Función constante local

Tipo de función matemática

La función signum restringida al dominio es localmente constante. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

En matemáticas , una función localmente constante es una función de un espacio topológico en un conjunto con la propiedad de que alrededor de cada punto de su dominio existe algún vecindario de ese punto en el que se restringe a una función constante .

Definición

Sea una función de un espacio topológico en un conjunto Si entonces se dice que es localmente constante en si existe un entorno de tal que es constante en lo que por definición significa que para todo La función se llama localmente constante si es localmente constante en cada punto de su dominio. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(u)=f(v)}$ ${\displaystyle u,v\in U.}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle x\in X}$

Ejemplos

Toda función constante es localmente constante. La inversa se cumple si su dominio es un espacio conexo .

Toda función localmente constante de los números reales a es constante, por la conectividad de Pero la función de los racionales a definida por y es localmente constante (esto utiliza el hecho de que es irracional y que, por lo tanto, los dos conjuntos y son ambos abiertos en ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,}$ ${\displaystyle f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conexo de Lo contrario es cierto para los espacios localmente conexos , que son espacios cuyos componentes conexos son subconjuntos abiertos. ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A.}$

Otros ejemplos incluyen los siguientes:

• Dado un mapa de cobertura entonces a cada punto podemos asignar la cardinalidad de la fibra sobre ; esta asignación es localmente constante. ${\displaystyle p:C\to X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$
• Una función de un espacio topológico a un espacio discreto es continua si y sólo si es localmente constante. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Conexión con la teoría de los haces

Hay haces de funciones localmente constantes en Para ser más precisos, las funciones de valor entero localmente constantes en forman un haz en el sentido de que para cada conjunto abierto de podemos formar las funciones de este tipo; y luego verificar que los axiomas de haces se cumplen para esta construcción, lo que nos da un haz de grupos abelianos (incluso anillos conmutativos ). ^[1] Este haz podría escribirse ; descrito por medio de tallos tenemos tallo una copia de en para cada Esto puede referirse a un haz constante , lo que significa exactamente haz de funciones localmente constantes que toman sus valores en el (mismo) grupo. El haz típico, por supuesto, no es constante de esta manera; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de haces con la teoría de homología , y en aplicaciones lógicas de haces. La idea del sistema de coeficientes locales es que podemos tener una teoría de haces que localmente se parezcan a esos haces 'inofensivos' (cerca de cualquier ), pero que desde un punto de vista global exhiban cierta 'torsión'. ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{X}}$ ${\displaystyle Z_{x},}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Teorema de Liouville (análisis complejo)  – Teorema en análisis complejo
• Gavilla localmente constante

Referencias

1. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer. pág. 62.