiere de q + 1, el número de puntos de la línea proyectiva sobre el mismo cuerpo, por un 'término de error' que es la suma de dos números complejos , cada uno de valor absoluto.

Este resultado había sido originalmente conjeturado por Emil Artin en su tesis [1] . Hasse lo demostró en 1933, y la prueba se publicó en una serie de artículos en 1936. [2]

El teorema de Hasse es equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de E . En esta forma puede verse como el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado con la curva elíptica.

Límite Hasse-Weil

Una generalización del límite de Hasse a curvas algebraicas de género superior es el límite de Hasse-Weil. Este proporciona un límite para el número de puntos de una curva sobre un cuerpo finito. Si el número de puntos de la curva C de género g sobre el cuerpo finito de orden q es , entonces

Este resultado es nuevamente equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de C , y es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado con la curva.

El límite de Hasse-Weil se reduce al límite de Hasse habitual cuando se aplica a curvas elípticas, que tienen género g=1 .

El límite de Hasse-Weil es una consecuencia de las conjeturas de Weil , propuestas originalmente por André Weil en 1949 y demostradas por André Weil en el caso de las curvas. [3]

Véase también

Notas

  1. ^ Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi :10.1007/BF01181075, ISSN  0025-5874, JFM  51.0144.05 , SEÑOR  1544652, S2CID  117936362
  2. ^ Hasse, Helmut (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III", Crelle's Journal , 1936 (175), doi :10.1515/crll.1936.175.193, ISSN  0075-4102, S2CID  118733025, Zbl  0014.14903
  3. ^ Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en cuerpos finitos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, MR  0029393

Referencias