Geometría de números complejos es un libro de texto de pregrado sobre geometría , cuyos temas incluyen círculos , el plano complejo , geometría inversa y geometría no euclidiana . Fue escrito por Hans Schwerdtfeger y publicado originalmente en 1962 como Volumen 13 de la serie Mathematical Expositions de la University of Toronto Press . Una edición corregida fue publicada en 1979 en la serie Dover Books on Advanced Mathematics de Dover Publications ( ISBN 0-486-63830-8 ), incluyendo el subtítulo Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry . El Comité de Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de Estados Unidos ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [1]
El libro está dividido en tres capítulos, correspondientes a las tres partes de su subtítulo: geometría del círculo, transformaciones de Möbius y geometría no euclidiana. Cada uno de estos se divide a su vez en secciones (que en otros libros se llamarían capítulos) y subsecciones. Un tema subyacente del libro es la representación del plano euclidiano como el plano de los números complejos y el uso de números complejos como coordenadas para describir objetos geométricos y sus transformaciones. [1]
El capítulo sobre círculos cubre la geometría analítica de círculos en el plano complejo. [2] Describe la representación de círculos mediante matrices hermíticas , [3] [4] la inversión de círculos , la proyección estereográfica , los lápices de círculos (ciertas familias de círculos de un parámetro) y su análogo de dos parámetros, los haces de círculos y la razón cruzada de cuatro números complejos. [3]
El capítulo sobre las transformaciones de Möbius es la parte central del libro, [4] y define estas transformaciones como las transformaciones lineales fraccionarias del plano complejo (una de varias formas estándar de definirlas). [1] Incluye material sobre la clasificación de estas transformaciones, [2] sobre los paralelogramos característicos de estas transformaciones, [4] sobre los subgrupos del grupo de transformaciones, sobre las transformaciones iteradas que vuelven a la identidad (formando una secuencia periódica) o producen una secuencia infinita de transformaciones, y una caracterización geométrica de estas transformaciones como las transformaciones que preservan el círculo del plano complejo. [3] Este capítulo también analiza brevemente las aplicaciones de las transformaciones de Möbius para comprender las proyectividades y perspectividades de la geometría proyectiva . [1]
En el capítulo sobre geometría no euclidiana, los temas incluyen el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico , la geometría elíptica , la geometría esférica y (en línea con el programa Erlangen de Felix Klein ) los grupos de transformación de estas geometrías como subgrupos de las transformaciones de Möbious. [1]
Esta obra reúne múltiples áreas de las matemáticas, con la intención de ampliar las conexiones entre el álgebra abstracta , la teoría de números complejos, la teoría de matrices y la geometría. [2] [5] El crítico Howard Eves escribe que, en su selección de material y su formulación de la geometría, el libro "refleja en gran medida el trabajo de C. Caratheodory y E. Cartan ". [6]
Geometry of Complex Numbers está escrito para estudiantes avanzados de grado [6] y sus numerosos ejercicios (llamados "ejemplos") amplían el material en sus secciones en lugar de simplemente verificar lo que el lector ha aprendido. [4] [6] Al revisar la publicación original, AW Goodman y Howard Eves recomendaron su uso como lectura secundaria para clases de análisis complejo , [3] [6] y Goodman agrega que "todo experto en teoría de funciones clásicas debería estar familiarizado con este material". [3] Sin embargo, el crítico Donald Monk se pregunta si el material del libro es demasiado especializado para encajar en cualquier clase, y tiene algunas quejas menores sobre detalles que podrían haberse cubierto de manera más elegante. [2]
En su reseña de 2015, Mark Hunacek escribió que "el libro tiene un aire decididamente anticuado", lo que dificulta su lectura, y que la selección anticuada de temas hacía improbable que fuera utilizable como texto principal para un curso. [1] El revisor RP Burn comparte las preocupaciones de Hunacek sobre la legibilidad, y también se queja de que Schwerdtfeger "deja constantemente que la interpretación geométrica siga a la prueba algebraica, en lugar de permitir que la geometría desempeñe un papel motivador". [7] Sin embargo, Hunacek repite la recomendación de Goodman y Eves de su uso "como lectura complementaria en un curso sobre análisis complejo", [1] y Burn concluye que "la republicación es bienvenida". [7]
Como antecedente sobre la geometría cubierta en este libro, el crítico RP Burn sugiere otros dos libros, Modern Geometry: The Straight Line and Circle de CV Durell y Geometry: A Comprehensive Course de Daniel Pedoe . [7]
Otros libros que utilizan números complejos para la geometría analítica incluyen Complex Numbers and Geometry de Liang-shin Hahn o Complex Numbers from A to...Z de Titu Andreescu y Dorin Andrica. Sin embargo, Geometry of Complex Numbers se diferencia de estos libros en que evita las construcciones elementales de la geometría euclidiana y, en cambio, aplica este enfoque a conceptos de nivel superior, como la inversión del círculo y la geometría no euclidiana. Otro libro relacionado, uno de los pocos que tratan las transformaciones de Möbius con tanto detalle como lo hace Geometry of Complex Numbers , es Visual Complex Analysis de Tristan Needham . [1]
