proceso de levy

Proceso estocástico en teoría de probabilidad.

En teoría de la probabilidad , un proceso de Lévy , llamado así en honor al matemático francés Paul Lévy , es un proceso estocástico con incrementos estacionarios independientes: representa el movimiento de un punto cuyos desplazamientos sucesivos son aleatorios , en el que los desplazamientos en intervalos de tiempo disjuntos por pares son independientes. y los desplazamientos en diferentes intervalos de tiempo de la misma duración tienen distribuciones de probabilidad idénticas. Por tanto, un proceso de Lévy puede verse como el análogo en tiempo continuo de un paseo aleatorio .

Los ejemplos más conocidos de procesos de Lévy son el proceso de Wiener , a menudo llamado proceso de movimiento browniano , y el proceso de Poisson . Otros ejemplos importantes incluyen el proceso Gamma , el proceso Pascal y el proceso Meixner. Aparte del movimiento browniano con deriva, todos los demás procesos de Lévy propios (es decir, no deterministas) tienen caminos discontinuos . Todos los procesos Lévy son procesos aditivos . ^[1]

Definición matemática

Un proceso de Lévy es un proceso estocástico que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$ casi seguramente ;
2. Independencia de incrementos : Para cualquiera,son mutuamente independientes ; ${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty }$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$
3. Incrementos estacionarios : Para cualquiera,es igual en distribución a ${\displaystyle s<t\,}$ ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$ ${\displaystyle X_{t-s};\,}$
4. Continuidad en probabilidad : Para cualquierayse cumple que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}$

Si es un proceso de Lévy, entonces se puede construir una versión del mismo que casi seguramente sea continua por la derecha con límites por la izquierda . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$

Propiedades

Incrementos independientes

Un proceso estocástico de tiempo continuo asigna una variable aleatoria X _t a cada punto t ≥ 0 en el tiempo. En efecto, es una función aleatoria de t . Los incrementos de tal proceso son las diferencias X _s − X _t entre sus valores en diferentes momentos t < s . Llamar independientes a los incrementos de un proceso significa que los incrementos X _s − X _t y X _u − X _v son variables aleatorias independientes siempre que los dos intervalos de tiempo no se superpongan y, de manera más general, cualquier número finito de incrementos asignados a pares no superpuestos. los intervalos de tiempo son mutuamente independientes (no solo por pares ).

Incrementos estacionarios

Llamar estacionarios a los incrementos significa que la distribución de probabilidad de cualquier incremento X _t − X _s depende sólo de la longitud t  −  s del intervalo de tiempo; los incrementos en intervalos de tiempo igualmente largos se distribuyen de manera idéntica.

Si es un proceso de Wiener , la distribución de probabilidad de X _t  −  X _s es normal con valor esperado 0 y varianza t  −  s . ${\displaystyle X}$

Si es un proceso de Poisson , la distribución de probabilidad de X _t  −  X _s es una distribución de Poisson con valor esperado λ( t  −  s ), donde λ > 0 es la "intensidad" o "velocidad" del proceso. ${\displaystyle X}$

Si es un proceso de Cauchy , la distribución de probabilidad de X _t  −  X _s es una distribución de Cauchy con densidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]}$

Divisibilidad infinita

La distribución de un proceso de Lévy tiene la propiedad de divisibilidad infinita : dado cualquier número entero n , la ley de un proceso de Lévy en el tiempo t puede representarse como la ley de la suma de n variables aleatorias independientes, que son precisamente los incrementos del proceso de Lévy. proceso en intervalos de tiempo de longitud t / n, que son independientes y están distribuidos idénticamente según los supuestos 2 y 3. A la inversa, para cada distribución de probabilidad infinitamente divisible , existe un proceso de Lévy tal que la ley de está dada por . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$

Momentos

En cualquier proceso de Lévy con momentos finitos , el n- ésimo momento es una función polinómica de t ; estas funciones satisfacen una identidad binomial : ${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

Representación de Lévy-Khintchine

La distribución de un proceso de Lévy se caracteriza por su función característica , que viene dada por la fórmula de Lévy-Khintchine (general para todas las distribuciones infinitamente divisibles ): ^[2]

Si es un proceso de Lévy, entonces su función característica viene dada por ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}$

${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}$

donde , y es una medida σ -finita llamada medida de Lévy de , que satisface la propiedad ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .}$

En lo anterior, está la función indicadora . Debido a que las funciones características determinan de forma única sus distribuciones de probabilidad subyacentes, cada proceso de Lévy está determinado de forma única por el "triplete de Lévy-Khintchine" . Los términos de este triplete sugieren que se puede considerar que un proceso de Lévy tiene tres componentes independientes: una deriva lineal, un movimiento browniano y un proceso de salto de Lévy, como se describe a continuación. Esto implica inmediatamente que el único proceso de Lévy continuo (no determinista) es un movimiento browniano con deriva; de manera similar, todo proceso de Lévy es una semimartingala . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$

Descomposición de Lévy-Itô

Debido a que las funciones características de las variables aleatorias independientes se multiplican, el teorema de Lévy-Khintchine sugiere que cada proceso de Lévy es la suma del movimiento browniano con deriva y otra variable aleatoria independiente, un proceso de salto de Lévy. La descomposición de Lévy-Itô describe este último como una suma (estocástica) de variables aleatorias de Poisson independientes.

Let , es decir, la restricción de to , renormalizada para ser una medida de probabilidad; de manera similar, deje (pero no cambie la escala). Entonces ${\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$ ${\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}$

La primera es la función característica de un proceso de Poisson compuesto con intensidad y distribución infantil . Este último es el de un proceso de Poisson generalizado compensado (CGPP): un proceso con un número contable de discontinuidades de salto en cada intervalo como , pero tal que esas discontinuidades son de magnitud menor que . Si , entonces el CGPP es un puro proceso de salto . ^{[4] [5]} Por lo tanto, en términos de procesos, uno puede descomponerse de la siguiente manera ${\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}$

donde está el proceso de Poisson compuesto con saltos mayores que en valor absoluto y es el proceso de Poisson generalizado compensado antes mencionado que también es una martingala de media cero. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

Generalización

Un campo aleatorio de Lévy es una generalización multidimensional del proceso de Lévy. ^{[6] [7]} Aún más generales son los procesos descomponibles. ^[8]

Ver también

• Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
• proceso de salchicha
• proceso de veneno
• proceso gamma
• proceso de markov
• Vuelo de Levy

Referencias

1. Sato, Ken-Iti (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
2. Zolotarev, Vladimir M. Distribuciones estables unidimensionales. vol. 65. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, 1986.
3. Integración estocástica y ecuaciones diferenciales de Protter PE . Springer, 2005.
4. Kyprianou, Andreas E. (2014), "The Lévy-Itô Decomposition and Path Structure", Fluctuaciones de los procesos de Lévy con aplicaciones , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, págs. 35–69, doi :10.1007/978-3-642- 37632-0_2, ISBN 9783642376313
5. Lawler, Gregorio (2014). "Cálculo estocástico: una introducción con aplicaciones" (PDF) . Departamento de Matemáticas (Universidad de Chicago) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de marzo de 2018 . Consultado el 3 de octubre de 2018 .
6. Wolpert, Robert L.; Ickstadt, Katja (1998), "Simulación de campos aleatorios de Lévy", Estadística bayesiana práctica no paramétrica y semiparamétrica , Apuntes de conferencias sobre estadística, Springer, Nueva York, doi :10.1007/978-1-4612-1732-9_12, ISBN 978-1-4612-1732-9
7. Wolpert, Robert L. (2016). "Campos aleatorios de Lévy" (PDF) . Departamento de Ciencias Estadísticas (Universidad de Duke) .
8. Feldman, Jacob (1971). "Procesos descomponibles y productos continuos de espacios de probabilidad". Revista de análisis funcional . 8 (1): 1–51. doi :10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN  0022-1236.

• Applebaum, David (diciembre de 2004). "Procesos de Lévy: de la probabilidad a las finanzas y los grupos cuánticos" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (11): 1336-1347. ISSN  1088-9477.
• Continuación, Rama; Tankov, Peter (2003). Modelado Financiero con Procesos Jump . Prensa CRC. ISBN 978-1584884132..
• Sato, Ken-Iti (2011). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521553025..
• Kyprianou, Andreas E. (2014). Fluctuaciones de los procesos de Lévy con las aplicaciones. Conferencias introductorias. Segunda edicion . Saltador. ISBN 978-3642376313..