Función G de Barnes

Gráfico de la función G(z) de Barnes G también conocida como doble gamma en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

La función G de Barnes a lo largo de una parte del eje real

En matemáticas , la función G de Barnes G ( z ) es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionada con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y recibió su nombre en honor al matemático Ernest William Barnes . ^[1] Puede escribirse en términos de la función gamma doble .

Formalmente, la función G de Barnes se define en la siguiente forma de producto de Weierstrass :

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e ^x es la función exponencial y Π denota multiplicación ( notación pi mayúscula ). ${\displaystyle \,\gamma }$

La representación integral, que puede deducirse de la relación con la función gamma doble , es

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Como función completa , G es de orden dos y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica que se muestra a continuación.

Ecuación funcional y argumentos enteros

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

con normalización G (1) = 1. Nótese la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros :

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(en particular, ) y por lo tanto ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

donde denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define de forma única la función G de Barnes si se cumple la condición de convexidad, ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

se añade. ^[2] Además, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación, ^[3]

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$,

¿Dónde está la constante de Glaisher-Kinkelin ? ${\displaystyle A}$

Caracterización

De manera similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , para una constante , tenemos para ^[4] ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cG(x)}$

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}$

y para ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

como . ${\displaystyle n\to \infty }$

Fórmula de reflexión

La ecuación diferencial para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (probada originalmente por Hermann Kinkelin ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

La integral logaritmo-tangente del lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2), como se muestra a continuación:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

La prueba de este resultado depende de la siguiente evaluación de la integral cotangente: introduciendo la notación para la integral logarítmica-cotangente y utilizando el hecho de que , una integración por partes da ${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$ ${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Realizando la sustitución integral se obtiene ${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

La función de Clausen – de segundo orden – tiene la representación integral

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Sin embargo, dentro del intervalo , el signo de valor absoluto dentro del integrando se puede omitir, ya que dentro del rango la función 'semi-seno' en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logaritmo-tangente, se cumple claramente la siguiente relación: ${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Así, después de un ligero reordenamiento de términos, la prueba está completa:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Usando la relación y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de se obtiene la forma equivalente: ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$ ${\displaystyle \,2\pi }$

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Adamchik (2003) ha dado una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una prueba diferente. ^[5]

Reemplazando z por ⁠1/2⁠  −  z en la fórmula de reflexión anterior da, después de cierta simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación (que involucra polinomios de Bernoulli ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Expansión de la serie de Taylor

Por el teorema de Taylor , y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener el siguiente desarrollo en serie:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Es válido para . Aquí está la función zeta de Riemann : ${\displaystyle \,0<z<1}$ ${\displaystyle \,\zeta (x)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Exponenciando ambos lados de la expansión de Taylor obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Comparando esto con la forma del producto de Weierstrass de la función de Barnes se obtiene la siguiente relación:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Fórmula de multiplicación

Al igual que la función gamma, la función G también tiene una fórmula de multiplicación: ^[6]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

donde es una constante dada por: ${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Aquí está la derivada de la función zeta de Riemann y es la constante de Glaisher-Kinkelin . ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$

Valor absoluto

Es cierto que , por lo tanto . A partir de esta relación y por la forma del producto de Weierstrass presentada anteriormente se puede demostrar que ${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$ ${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Esta relación es válida para valores arbitrarios de , y . Si , entonces la siguiente fórmula es válida: ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

para realidad arbitraria .

Expansión asintótica

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica, según lo establecido por Barnes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí están los números de Bernoulli y es la constante de Glaisher-Kinkelin . (Nótese que, de manera algo confusa en la época de Barnes ^[7], el número de Bernoulli se habría escrito como , pero esta convención ya no es actual). Esta expansión es válida para en cualquier sector que no contenga el eje real negativo con grandes. ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{2k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$

Relación con la integral log-gamma

El log-gamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes: ^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

Referencias

1. EW Barnes, "La teoría de la función G", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
2. MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL ${\displaystyle (2,\mathbb {Z} )}$ , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
3. Park, Junesang (1996). "Una fórmula de duplicación para la función gamma doble $Gamma_2$". Boletín de la Sociedad Matemática Coreana . 33 (2): 289–294.
4. Marichal, Jean Luc. Una generalización del teorema de Bohr-Mollerup para funciones convexas de orden superior (PDF) . Springer. pág. 218.
5. Adamchik, Viktor S. (2003). "Contribuciones a la teoría de la función de Barnes". arXiv : math/0308086 .
6. I. Vardi, Determinantes de laplacianos y funciones gamma múltiples , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493–507 (1988).
7. ET Whittaker y GN Watson , " Un curso de análisis moderno ", CUP.

• Askey, RA; Roy, R. (2010), "Función G de Barnes", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.