Forma polar de Gorman

La forma polar de Gorman es una forma funcional para funciones de utilidad indirectas en economía .

Motivación

La teoría del consumidor estándar se desarrolla para un solo consumidor. El consumidor tiene una función de utilidad a partir de la cual se pueden calcular sus curvas de demanda. Entonces, es posible predecir el comportamiento del consumidor ante determinadas condiciones, cambios de precio o ingresos. Pero en realidad hay muchos consumidores diferentes, cada uno con su propia función de utilidad y curva de demanda. ¿Cómo podemos utilizar la teoría del consumidor para predecir el comportamiento de toda una sociedad? Una opción es representar a toda una sociedad como un único "megaconsumidor", que tiene una función de utilidad agregada y una curva de demanda agregada. Pero ¿en qué casos es realmente posible representar a toda una sociedad como un único consumidor?

Formalmente: ^[1] considere una economía con consumidores, cada uno de los cuales tiene una función de demanda que depende de su ingreso y del sistema de precios: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{i}}$

${\displaystyle x^{i}(p,m^{i})}$

La demanda agregada de la sociedad es, en general, función del sistema de precios y de toda la distribución de los ingresos:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\sum _{i=1}^{n}x^{i}(p,m^{i})}$

Para representar a toda la sociedad como un solo consumidor, la demanda agregada debe ser función únicamente de los precios y del ingreso total , independientemente de su distribución:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X\left(p,\sum _{i=1}^{n}m^{i}\right)}$

¿En qué condiciones es posible representar la demanda agregada de esta forma?

Los primeros resultados de Antonelli (1886) y Nataf (1953) habían demostrado que, suponiendo que todos los individuos enfrentan los mismos precios en un mercado, sus curvas de consumo de ingreso y sus curvas de Engel (gasto en función del ingreso) deberían ser líneas rectas paralelas. Esto significa que podemos calcular una curva ingreso-consumo de una sociedad entera simplemente sumando las curvas de los consumidores. En otras palabras, supongamos que toda la sociedad recibe un determinado ingreso. Este ingreso se distribuye de alguna manera entre los miembros de la sociedad, luego cada miembro selecciona su consumo de acuerdo con su curva ingreso-consumo. Si todas las curvas son rectas paralelas, la demanda agregada de la sociedad será independiente de la distribución del ingreso entre los agentes .

Forma de Gorman de la función de gasto.

El primer artículo publicado por Gorman en 1953 desarrolló estas ideas para responder a la cuestión de la representación de una sociedad por parte de un solo individuo. En 1961, Gorman publicó un breve artículo de cuatro páginas en Metroeconomica en el que derivó una expresión explícita para la forma funcional de las preferencias que dan lugar a curvas lineales de Engel. La función de gasto de cada consumidor (la cantidad de dinero necesaria para alcanzar un determinado nivel de utilidad en un determinado sistema de precios) debe ser lineal en utilidad: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}(p)+g(p)\cdot u^{i}}$,

donde ambos y son homogéneos de grado uno en precios ( , un vector). Esta condición de homogeneidad asegura que se obtengan curvas de Engel lineales. ${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$ ${\displaystyle g\left(p\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)}$

${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$y tenemos buenas interpretaciones: es el gasto necesario para alcanzar un nivel de utilidad de referencia de cero para cada individuo ( ), mientras que es el índice de precios que deflacta el exceso de ingreso monetario necesario para alcanzar un nivel de utilidad . Es importante señalar que es igual para todos los individuos de una sociedad, por lo que las curvas de Engel para todos los consumidores son paralelas. ${\displaystyle g\left(p\right)}$ ${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g\left(p\right)}$ ${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)-f^{i}(p)}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$ ${\displaystyle g\left(p\right)}$

Forma de Gorman de la función de utilidad indirecta

Al invertir esta fórmula se obtiene la función de utilidad indirecta (utilidad en función del precio y el ingreso):

${\displaystyle v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{i}-f^{i}(p)}{g(p)}}}$,

donde es la cantidad de ingreso disponible para el individuo y es equivalente al gasto ( ) en la ecuación anterior. Esto es lo que Gorman llamó “la forma polar de la función de utilidad subyacente”. El uso que hizo Gorman del término polar se refería a la idea de que se puede considerar que la función de utilidad indirecta utiliza coordenadas polares en lugar de cartesianas (como en las funciones de utilidad directa) para describir la curva de indiferencia. Aquí, el ingreso ( ) es análogo al radio y los precios ( ) a un ángulo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)}$ ${\displaystyle m^{i}}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos

Dos tipos de preferencias que tienen la forma polar de Gorman son: ^{[2] : 154}

Utilidades cuasilineales

Cuando la función de utilidad del agente tiene la forma: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m}$

la función de utilidad indirecta tiene (asumiendo una solución interior) la forma:

${\displaystyle v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m}$

que es un caso especial de la forma Gorman.

De hecho, la función de demanda marshalliana del bien no lineal de los consumidores con utilidades cuasilineales no depende en absoluto de la renta (en este caso cuasilineal, la demanda del bien lineal es lineal en renta):

${\displaystyle x_{i}(p,m)=-{\frac {dv(p)/dm}{v(p)/dp_{i}}}=-{\frac {1}{dv(p)/dp_{i}}}=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}}$

Por tanto, la función de demanda agregada del bien no lineal tampoco depende del ingreso:

${\displaystyle X(p,M)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

La sociedad entera puede estar representada por un único agente representativo con función de utilidad cuasilineal:

${\displaystyle U(x,m)=U(x)+m}$

donde la función satisface la igualdad: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (U')^{-1}(p)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

En el caso especial en el que todos los agentes tienen la misma función de utilidad , la función de utilidad agregada es: ${\displaystyle u(x,m)=u(x)+m}$

${\displaystyle U(x,M)=n\cdot u\left({\frac {x}{n}}\right)+M}$

Preferencias homotéticas

La función de utilidad indirecta tiene la forma:

${\displaystyle v(p,m_{i})=v(p)\cdot m}$

que también es un caso especial de la forma Gorman.

En particular: las utilidades lineales, Leontief y Cobb-Douglas son homotéticas y, por tanto, tienen la forma de Gorman.

Prueba de linealidad e igualdad de pendiente de las curvas de Engel.

Para demostrar que las curvas de Engel de una función en forma polar de Gorman son lineales , aplique la identidad de Roy a la función de utilidad indirecta para obtener una función de demanda marshalliana para un individuo ( ) y un bien ( ): ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}}$

Esto es lineal en el ingreso ( ), por lo que el cambio en la demanda de un individuo de algún bien con respecto a un cambio en el ingreso de ese individuo, no depende del ingreso y, por lo tanto, las curvas de Engel son lineales. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}}$

Además, dado que este cambio no depende de variables particulares de ningún individuo, las pendientes de las curvas de Engel de diferentes individuos son iguales.

Solicitud

Muchas aplicaciones de la forma polar de Gorman se resumen en varios textos y en el artículo de Honohan y Neary. ^[3] Estas aplicaciones incluyen la facilidad de estimación de y en determinados casos. Pero la aplicación más importante es para el teórico de la economía, ya que permite al investigador tratar una sociedad de individuos que maximizan la utilidad como un solo individuo. En otras palabras, bajo estas condiciones está garantizada la existencia de un mapeo de la indiferencia comunitaria. ${\displaystyle f^{i}(p)}$ ${\displaystyle g(p)}$

Ver también

• La demanda agregada
• Agente representativo

Referencias

1. Simsek, Alpes (2009). "Teorema de agregación de Gorman" (PDF) . Consultado el 2 de diciembre de 2015 .
2. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
3. Honohan, Patricio ; Neary, J. Peter (2003). "WM Gorman (1923-2003)" (PDF) . La revista económica y social . 34 (2): 195–209. Archivado desde el original (PDF) el 10 de enero de 2005.

• Antonelli, GB (1886). Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica . Pisa.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)traducción al inglés en Chipman, JS; Hurwicz, L.; Richter, MK; et al., eds. (1971). Preferencias, utilidad y demanda: un simposio de Minnesota . Nueva York: Harcourt Brace Jovanovich. págs. 333–360.
• Gorman, WM (1961). "Sobre una clase de campos de preferencia". Metroeconómica . 13 (2): 53–56. doi :10.1111/j.1467-999X.1961.tb00819.x.
• Nataf, A. (1953). "Sur des questions d'agrégation en économétrie". Publicaciones del Instituto de Estadística de la Universidad de París . 2, Fac. vol. 4: 5–61.