Germen (matemáticas)

Clase de equivalencia de objetos que comparten propiedades locales en un punto de un espacio topológico

En matemáticas , la noción de germen de un objeto en/sobre un espacio topológico es una clase de equivalencia de ese objeto y otros del mismo tipo que captura sus propiedades locales compartidas. En particular, los objetos en cuestión son en su mayoría funciones (o mapas ) y subconjuntos . En implementaciones específicas de esta idea, las funciones o subconjuntos en cuestión tendrán alguna propiedad, como ser analíticos o suaves , pero en general esto no es necesario (las funciones en cuestión ni siquiera necesitan ser continuas ); sin embargo, es necesario que el espacio sobre/en el que se define el objeto sea un espacio topológico, para que la palabra local tenga algún significado.

Nombre

El nombre deriva del germen de cereal como continuación de la metáfora de la gavilla , ya que un germen es (localmente) el "corazón" de una función, como lo es para un grano.

Definición formal

Definición básica

Dado un punto x de un espacio topológico X , y dos mapas (donde Y es cualquier conjunto ), entonces y definen el mismo germen en x si hay un entorno U de x tal que restringido a U , f y g son iguales; es decir que para todo u en U . ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(u)=g(u)}$

De manera similar, si S y T son dos subconjuntos cualesquiera de X , entonces definen el mismo germen en x si existe nuevamente un vecindario U de x tal que

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

Es fácil ver que definir el mismo germen en x es una relación de equivalencia (ya sea en mapas o conjuntos), y las clases de equivalencia se denominan gérmenes (gérmenes de mapa o gérmenes de conjunto, según corresponda). La relación de equivalencia suele escribirse

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}$

Dado un mapa f en X , entonces su germen en x se denota usualmente [ f ] _x . De manera similar, el germen en x de un conjunto S se escribe [ S ] _x . Por lo tanto,

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Un germen de mapa en x en X que mapea el punto x en X al punto y en Y se denota como

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

Al utilizar esta notación, f se entiende como una clase de equivalencia completa de mapas, utilizando la misma letra f para cualquier mapa representativo .

Nótese que dos conjuntos son equivalentes en gérmenes en x si y sólo si sus funciones características son equivalentes en gérmenes en x :

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

De manera más general

No es necesario definir aplicaciones en todo X y, en particular, no es necesario que tengan el mismo dominio. Sin embargo, si f tiene dominio S y g tiene dominio T , ambos subconjuntos de X , entonces f y g son equivalentes en gérmenes en x en X si primero S y T son equivalentes en gérmenes en x , digamos, y luego además , para algún vecindario más pequeño V con . Esto es particularmente relevante en dos contextos: ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$ ${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$ ${\displaystyle x\in V\subseteq U}$

1. f se define en una subvariedad V de X , y
2. f tiene un polo de algún tipo en x , por lo que ni siquiera está definida en x , como por ejemplo una función racional , que se definiría a partir de una subvariedad.

Propiedades básicas

Si f y g son equivalentes en gérmenes en x , entonces comparten todas las propiedades locales, como continuidad, diferenciabilidad , etc., por lo que tiene sentido hablar de un germen diferenciable o analítico , etc. Lo mismo ocurre con los subconjuntos: si un representante de un germen es un conjunto analítico , entonces también lo son todos los representantes, al menos en algún vecindario de x .

Las estructuras algebraicas en el objetivo Y son heredadas por el conjunto de gérmenes con valores en Y . Por ejemplo, si el objetivo Y es un grupo , entonces tiene sentido multiplicar gérmenes: para definir [ f ] _x [ ​​g ] _x , primero tome los representantes f y g , definidos en los vecindarios U y V respectivamente, y defina [ f ] _x [ ​​g ] _x como el germen en x de la función de producto puntual fg (que está definida en ). De la misma manera, si Y es un grupo abeliano , un espacio vectorial o un anillo , entonces también lo es el conjunto de gérmenes. ${\displaystyle U\cap V}$

El conjunto de gérmenes en x de las funciones de X a Y no tiene una topología útil , excepto la discreta . Por lo tanto, tiene poco o ningún sentido hablar de una sucesión convergente de gérmenes. Sin embargo, si X e Y son variedades , entonces los espacios de jets ( series de Taylor de orden finito en x de funciones(-gérmenes)) sí tienen topologías, ya que pueden identificarse con espacios vectoriales de dimensión finita . ${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$

Relación con las gavillas

La idea de gérmenes está detrás de la definición de haces y prehaces. Un prehaz de grupos abelianos en un espacio topológico X asigna un grupo abeliano a cada conjunto abierto U en X . Ejemplos típicos de grupos abelianos aquí son: funciones de valor real en U , formas diferenciales en U , campos vectoriales en U , funciones holomorfas en U (cuando X es una variedad compleja ), funciones constantes en U y operadores diferenciales en U . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Si entonces existe una función de restricción que satisface ciertas condiciones de compatibilidad . Para un x fijo , se dice que los elementos y son equivalentes en x si existe un entorno de x con res _WU ( f ) = res _WV ( g ) (ambos elementos de ). Las clases de equivalencia forman el tallo en x del prehaz . Esta relación de equivalencia es una abstracción de la equivalencia de germen descrita anteriormente. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La interpretación de los gérmenes a través de haces también proporciona una explicación general de la presencia de estructuras algebraicas en conjuntos de gérmenes. La razón es que la formación de tallos preserva los límites finitos . Esto implica que si T es una teoría de Lawvere y un haz F es una T -álgebra, entonces cualquier tallo F _x también es una T -álgebra.

Ejemplos

Si y tienen estructura adicional, es posible definir subconjuntos del conjunto de todos los mapas de X a Y o, más generalmente, subhaces de un prehaz dado y los gérmenes correspondientes: siguen algunos ejemplos notables . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Si ambos son espacios topológicos , el subconjunto ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de funciones continuas define gérmenes de funciones continuas .

• Si ambos admiten una estructura diferenciable , el subconjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de -veces funciones continuamente diferenciables , el subconjunto ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de funciones suaves y el subconjunto

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

Se pueden definir funciones analíticas ( aquí está el ordinal para infinito; esto es un abuso de la notación , por analogía con y ), y luego se pueden construir espacios de gérmenes de funciones analíticas (finitamente) diferenciables , suaves . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

• Si tienen una estructura compleja (por ejemplo, son subconjuntos de espacios vectoriales complejos ), se pueden definir funciones holomorfas entre ellos, y por tanto se pueden construir espacios de gérmenes de funciones holomorfas . ${\displaystyle X,Y}$
• Si tienen una estructura algebraica , entonces se pueden definir funciones regulares (y racionales ) entre ellas, y se pueden definir gérmenes de funciones regulares (y asimismo racionales ). ${\displaystyle X,Y}$
• El germen de en el infinito positivo (o simplemente el germen de f ) es . Estos gérmenes se utilizan en el análisis asintótico y en los campos de Hardy . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow Y}$ ${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$

Notación

El tallo de un haz en un espacio topológico en un punto de se denota comúnmente por Como consecuencia, los gérmenes, que constituyen tallos de haces de varios tipos de funciones, toman prestado este esquema de notación: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$es el espacio de gérmenes de funciones continuas en . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$para cada número natural es el espacio de gérmenes de funciones -veces-diferenciables en . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$es el espacio de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables ("suaves") en . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$es el espacio de gérmenes de funciones analíticas en . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$es el espacio de gérmenes de funciones holomorfas (en geometría compleja ), o espacio de gérmenes de funciones regulares (en geometría algebraica ) en . ${\displaystyle x}$

Para los gérmenes de conjuntos y variedades, la notación no está tan bien establecida: algunas notaciones que se encuentran en la literatura incluyen:

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$es el espacio de gérmenes de variedades analíticas en . Cuando el punto es fijo y conocido (por ejemplo, cuando es un espacio vectorial topológico y ), se puede omitir en cada uno de los símbolos anteriores: también, cuando , se puede agregar un subíndice antes del símbolo. Como ejemplo ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \dim X=n}$
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}$son los espacios de gérmenes que se muestran arriba cuando es un espacio vectorial -dimensional y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

Aplicaciones

La palabra clave en las aplicaciones de los gérmenes es localidad : todas las propiedades locales de una función en un punto pueden estudiarse analizando su germen . Son una generalización de la serie de Taylor y, de hecho, la serie de Taylor de un germen (de una función diferenciable) está definida: solo se necesita información local para calcular derivadas.

Los gérmenes son útiles para determinar las propiedades de los sistemas dinámicos cerca de puntos elegidos de su espacio de fases : son una de las principales herramientas en la teoría de la singularidad y la teoría de catástrofes .

Cuando los espacios topológicos considerados son superficies de Riemann o, más generalmente, variedades analíticas complejas , los gérmenes de funciones holomorfas en ellas pueden verse como series de potencias y, por lo tanto, el conjunto de gérmenes puede considerarse como la continuación analítica de una función analítica .

Los gérmenes también se pueden utilizar en la definición de vectores tangentes en geometría diferencial . Un vector tangente se puede considerar como una derivación puntual del álgebra de gérmenes en ese punto. ^[1]

Propiedades algebraicas

Como se señaló anteriormente, los conjuntos de gérmenes pueden tener estructuras algebraicas, como anillos. En muchas situaciones, los anillos de gérmenes no son anillos arbitrarios, sino que tienen propiedades bastante específicas.

Supongamos que X es un espacio de algún tipo. Suele suceder que, en cada x ∈ X , el anillo de gérmenes de funciones en x es un anillo local . Este es el caso, por ejemplo, de funciones continuas en un espacio topológico; de funciones k -veces diferenciables, suaves o analíticas en una variedad real (cuando dichas funciones están definidas); de funciones holomorfas en una variedad compleja ; y de funciones regulares en una variedad algebraica. La propiedad de que los anillos de gérmenes son anillos locales está axiomatizada por la teoría de espacios con anillos locales .

Los tipos de anillos locales que surgen, sin embargo, dependen estrechamente de la teoría en consideración. El teorema de preparación de Weierstrass implica que los anillos de gérmenes de funciones holomorfas son anillos noetherianos . También se puede demostrar que estos son anillos regulares . Por otra parte, sea el anillo de gérmenes en el origen de funciones suaves en R. Este anillo es local pero no noetheriano. Para ver por qué, observe que el ideal máximo m de este anillo consiste en todos los gérmenes que se anulan en el origen, y la potencia m ^k consiste en aquellos gérmenes cuyas primeras k − 1 derivadas se anulan. Si este anillo fuera noetheriano, entonces el teorema de intersección de Krull implicaría que una función suave cuya serie de Taylor se anulara sería la función cero. Pero esto es falso, como se puede ver al considerar ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Este anillo tampoco es un dominio de factorización único . Esto se debe a que todos los UFD satisfacen la condición de cadena ascendente en ideales principales , pero hay una cadena ascendente infinita de ideales principales.

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Las inclusiones son estrictas porque x está en el ideal máximo m .

El anillo de gérmenes en el origen de funciones continuas en R incluso tiene la propiedad de que su ideal máximo m satisface m ² = m . Cualquier germen f ∈ m puede escribirse como ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

donde sgn es la función signo. Como | f | se anula en el origen, esto expresa f como el producto de dos funciones en m , de ahí la conclusión. Esto está relacionado con la configuración de la teoría de anillos casi .

Véase también

• Variedad analítica
• Teoría de catástrofes
• Axioma de pegado
• Superficie de Riemann
• Gavilla
• Acechar

Referencias

1. Tu, LW (2007). Introducción a las variedades. Nueva York: Springer. pág. 11.

• Nicolás Bourbaki (1989). Topología general. Capítulos 1-4 (edición de bolsillo). Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2., capítulo I, apartado 6, inciso 10 “ Gérmenes en un punto ”.
• Raghavan Narasimhan (1973). Análisis de variedades reales y complejas (2.ª ed.). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., capítulo 2, párrafo 2.1, “ Definiciones básicas ”.
• Robert C. Gunning y Hugo Rossi (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas . Prentice-Hall ., capítulo 2 " Anillos locales de funciones holomorfas ", especialmente el párrafo A " Las propiedades elementales de los anillos locales " y el párrafo E " Gérmenes de variedades ".
• Ian R. Porteous (2001) Diferenciación geométrica , página 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 . 
• Giuseppe Tallini (1973). Varietà diferenziabili e coomologia di De Rham (Variedades diferenciables y cohomología de De Rham) . Ediciones Cremonese. ISBN 88-7083-413-1., párrafo 31, " Germi di funzioni diferenziabili in un punto di (Gérmenes de funciones diferenciables en un punto de ) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ " (en italiano).

Enlaces externos

• Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001) [1994], "Germen", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Germen de funciones suaves en PlanetMath .
• Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "Sistemas de gérmenes y teoremas de ceros en espacios de dimensión infinita". arXiv : math/0612355 .Una preimpresión de investigación que trata sobre gérmenes de variedades analíticas en un entorno de dimensión infinita.