Incrementos estacionarios

En teoría de la probabilidad , se dice que un proceso estocástico tiene incrementos estacionarios si su cambio depende únicamente del lapso de tiempo de la observación, pero no del momento en que se inició la observación. Muchas familias grandes de procesos estocásticos tienen incrementos estacionarios ya sea por definición (por ejemplo, los procesos de Lévy ) o por construcción (por ejemplo, los paseos aleatorios ).

Definición

Un proceso estocástico tiene incrementos estacionarios si para todos y , la distribución de las variables aleatorias ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$

depende sólo de y no de . ^{[1] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$

Ejemplos

Tener incrementos estacionarios es una propiedad definitoria de muchas familias grandes de procesos estocásticos, como los procesos de Lévy . Al ser procesos de Lévy especiales, tanto el proceso de Wiener como los procesos de Poisson tienen incrementos estacionarios. Otras familias de procesos estocásticos, como los recorridos aleatorios, tienen incrementos estacionarios por construcción.

Un ejemplo de un proceso estocástico con incrementos estacionarios que no es un proceso de Lévy lo proporciona , donde son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que siguen una distribución normal con media cero y varianza uno. Entonces, los incrementos son independientes de ya que tienen una distribución normal con media cero y varianza dos. En este caso especial, los incrementos son incluso independientes de la duración de la observación en sí. ${\displaystyle X=(X_{t})}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t,h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle h}$

Definición generalizada de conjuntos de índices complejos

El concepto de incrementos estacionarios se puede generalizar a procesos estocásticos con conjuntos de índices más complejos . Sea un proceso estocástico cuyo conjunto de índices está cerrado con respecto a la adición. Entonces tiene incrementos estacionarios si para cualquier , las variables aleatorias ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,q,r\in T}$

${\displaystyle Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}}$

y

${\displaystyle Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}}$

tienen distribuciones idénticas. Si es suficiente considerar . ^[1] ${\displaystyle 0\in T}$ ${\displaystyle r=0}$

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. p. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2002). Fundamentos de la probabilidad moderna (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 290.