El icosaedro de Jessen , a veces llamado icosaedro ortogonal de Jessen , es un poliedro no convexo con el mismo número de vértices, aristas y caras que el icosaedro regular . Recibe su nombre en honor a Børge Jessen , quien lo estudió en 1967. [1] En 1971, Adrien Douady descubrió y estudió de forma independiente una familia de poliedros no convexos que incluía esta forma bajo el nombre de icosaedro de seis picos ; [2] [3] autores posteriores han aplicado variantes de este nombre de forma más específica al icosaedro de Jessen. [4]
Las caras del icosaedro de Jessen se encuentran sólo en ángulos rectos , aunque no tiene una orientación en la que todas sean paralelas a los planos de coordenadas. Es un "poliedro inestable", lo que significa que (como un poliedro flexible ) no es infinitesimalmente rígido . Delinear los bordes de este poliedro con puntales y cables produce una estructura de tensegridad ampliamente utilizada , [5] también llamada tensegridad de seis barras , [6] icosaedro de tensegridad u octaedro expandido . [7]
Los vértices del icosaedro de Jessen pueden elegirse para que tengan como coordenadas los doce tripletes dados por las permutaciones cíclicas de las coordenadas . [1] Con esta representación de coordenadas, las aristas cortas del icosaedro (las que tienen ángulos convexos) tienen longitud , y las aristas largas (reflejas) tienen longitud . Las caras del icosaedro son ocho triángulos equiláteros congruentes con la longitud del lado corto, y doce triángulos isósceles obtusos congruentes con una arista larga y dos aristas cortas. [8]
El icosaedro de Jessen es transitivo en vértices (o isogonal ), lo que significa que tiene simetrías que llevan cualquier vértice a cualquier otro vértice. [9] Sus ángulos diedros son todos ángulos rectos . Se puede utilizar como base para la construcción de una familia infinita de poliedros combinatoriamente distintos con ángulos diedros rectos, formados al pegar copias del icosaedro de Jessen juntas en sus caras de triángulo equilátero. [1]
Al igual que con el poliedro de Schönhardt más simple , el interior del icosaedro de Jessen no se puede triangular en tetraedros sin agregar nuevos vértices . [10] Sin embargo, debido a que sus ángulos diedros son múltiplos racionales de , tiene un invariante de Dehn igual a cero. Por lo tanto, es congruente con un cubo, lo que significa que se puede cortar en piezas poliédricas más pequeñas que se pueden reorganizar para formar un cubo sólido. [1]
Tiene forma de estrella , lo que significa que hay un punto en su interior (por ejemplo, su centro de simetría) desde el que todos los demás puntos son visibles. Proporciona un contraejemplo a una pregunta de Michel Demazure que pregunta si los poliedros en forma de estrella con caras triangulares se pueden hacer convexos deslizando sus vértices a lo largo de rayos desde este punto central. Demazure había conectado esta pregunta con un punto en la geometría algebraica al demostrar que, para poliedros en forma de estrella con caras triangulares, una cierta variedad algebraica asociada con el poliedro sería una variedad proyectiva si el poliedro pudiera hacerse convexo de esta manera. Sin embargo, Adrien Douady demostró que, para una familia de formas que incluye el icosaedro de Jessen, este movimiento deslizante no puede dar como resultado un poliedro convexo. [2] [3] Demazure utilizó este resultado para construir una variedad tridimensional completa racional suave no proyectiva . [11]
El icosaedro de Jessen no es un poliedro flexible : si se construye con paneles rígidos para sus caras, conectados por bisagras, no puede cambiar de forma. Sin embargo, tampoco es infinitesimalmente rígido . Esto significa que existe un movimiento continuo de sus vértices que, si bien no preserva realmente las longitudes de las aristas y las formas de las caras del poliedro, lo hace en una aproximación de primer orden . Como poliedro rígido pero no infinitesimalmente rígido, constituye un ejemplo de un "poliedro inestable". [5] Debido a que cambios muy pequeños en las longitudes de sus aristas pueden causar cambios mucho mayores en sus ángulos, los modelos físicos del poliedro parecen ser flexibles. [4]
Reemplazando los bordes cóncavos-diédricos largos del icosaedro de Jessen por puntales rígidos, y los bordes convexos-diédricos más cortos por cables o alambres, se produce el icosaedro de tensegridad , la estructura que también se ha llamado "tensegridad de seis barras" [6] y el "octaedro expandido". [7] Así como en las esculturas de tensegridad, esta estructura es "la forma más ubicua de robots de tensegridad", y el juguete para niños "Skwish" basado en esta estructura fue "generalizado en la década de 1980". [6] El concepto de "superbola robot" basado en este diseño ha sido propuesto por el Instituto de Conceptos Avanzados de la NASA como una forma de encerrar dispositivos de exploración espacial para aterrizajes seguros en otros planetas. [12] [13] Anthony Pugh llama a esta estructura "quizás la más conocida, y ciertamente una de las figuras de tensegridad más impresionantes". [7]
El icosaedro de Jessen es débilmente convexo , lo que significa que sus vértices están en posición convexa , y su existencia demuestra que los poliedros débilmente convexos no necesitan ser infinitesimalmente rígidos. Sin embargo, se ha conjeturado que los poliedros débilmente convexos que se pueden triangular deben ser infinitesimalmente rígidos, y esta conjetura se ha demostrado bajo el supuesto adicional de que la parte exterior de la envoltura convexa del poliedro también se puede triangular. [14]
Se puede formar una forma similar manteniendo los vértices de un icosaedro regular en sus posiciones originales y reemplazando ciertos pares de triángulos equiláteros por pares de triángulos isósceles. Esta forma también se ha denominado incorrectamente en ocasiones icosaedro de Jessen. [15] Sin embargo, aunque el poliedro resultante tiene la misma estructura combinatoria y simetría que el icosaedro de Jessen, y parece similar, no forma una estructura de tensegridad, [7] y no tiene diedros rectángulos.
El icosaedro de Jessen es uno de una familia continua de icosaedros con 20 caras, 8 de las cuales son triángulos equiláteros y 12 de las cuales son triángulos isósceles. Cada forma de esta familia se obtiene a partir de un octaedro regular dividiendo cada una de sus aristas en la misma proporción y conectando los puntos de división en el patrón de un icosaedro regular. Estas formas se pueden parametrizar por la proporción en la que se dividen las aristas del octaedro. Las formas convexas de esta familia van desde el propio octaedro pasando por el icosaedro regular hasta el cuboctaedro , con sus caras cuadradas subdivididas en dos triángulos rectángulos en un plano. Extender el rango del parámetro más allá de la proporción que da el cuboctaedro produce formas no convexas, incluido el icosaedro de Jessen. Esta familia fue descrita por HSM Coxeter en 1947. [16] Más tarde, las transformaciones expansivas-contractivas retorcidas entre los miembros de esta familia, parametrizadas de forma diferente para mantener un valor constante para una de las dos longitudes de los bordes, fueron denominadas transformaciones jitterbug por Buckminster Fuller . [17]
generalizaron el icosaedro de Jessen a una familia infinita de poliedros rígidos pero no infinitesimalmente rígidos. Estos poliedros son combinatoriamente distintos y tienen grupos de simetría diedros quirales de orden arbitrariamente grande. Sin embargo, a diferencia del icosaedro de Jessen, no todas sus caras son triángulos. [18]
