En teoría de la probabilidad , los incrementos independientes son una propiedad de procesos estocásticos y medidas aleatorias . La mayoría de las veces, un proceso o medida aleatoria tiene incrementos independientes por definición, lo que subraya su importancia. Algunos de los procesos estocásticos que por definición poseen incrementos independientes son el proceso de Wiener , todos los procesos de Lévy , todos los procesos aditivos [1]
y el proceso de puntos de Poisson .
Definición de procesos estocásticos
Sea un proceso estocástico . En la mayoría de los casos, o . Entonces el proceso estocástico tiene incrementos independientes si y sólo si para todas y cada una de las elecciones con![{\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=\mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=\mathbb {R} ^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\dots,t_{m-1},t_{m}\in T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
las variables aleatorias
![{\displaystyle (X_ {t_ {1}}-X_ {t_ {0}}), (X_ {t_ {2}}-X_ {t_ {1}}), \ puntos, (X_ {t_ {m}} -X_ {t_ {m-1}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
son estocásticamente independientes . [2]
Definición de medidas aleatorias
Una medida aleatoria tiene incrementos independientes si y sólo si las variables aleatorias son estocásticamente independientes para cada selección de conjuntos mensurables disjuntos por pares y cada . [3]![{\displaystyle \xi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi (B_{1}),\xi (B_{2}),\dots,\xi (B_{m})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ puntos, B_ {m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Incrementos S independientes
Sea una medida aleatoria y defina para cada mensurable acotado, establezca la medida aleatoria como![{\displaystyle \xi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\veces T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi _{B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces se llama medida aleatoria con incrementos S independientes , si para todos los conjuntos acotados y todas las medidas aleatorias son independientes. [4]![{\displaystyle \xi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ puntos, B_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\dots ,\xi _{B_{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Solicitud
Los incrementos independientes son una propiedad básica de muchos procesos estocásticos y, a menudo, se incorporan en su definición. La noción de incrementos independientes e incrementos S independientes de medidas aleatorias juega un papel importante en la caracterización del proceso de puntos de Poisson y la divisibilidad infinita.
Referencias
- ^ Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
- ^ Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 527.doi :10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 87.doi :10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.