Número de Kaprekar

Propiedad dependiente de la base de los números enteros

En matemáticas , un número natural en una base numérica dada es un número de - Kaprekar si la representación de su cuadrado en esa base se puede dividir en dos partes, donde la segunda parte tiene dígitos que suman el número original. Por ejemplo, en base 10 , 45 es un número de 2-Kaprekar, porque 45² = 2025 y 20 + 25 = 45. Los números reciben su nombre de DR Kaprekar . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Definición y propiedades

Sea un número natural. Entonces, la función de Kaprekar para la base y la potencia se define de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\alpha +\beta }$,

donde y ${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}}$

Un número natural es un número de Kaprekar si es un punto fijo para , lo que ocurre si . y son números de Kaprekar triviales para todos y , todos los demás números de Kaprekar son números de Kaprekar no triviales . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

El ejemplo anterior de 45 satisface esta definición con y , porque ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20}$

${\displaystyle F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45}$

Un número natural es un número de Kaprekar sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo (donde es el iterador th de ), y forma un ciclo de período . Un número de Kaprekar es un número de Kaprekar sociable con , y un número de Kaprekar amistoso es un número de Kaprekar sociable con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función Kaprekar de , y es indefinido si nunca alcanza un punto fijo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Sólo hay un número finito de números y ciclos de -Kaprekar para una base dada , porque si , donde entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n=b^{p}+m}$ ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}}$

y , , y . Sólo cuando existen los números y ciclos de Kaprekar. ${\displaystyle \beta =m^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =b^{p}+2m}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n}$ ${\displaystyle n\leq b^{p}}$

Si es cualquier divisor de , entonces también es un número -Kaprekar para la base . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b^{p}}$

En base , todos los números perfectos pares son números de Kaprekar. En términos más generales, cualquier número de la forma o para un número natural es un número de Kaprekar en base 2 . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}+1)}$ ${\displaystyle n}$

Definición de teoría de conjuntos y divisores unitarios

El conjunto de un número entero dado se puede definir como el conjunto de números enteros para los cuales existen números naturales y que satisfacen la ecuación diofántica ^[1] ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X^{2}=AN+B}$, dónde ${\displaystyle 0\leq B<N}$

${\displaystyle X=A+B}$

Un número -Kaprekar para base es entonces aquel que se encuentra en el conjunto . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K(b^{n})}$

En 2000 se demostró ^[1] que existe una biyección entre los divisores unitarios de y el conjunto definido anteriormente. Sea , denotemos el inverso multiplicativo de módulo , es decir, el menor entero positivo tal que , y para cada divisor unitario de sea y . Entonces, la función es una biyección del conjunto de divisores unitarios de sobre el conjunto . En particular, un número está en el conjunto si y solo si para algún divisor unitario de . ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Inv} (a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle am=1{\bmod {c}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle \zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$

Los números en aparecen en pares complementarios, y . Si es un divisor unitario de entonces también lo es , y si entonces . ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N-X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle X=d\operatorname {Inv} (d,e)}$ ${\displaystyle N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)}$

Números de Kaprekar para F p , b {\displaystyle F_{p,b}}

b= 4a+ 3 ypag= 2norte+ 1

Sean y números naturales, la base numérica , y . Entonces: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=4k+3=2(2k+1)+1}$ ${\displaystyle p=2n+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.

Prueba

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Los dos números y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

y su suma es

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, es un número de Kaprekar. ${\displaystyle X_{1}}$

• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar para todos los números naturales . ${\displaystyle n}$

Prueba

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Los dos números y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

y su suma es

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, es un número de Kaprekar. ${\displaystyle X_{2}}$

b=metro2a+metro+ 1 ypag=Minnesota+ 1

Sean , , y números naturales, la base numérica , y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar.

b=metro2a+metro+ 1 ypag=Minnesota+metro− 1

Sean , , y números naturales, la base numérica , y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1}$es un número de Kaprekar.

b=metro2a+metro2−metro+ 1 ypag=Minnesota+ 1

Sean , , y números naturales, la base numérica , y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar.

b=metro2a+metro2−metro+ 1 ypag=Minnesota+metro− 1

Sean , , y números naturales, la base numérica , y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1}$es un número de Kaprekar.

Números y ciclos de Kaprekar F p , b {\displaystyle F_{p,b}} para específico p {\displaystyle p} , b {\displaystyle b}

Todos los números están en base . ${\displaystyle b}$

Extensión a números enteros negativos

Los números de Kaprekar se pueden extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número automórfico
• Número de Dudeney
• Factorión
• Número feliz
• La constante de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Invariante perfecto de dígito a dígito
• Invariante digital perfecto
• Número suma-producto

Notas

1. Iannucci (2000)

Referencias

• DR Kaprekar (1980–1981). "Sobre los números de Kaprekar". Revista de Matemáticas Recreativas . 13 : 81–82.
• M. Charosh (1981–1982). "Algunas aplicaciones de la extracción de números 999...". Journal of Recreational Mathematics . 14 : 111–118.
• Iannucci, Douglas E. (2000). "Los números de Kaprekar". Journal of Integer Sequences . 3 : 00.1.2. Código Bibliográfico :2000JIntS...3...12I.