Un grafo euclidiano (un grafo incrustado en algún espacio euclidiano ) es periódico si existe una base de ese espacio euclidiano cuyas traslaciones correspondientes inducen simetrías de ese grafo (es decir, la aplicación de cualquier traslación de este tipo al grafo incrustado en el espacio euclidiano deja el grafo sin cambios). De manera equivalente, un grafo euclidiano periódico es una realización periódica de un grafo de recubrimiento abeliano sobre un grafo finito. [1] [2] Un grafo euclidiano es uniformemente discreto si hay una distancia mínima entre dos vértices cualesquiera. Los grafos periódicos están estrechamente relacionados con las teselaciones del espacio (o panales) y la geometría de sus grupos de simetría , por lo tanto, con la teoría de grupos geométricos , así como con la geometría discreta y la teoría de politopos y áreas similares.
Gran parte del trabajo en el campo de los gráficos periódicos está motivado por aplicaciones a las ciencias naturales y la ingeniería, en particular de las redes cristalinas tridimensionales para la ingeniería cristalina , la predicción (diseño) de cristales y el modelado del comportamiento de los cristales. Los gráficos periódicos también se han estudiado para modelar circuitos de integración a muy gran escala (VLSI) . [3]
Un grafo euclidiano es un par ( V , E ), donde V es un conjunto de puntos (a veces llamados vértices o nodos) y E es un conjunto de aristas (a veces llamadas enlaces), donde cada arista une dos vértices. Mientras que una arista que conecta dos vértices u y v se interpreta generalmente como el conjunto { u , v }, una arista a veces se interpreta como el segmento de línea que conecta u y v de modo que la estructura resultante es un complejo CW . Existe una tendencia en la literatura poliédrica y química a referirse a los grafos geométricos como redes (en contraste con redes poliédricas ), y la nomenclatura en la literatura química difiere de la de la teoría de grafos. [4] La mayor parte de la literatura se centra en grafos periódicos que son uniformemente discretos en el sentido de que existe e > 0 tal que para dos vértices distintos, su distancia es | u – v | > e .
Desde el punto de vista matemático, un gráfico periódico euclidiano es una realización de un gráfico de recubrimiento abeliano de pliegue infinito sobre un gráfico finito.
La identificación y clasificación de los grupos espaciales cristalográficos tomó gran parte del siglo XIX, y la confirmación de la completitud de la lista fue terminada por los teoremas de Evgraf Fedorov y Arthur Schoenflies . [5] El problema fue generalizado en el problema dieciocho de David Hilbert , y el teorema de Fedorov-Schoenflies fue generalizado a dimensiones superiores por Ludwig Bieberbach . [6]
El teorema de Fedorov-Schoenflies afirma lo siguiente: supongamos que se nos da un grafo euclidiano en el espacio tridimensional tal que se cumplen las siguientes condiciones:
Entonces, el gráfico euclidiano es periódico en el sentido de que los vectores de traslaciones en su grupo de simetría abarcan el espacio euclidiano subyacente, y su grupo de simetría es un grupo espacial cristalográfico .
La interpretación en ciencia e ingeniería es que, puesto que un gráfico euclidiano que representa un material que se extiende a través del espacio debe satisfacer las condiciones (1), (2) y (3), las sustancias no cristalinas, desde los cuasicristales hasta los vidrios, deben violar la condición (4). Sin embargo, en el último cuarto de siglo, se ha reconocido que los cuasicristales comparten suficientes propiedades químicas y físicas con los cristales, por lo que existe una tendencia a clasificarlos como "cristales" y a ajustar la definición de "cristal" en consecuencia. [7]
Gran parte de la investigación teórica de los gráficos periódicos se ha centrado en los problemas de generarlos y clasificarlos.
La mayor parte del trabajo sobre problemas de clasificación se ha centrado en tres dimensiones, en particular en la clasificación de redes cristalinas , es decir, de gráficos periódicos que podrían servir como descripciones o diseños para la colocación de átomos u objetos moleculares, con enlaces indicados por aristas, en un cristal. Uno de los criterios de clasificación más populares es el isomorfismo de grafos, que no debe confundirse con el isomorfismo cristalográfico . A menudo se dice que dos grafos periódicos son topológicamente equivalentes si son isomorfos, aunque no necesariamente homotópicos . Aunque el problema del isomorfismo de grafos es reducible en tiempo polinomial a la equivalencia topológica de la red cristalina (lo que hace que la equivalencia topológica sea candidata a ser "computacionalmente intratable" en el sentido de no ser computable en tiempo polinomial ), una red cristalina generalmente se considera novedosa si y solo si no se conoce una red topológicamente equivalente. Esto ha centrado la atención en los invariantes topológicos.
Un invariante es la matriz de ciclos mínimos (a menudo llamados anillos en la literatura de química) dispuestos alrededor de vértices genéricos y representados en un símbolo de Schläfli . Los ciclos de una red cristalina están relacionados [8] con otro invariante, el de la secuencia de coordinación (o mapa de capas en topología [9] ), que se define de la siguiente manera. Primero, una secuencia de distancia desde un vértice v en un grafo es la secuencia n 1 , n 2 , n 3 , ..., donde n i es el número de vértices de distancia i desde v . La secuencia de coordinación es la secuencia s 1 , s 2 , s 3 , ..., donde s i es la media ponderada de las i -ésimas entradas de las secuencias de distancia de los vértices de las (órbitas de las) redes cristalinas, donde los pesos son la proporción asintótica de los vértices de cada órbita. Las sumas acumuladas de la secuencia de coordinación se denominan densidad topológica , y la suma de los primeros diez términos (más 1 para el término cero), a menudo denominada TD10, es un término de búsqueda estándar en las bases de datos de Crystal Net. Consulte [10] [11] para conocer un aspecto matemático de la densidad topológica que está estrechamente relacionado con la propiedad de gran desviación de los recorridos aleatorios simples.
Otro invariante surge de la relación entre teselaciones y grafos euclidianos. Si consideramos una teselación como un conjunto de regiones sólidas (posiblemente poliédricas), caras (posiblemente poligonales), curvas (posiblemente lineales) y vértices –es decir, como un complejo CW– , entonces las curvas y los vértices forman un grafo euclidiano (o 1-esqueleto ) de la teselación. (Además, el grafo de adyacencia de las teselas induce otro grafo euclidiano.) Si hay un número finito de proto-teselaciones en la teselación, y la teselación es periódica, entonces el grafo euclidiano resultante será periódico. Yendo en la dirección inversa, las proto-teselaciones de una teselación cuyo 1-esqueleto es (topológicamente equivalente a) el grafo periódico dado, tienen otro invariante, y es este invariante el que se calcula mediante el programa informático TOPOS. [12]
Existen varios algoritmos de enumeración de gráficos periódicos existentes, incluida la modificación de redes existentes para producir otras nuevas, [13] pero parece haber dos clases principales de enumeradores.
Uno de los principales algoritmos sistemáticos de enumeración de redes cristalinas existentes [14] se basa en la representación de teselaciones mediante una generalización del símbolo de Schläfli de Boris Delauney y Andreas Dress, por el cual cualquier teselación (de cualquier dimensión) puede representarse mediante una estructura finita [15] , que podemos llamar un símbolo de Dress–Delaney . Cualquier enumerador eficaz de símbolos de Dress–Delaney puede enumerar eficazmente aquellas redes periódicas que corresponden a teselaciones. El enumerador tridimensional de símbolos de Dress–Delaney de Delgado-Friedrichs et al. ha predicho varias redes cristalinas novedosas que se sintetizaron posteriormente. [16] Mientras tanto, un enumerador bidimensional de Dress–Delaney que genera reticulaciones de espacio hiperbólico bidimensional que se disecciona quirúrgicamente y se envuelve alrededor de una superficie mínima triplemente periódica como la Gyroid , Diamond o Primitive , ha generado muchas redes cristalinas novedosas. [17] [18]
Otro enumerador existente se centra actualmente en la generación de redes cristalinas plausibles de zeolitas . La extensión del grupo de simetría al espacio tridimensional permite la caracterización de un dominio (o región) fundamental del espacio tridimensional, cuya intersección con la red induce un subgrafo que, en posición general, tendrá un vértice de cada órbita de vértices. Este subgrafo puede estar conectado o no, y si un vértice se encuentra en un eje de rotación o en algún otro punto fijo de alguna simetría de la red, el vértice puede estar necesariamente en el límite de cualquier región fundamental. En este caso, la red se puede generar aplicando el grupo de simetría al subgrafo en la región fundamental. [19] Se han desarrollado otros programas que generan de manera similar copias de un fragmento inicial y las pegan en un grafo periódico [20]