Teorema de Kutta-Joukowski

Fórmula que relaciona la sustentación de un perfil aerodinámico con la velocidad, la densidad y la circulación del fluido.

El teorema de Kutta-Joukowski es un teorema fundamental en aerodinámica que se utiliza para calcular la sustentación de un perfil aerodinámico (y cualquier cuerpo bidimensional, incluidos los cilindros circulares) que se traslada en un fluido uniforme a una velocidad constante tan grande que el flujo visto en el marco fijo del cuerpo es constante y no separado . El teorema relaciona la sustentación generada por un perfil aerodinámico con la velocidad del perfil aerodinámico a través del fluido, la densidad del fluido y la circulación alrededor del perfil aerodinámico. La circulación se define como la integral de línea alrededor de un bucle cerrado que encierra el perfil aerodinámico del componente de la velocidad del fluido tangente al bucle. ^[1] Recibe su nombre en honor a Martin Kutta y Nikolai Zhukovsky (o Joukowski), quienes desarrollaron por primera vez sus ideas clave a principios del siglo XX. El teorema de Kutta-Joukowski es una teoría no viscosa , pero es una buena aproximación para el flujo viscoso real en aplicaciones aerodinámicas típicas. ^[2]

El teorema de Kutta-Joukowski relaciona la sustentación con la circulación de forma muy similar a como el efecto Magnus relaciona la fuerza lateral (llamada fuerza Magnus) con la rotación. ^[3] Sin embargo, la circulación aquí no es inducida por la rotación del perfil aerodinámico. El flujo de fluido en presencia del perfil aerodinámico puede considerarse como la superposición de un flujo traslacional y un flujo rotatorio. Este flujo rotatorio es inducido por los efectos de la comba , el ángulo de ataque y el borde de salida agudo del perfil aerodinámico. No debe confundirse con un vórtice como un tornado que rodea el perfil aerodinámico. A una gran distancia del perfil aerodinámico, el flujo rotatorio puede considerarse inducido por un vórtice lineal (con la línea rotatoria perpendicular al plano bidimensional). En la derivación del teorema de Kutta-Joukowski, el perfil aerodinámico generalmente se mapea sobre un cilindro circular. En muchos libros de texto, el teorema se demuestra para un cilindro circular y el perfil aerodinámico de Joukowski , pero es válido para los perfiles aerodinámicos generales.

Fórmula de fuerza de sustentación

El teorema se aplica al flujo bidimensional alrededor de un perfil aerodinámico fijo (o cualquier forma de envergadura infinita ). La sustentación por unidad de envergadura del perfil aerodinámico se da por ^[4] ${\displaystyle L'\,}$

donde y son la densidad del fluido y la velocidad del fluido aguas arriba del perfil aerodinámico, y la circulación se define como la integral de línea ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \,ds}$

alrededor de un contorno cerrado que encierra el perfil aerodinámico y se sigue en la dirección negativa (en el sentido de las agujas del reloj). Como se explica a continuación, esta trayectoria debe estar en una región de flujo potencial y no en la capa límite del cilindro. El integrando es el componente de la velocidad local del fluido en la dirección tangente a la curva , y es una longitud infinitesimal en la curva . La ecuación (1) es una forma del teorema de Kutta-Joukowski . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V\cos \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle C}$

Kuethe y Schetzer exponen el teorema de Kutta-Joukowski de la siguiente manera: ^[5]

La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre un cilindro recto de cualquier sección transversal es igual y perpendicular a la dirección de ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma }$ ${\displaystyle V_{\infty }.}$

Circulación y condición de Kutta

Un perfil aerodinámico que produce sustentación tiene curvatura o funciona con un ángulo de ataque positivo , el ángulo entre la línea de cuerda y el flujo de fluido aguas arriba del perfil aerodinámico. Además, el perfil aerodinámico debe tener un borde de salida agudo.

Cualquier fluido real es viscoso, lo que implica que la velocidad del fluido se desvanece en el perfil aerodinámico. Prandtl demostró que para un número de Reynolds grande , definido como , y un ángulo de ataque pequeño, el flujo alrededor de un perfil aerodinámico delgado está compuesto por una región viscosa estrecha llamada capa límite cerca del cuerpo y una región de flujo no viscoso en el exterior. Al aplicar el teorema de Kutta-Joukowski, el bucle debe elegirse fuera de esta capa límite. (Por ejemplo, la circulación calculada utilizando el bucle correspondiente a la superficie del perfil aerodinámico sería cero para un fluido viscoso). ${\displaystyle {\mathord {\text{Re}}}={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}$

El requisito del borde de salida agudo corresponde físicamente a un flujo en el que el fluido que se mueve a lo largo de las superficies superior e inferior del perfil aerodinámico se encuentra suavemente, sin que haya fluido moviéndose alrededor del borde de salida del perfil aerodinámico. Esto se conoce como la condición de Kutta .

Kutta y Joukowski demostraron que para calcular la presión y la sustentación de un perfil aerodinámico delgado para flujo con un número de Reynolds grande y un ángulo de ataque pequeño, se puede suponer que el flujo es no viscoso en toda la región exterior del perfil aerodinámico siempre que se imponga la condición de Kutta. Esto se conoce como la teoría del flujo potencial y funciona notablemente bien en la práctica.

Derivación

A continuación se presentan dos derivaciones. La primera es un argumento heurístico , basado en la percepción física. La segunda es formal y técnica, que requiere un análisis vectorial básico y un análisis complejo .

Argumento heurístico

Para un argumento heurístico, considere un perfil aerodinámico delgado de cuerda y envergadura infinita, que se mueve a través del aire de densidad . Deje que el perfil aerodinámico esté inclinado hacia el flujo que se aproxima para producir una velocidad del aire en un lado del perfil aerodinámico y una velocidad del aire en el otro lado. La circulación es entonces ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V+v}$

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$

La diferencia de presión entre los dos lados del perfil aerodinámico se puede encontrar aplicando la ecuación de Bernoulli : ${\displaystyle \Delta P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)&={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,\\{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P&={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,\\\Delta P&=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la fuerza descendente sobre el aire, por unidad de longitud, es

${\displaystyle L'=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma \,}$

y la fuerza ascendente (sustentación) sobre el perfil aerodinámico es ${\displaystyle \rho V\Gamma .\,}$

Una versión diferencial de este teorema se aplica a cada elemento de la placa y es la base de la teoría de perfiles aerodinámicos delgados .

Derivación formal

Derivación formal del teorema de Kutta-Joukowski

En primer lugar, se calcula la fuerza ejercida sobre cada unidad de longitud de un cilindro de sección transversal arbitraria. ^[6] Sea esta fuerza por unidad de longitud (a partir de ahora denominada simplemente fuerza) . Por lo tanto, la fuerza total es: ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$

donde C denota la línea límite del cilindro, es la presión estática del fluido, es el vector unitario normal al cilindro y ds es el elemento de arco de la línea límite de la sección transversal. Ahora sea el ángulo entre el vector normal y la vertical. Entonces los componentes de la fuerza anterior son: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \,}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\,,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$

Ahora viene un paso crucial: considerar el espacio bidimensional utilizado como un plano complejo . De modo que cada vector puede representarse como un número complejo , con su primer componente igual a la parte real y su segundo componente igual a la parte imaginaria del número complejo. Entonces, la fuerza puede representarse como:

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$

El siguiente paso es tomar el conjugado complejo de la fuerza y ​​​​hacer alguna manipulación: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$

Los segmentos de superficie ds están relacionados con los cambios dz a lo largo de ellos mediante:

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\\{}\Rightarrow d{\bar {z}}&=e^{-i\phi }ds.\end{aligned}}}$

Conectando esto nuevamente a la integral, el resultado es:

${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$

Ahora se utiliza la ecuación de Bernoulli para eliminar la presión de la integral. A lo largo del análisis se supone que no hay ningún campo de fuerza externo presente. La densidad de masa del flujo es Entonces la presión se relaciona con la velocidad mediante: ${\displaystyle \rho .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$

Con esto la fuerza se convierte en: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$

Solo queda un paso por hacer: introducir el potencial complejo del flujo. Esto está relacionado con los componentes de velocidad como donde el apóstrofo denota diferenciación respecto de la variable compleja z . La velocidad es tangente a la línea límite C , por lo que esto significa que Por lo tanto, y se obtiene la expresión deseada para la fuerza: ${\displaystyle w=f(z),}$ ${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$ ${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$ ${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,}$

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$

que se llama teorema de Blasius .

Para llegar a la fórmula de Joukowski, se debe evaluar esta integral. Del análisis complejo se sabe que una función holomorfa se puede presentar como una serie de Laurent . De la física del problema se deduce que la derivada del potencial complejo se verá así: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots .}$

La función no contiene términos de orden superior, ya que la velocidad permanece finita en el infinito. Por lo tanto, representa la derivada del potencial complejo en el infinito: . La siguiente tarea es averiguar el significado de . Utilizando el teorema del residuo en la serie anterior: ${\displaystyle a_{0}\,}$ ${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$ ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$

Ahora realice la integración anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}w'(z)\,dz&=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{aligned}}}$

La primera integral se reconoce como la circulación denotada por La segunda integral se puede evaluar después de alguna manipulación: ${\displaystyle \Gamma .}$

${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$

Aquí está la función de corriente . Dado que el borde C del cilindro es una línea de corriente en sí mismo, la función de corriente no cambia en él y . Por lo tanto, la integral anterior es cero. Como resultado: ${\displaystyle \psi \,}$ ${\displaystyle d\psi =0\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$

Tome el cuadrado de la serie:

${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\cdots .}$

Conectando esto nuevamente a la fórmula de Blasius-Chaplygin y realizando la integración utilizando el teorema del residuo:

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$

Y entonces la fórmula de Kutta-Joukowski es:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=\rho \Gamma v_{y\infty }\,,&F_{y}&=-\rho \Gamma v_{x\infty }.\end{aligned}}}$

Fuerzas de elevación para situaciones más complejas

La sustentación predicha por el teorema de Kutta-Joukowski en el marco de la teoría del flujo potencial no viscoso es bastante precisa, incluso para un flujo viscoso real, siempre que el flujo sea constante y no esté separado. ^[7] Al derivar el teorema de Kutta-Joukowski, se utilizó el supuesto de flujo irrotacional. Cuando hay vórtices libres fuera del cuerpo, como puede ser el caso de una gran cantidad de flujos inestables, el flujo es rotacional. Cuando el flujo es rotacional, se deben utilizar teorías más complicadas para derivar las fuerzas de sustentación. A continuación se presentan varios ejemplos importantes.

Flujo iniciado impulsivamente en un ángulo de ataque pequeño.

En el caso de un flujo iniciado de forma impulsiva, como el que se obtiene al acelerar de repente un perfil aerodinámico o al fijar un ángulo de ataque, se forma una lámina de vórtice que se desprende continuamente en el borde de salida y la fuerza de sustentación es inestable o depende del tiempo. En el caso de un flujo de inicio con un ángulo de ataque pequeño, la lámina de vórtice sigue una trayectoria plana y la curva del coeficiente de sustentación en función del tiempo está dada por la función de Wagner. ^[8] En este caso, la sustentación inicial es la mitad de la sustentación final dada por la fórmula de Kutta-Joukowski. ^[9] La sustentación alcanza el 90 % de su valor de estado estable cuando el ala ha recorrido una distancia de aproximadamente siete longitudes de cuerda.

Flujo iniciado impulsivamente con un gran ángulo de ataque.

Cuando el ángulo de ataque es suficientemente alto, la capa de vórtice del borde de salida inicialmente tiene forma de espiral y la sustentación es singular (infinitamente grande) en el momento inicial. ^[10] La sustentación cae durante un período de tiempo muy corto antes de que se alcance la curva de sustentación que generalmente se supone que aumenta monótonamente.

Flujo inicial en un gran ángulo de ataque para alas con bordes de ataque afilados

Si, como en el caso de una placa plana, el borde de ataque también es agudo, entonces también se desprenden vórtices en el borde de ataque y el papel de los vórtices del borde de ataque es doble: 1) aumentan la sustentación cuando todavía están cerca del borde de ataque, de modo que elevan la curva de sustentación de Wagner, y 2) son perjudiciales para la sustentación cuando se convección hacia el borde de salida, induciendo una nueva espiral de vórtices del borde de salida que se mueve en la dirección de disminución de la sustentación. Para este tipo de flujo, se puede utilizar un mapa de líneas de fuerza de vórtice (VFL) ^[11] para comprender el efecto de los diferentes vórtices en una variedad de situaciones (incluidas más situaciones que el flujo inicial) y se puede utilizar para mejorar el control de vórtices para aumentar o reducir la sustentación. El mapa de líneas de fuerza de vórtice es un mapa bidimensional en el que se muestran las líneas de fuerza de vórtice. En cualquier punto del flujo, la contribución de la sustentación a un vórtice es proporcional a su velocidad, su circulación y el coseno del ángulo entre la línea de corriente y la línea de fuerza del vórtice. Por lo tanto, el mapa de líneas de fuerza del vórtice muestra claramente si un vórtice determinado produce sustentación o la perjudica.

Teorema de Lagally

Cuando una fuente (de masa) está fijada fuera del cuerpo, una corrección de fuerza debida a esta fuente se puede expresar como el producto de la fuerza de la fuente externa y la velocidad inducida en esta fuente por todas las causas excepto esta fuente. Esto se conoce como el teorema de Lagally. ^[12] Para el flujo no viscoso bidimensional, el teorema clásico de Kutta Joukowski predice una resistencia cero. Sin embargo, cuando hay un vórtice fuera del cuerpo, hay una resistencia inducida por el vórtice, en una forma similar a la sustentación inducida.

Teorema generalizado de Lagally

Para vórtices libres y otros cuerpos fuera de un cuerpo sin vorticidad límite y sin producción de vórtices, se cumple un teorema de Lagally generalizado ^[13] , con el que las fuerzas se expresan como los productos de la fuerza de las singularidades internas (vórtices de imagen, fuentes y dobletes dentro de cada cuerpo) y la velocidad inducida en estas singularidades por todas las causas excepto aquellas dentro de este cuerpo. La contribución debida a cada singularidad interna se suma para dar la fuerza total. El movimiento de las singularidades externas también contribuye a las fuerzas, y el componente de fuerza debido a esta contribución es proporcional a la velocidad de la singularidad.

Fuerza individual de cada cuerpo para flujo rotacional de múltiples cuerpos

Cuando además de múltiples vórtices libres y múltiples cuerpos, hay vórtices ligados y producción de vórtices en la superficie del cuerpo, el teorema generalizado de Lagally todavía se cumple, pero existe una fuerza debido a la producción de vórtices. Esta fuerza de producción de vórtices es proporcional a la tasa de producción de vórtices y la distancia entre el par de vórtices en producción. Con este enfoque, una fórmula de fuerza explícita y algebraica, que tiene en cuenta todas las causas (singularidades internas, vórtices y cuerpos externos, movimiento de todas las singularidades y cuerpos, y producción de vórtices) se cumple individualmente para cada cuerpo ^[14] con el papel de otros cuerpos representados por singularidades adicionales. Por lo tanto, es posible una descomposición de la fuerza según los cuerpos.

Flujo viscoso tridimensional general

En el caso de flujos tridimensionales, viscosos e inestables, las fórmulas de fuerza se expresan en formas integrales. La integración volumétrica de ciertas magnitudes de flujo, como los momentos de vorticidad, está relacionada con las fuerzas. Actualmente, existen diversas formas de enfoque integral para dominios ilimitados ^{[9] [15] [16]} y para dominios truncados artificialmente ^[17] . El teorema de Kutta Joukowski se puede recuperar a partir de estos enfoques cuando se aplica a un perfil aerodinámico bidimensional y cuando el flujo es constante y no está separado.

Teoría de líneas de sustentación para alas, vórtices en las puntas de las alas y resistencia inducida

Un ala tiene una envergadura finita, y la circulación en cualquier sección del ala varía con la dirección de la envergadura. Esta variación se compensa con la liberación de vórtices en el sentido de la corriente, llamados vórtices de cola , debido a la conservación de la vorticidad o Teorema de Kelvin de Conservación de la Circulación. Estos vórtices en el sentido de la corriente se fusionan en dos espirales fuertes que giran en sentido contrario separadas por una distancia cercana a la envergadura del ala y sus núcleos pueden ser visibles si la humedad relativa es alta. Tratar los vórtices de cola como una serie de vórtices en línea recta semiinfinitos conduce a la conocida teoría de la línea de sustentación. Según esta teoría, el ala tiene una fuerza de sustentación menor que la predicha por una teoría puramente bidimensional que utiliza el teorema de Kutta-Joukowski. Esto se debe a los efectos ascendentes de la corriente descendente agregada de los vórtices de cola sobre el ángulo de ataque del ala. Esto reduce el ángulo de ataque efectivo del ala, disminuyendo la cantidad de sustentación producida en un ángulo de ataque determinado y requiriendo un ángulo de ataque más alto para recuperar esta sustentación perdida. En este nuevo ángulo de ataque más alto, la resistencia también ha aumentado. La resistencia inducida reduce efectivamente la pendiente de la curva de sustentación de un perfil aerodinámico 2-D y aumenta el ángulo de ataque de (al mismo tiempo que disminuye el valor de ). ${\displaystyle C_{L_{\max }}}$ ${\displaystyle C_{L_{\max }}}$

Véase también

• Vórtice de herradura

Referencias

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7. Anderson, J. (2010). Fundamentos de aerodinámica . McGraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering. Nueva York: McGraw-Hill Education.
8. Wagner, H. (1925). "Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflügeln". Z. Angew. Matemáticas. Mec. 5 (1): 17–35. Código Bib : 1925ZaMM....5...17W. doi :10.1002/zamm.19250050103.
9. Saffman, PG (1992). Dinámica de vórtices . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42058-X.
10. Graham, JMR (1983). "La sustentación de un perfil aerodinámico en el flujo inicial". Journal of Fluid Mechanics . 133 : 413–425. Bibcode :1983JFM...133..413G. doi :10.1017/S0022112083001986. S2CID  123501457.
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Bibliografía

• Milne-Thomson, LM (1973) Aerodinámica teórica , Dover Publications Inc, Nueva York