En matemáticas , una homotecia (u homotecia , u dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero llamado su razón , que envía punto a punto por la regla [1]
para un número fijo .
Usando vectores de posición:
.
En el caso de (Origen):
,
que es una escala uniforme y muestra el significado de opciones especiales para :
para uno se obtiene el mapeo de identidad ,
porque uno obtiene el reflejo en el centro,
Para uno se obtiene el mapeo inverso definido por .
En la geometría euclidiana, las homotecias son las similitudes que fijan un punto y preservan (si ) o invierten (si ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traslaciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de las dilataciones u homotetas-traslaciones . Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de toda recta g es una recta paralela a g .
En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el infinito puntualmente invariante . [2]
En geometría euclidiana, una homotecia de razón multiplica las distancias entre puntos por , las áreas por y los volúmenes por . Aquí está la relación del factor de ampliación o dilatación o el factor de escala o la relación de similitud . Tal transformación puede denominarse ampliación si el factor de escala excede 1. El punto fijo S antes mencionado se llama centro homotético o centro de similitud o centro de similitud .
El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y tesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.
Las homotetas se utilizan para escalar el contenido de las pantallas de computadora; por ejemplo, teléfonos inteligentes, portátiles y portátiles.
Propiedades
Las siguientes propiedades son válidas en cualquier dimensión.
Mapeo de líneas, segmentos de línea y ángulos.
Una homotecia tiene las siguientes propiedades:
Una línea se traza sobre una línea paralela. Por tanto: los ángulos permanecen sin cambios.
Se conserva la proporción de dos segmentos de línea .
Derivación de las propiedades:
Para facilitar los cálculos se supone que el centro es el origen: . Una línea con representación paramétrica se asigna al punto establecido con la ecuación , que es una línea paralela a .
La distancia de dos puntos es y la distancia entre sus imágenes. Por lo tanto, la razón (cociente) de dos segmentos de recta permanece sin cambios.
En el caso del cálculo es análogo pero un poco extenso.
Consecuencias: Un triángulo se traza sobre otro similar . La imagen homotética de un círculo es un círculo. La imagen de una elipse es similar. es decir, la relación de los dos ejes no cambia.
Construcciones gráficas
usando el teorema de la intersección
Si para una homotecia con centro se da la imagen de un punto (ver diagrama), entonces la imagen de un segundo punto , que no está en la línea, se puede construir gráficamente usando el teorema de la intersección: es el punto común a dos líneas y . La imagen de un punto colineal con se puede determinar usando .
usando un pantógrafo
Antes de que las computadoras se volvieran omnipresentes, las escalas de los dibujos se realizaban utilizando un pantógrafo , una herramienta similar a una brújula .
Construcción y fondo geométrico:
Tome 4 varillas y monte un paralelogramo móvil con vértices de modo que las dos varillas que se encuentran se prolonguen en el otro extremo como se muestra en el diagrama. Elige la proporción .
En las varillas prolongadas marque los dos puntos tales que y . Este es el caso si (En lugar de indicar la ubicación del centro . En este caso la proporción es .)
Coloque las varillas móviles giratorias en el punto .
Varíe la ubicación del punto y la marca en cada momento .
Debido a (ver diagrama), del teorema de la intersección se obtiene que los puntos son colineales (se encuentran en una línea) y la ecuación se cumple. Eso muestra: el mapeo es una homotecia con centro y razón .
Composición
La composición de dos homotecias con el mismo centro vuelve a ser una homotecia con centro . Las homotecias con centro forman un grupo .
La composición de dos homotecias con centros diferentes y sus proporciones es
en el caso de una homotecia con su centro en la recta y la razón o
Centro homotético , el centro de una transformación homotética que toma una de un par de formas en la otra.
La conjetura de Hadwiger sobre el número de copias homotéticas estrictamente más pequeñas de un cuerpo convexo que pueden ser necesarias para cubrirlo.
Meserve, Bruce E. (1955), "Transformaciones homotéticas", Conceptos fundamentales de geometría , Addison-Wesley , págs. 166-169
Tuller, Annita (1967), Una introducción moderna a las geometrías , Serie universitaria de matemáticas de pregrado, Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Co.
Enlaces externos
Homothety, subprograma interactivo de Cut-the-Knot .