Transformación de Weierstrass

En matemáticas , la transformada de Weierstrass ^[1] de una función $f : R \to R$ , llamada así en honor a Karl Weierstrass , es una versión "suavizada" de $f (x)$ obtenida promediando los valores de $f$ , ponderados con una gaussiana centrada en x .

Específicamente, es la función $F$ definida por

F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy )\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,

la convolución de $f$ con la función gaussiana

{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.

El factor 1/√(4 π ) se elige de modo que la gaussiana tenga una integral total de 1, con la consecuencia de que la transformada de Weierstrass no cambia las funciones constantes.

En lugar de $F (x)$ se escribe también $W [f](x)$ . Tenga en cuenta que no es necesario que $F (x)$ exista para cada número real $x$ , cuando la integral definitoria no converge.

La transformada de Weierstrass está íntimamente relacionada con la ecuación del calor (o, de manera equivalente, la ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante). Si la función $f$ describe la temperatura inicial en cada punto de una varilla infinitamente larga que tiene una conductividad térmica constante igual a 1, entonces la distribución de temperatura de la varilla t = 1 unidades de tiempo después vendrá dada por la función F. Al utilizar valores de t diferentes de 1, podemos definir la transformada de Weierstrass generalizada de $f$ .

La transformada generalizada de Weierstrass proporciona un medio para aproximar arbitrariamente bien una función integrable dada $f con$ funciones analíticas .

Nombres

Weierstrass utilizó esta transformación en su prueba original del teorema de aproximación de Weierstrass . También se la conoce como transformada de Gauss o transformada de Gauss-Weierstrass en honor a Carl Friedrich Gauss y como transformada de Hille en honor a Einar Carl Hille , quien la estudió exhaustivamente. La generalización Wt _que^{se menciona} a continuación se conoce en el análisis de señales como filtro gaussiano y en el procesamiento de imágenes (cuando se implementa en R2 ) como desenfoque gaussiano .

Transformadas de algunas funciones importantes.

Como se mencionó anteriormente, cada función constante es su propia transformada de Weierstrass. La transformada de Weierstrass de cualquier polinomio es un polinomio del mismo grado y, de hecho, el mismo coeficiente principal (el crecimiento asintótico no cambia). De hecho, si $H n$ denota el polinomio de Hermite (del físico) de grado n , entonces la transformada de Weierstrass de $H n$ ( $x$ /2) es simplemente $x n$ . Esto se puede demostrar aprovechando el hecho de que la función generadora de los polinomios de Hermite está estrechamente relacionada con el núcleo gaussiano utilizado en la definición de la transformada de Weierstrass.

La transformada de Weierstrass de la función e ^ax (donde a es una constante arbitraria) es e ^{a ²} e ^ax . La función e ^ax es, por tanto, una función propia de la transformada de Weierstrass. (De hecho, esto es cierto en términos más generales para todas las transformaciones de convolución).

Estableciendo a = bi donde i es la unidad imaginaria , y aplicando la identidad de Euler , se ve que la transformada de Weierstrass de la función cos( bx ) es e ^{− b ²} cos( bx ) y la transformada de Weierstrass de la función sin( bx ) es e ^{− b ²} pecado( bx ).

La transformada de Weierstrass de la función e ^{ax ²} es

{\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}

si a < 1/4 e indefinido si a ≥ 1/4.

En particular, al elegir un negativo, es evidente que la transformada de Weierstrass de una función gaussiana es nuevamente una función gaussiana, pero "más amplia".

Propiedades generales

La transformada de Weierstrass asigna a cada función f una nueva función F ; esta asignación es lineal . También es invariante de traducción, lo que significa que la transformada de la función f ( x + a ) es F ( x + a ). Ambos hechos son generalmente ciertos para cualquier transformación integral definida mediante convolución.

Si la transformada F ( x ) existe para los números reales x = a y x = b , entonces también existe para todos los valores reales intermedios y forma allí una función analítica ; además, F ( x ) existirá para todos los valores complejos de x con a ≤ Re( x ) ≤ b y forma una función holomorfa en esa franja del plano complejo . Esta es la declaración formal de la "suavidad" de F mencionada anteriormente.

Si f es integrable en todo el eje real (es decir, f ∈ L ¹ ( R ) ), entonces también lo es su transformada de Weierstrass F , y si además f ( x ) ≥ 0 para todo x , entonces también F ( x ) ≥ 0 para todas las x y las integrales de f y F son iguales. Esto expresa el hecho físico de que la energía térmica total o el calor se conserva mediante la ecuación del calor, o que la cantidad total de material en difusión se conserva mediante la ecuación de difusión.

Usando lo anterior, se puede demostrar que para 0 < p ≤ ∞ y f ∈ L ^p ( R ) , tenemos F ∈ L ^p ( R ) y || F || _pag ≤ || f || _pag . En consecuencia, la transformada de Weierstrass produce un operador acotado W : L ^p ( R ) → L ^p ( R ).

Si f es suficientemente suave, entonces la transformada de Weierstrass de la k -ésima derivada de f es igual a la k -ésima derivada de la transformada de Weierstrass de f .

Existe una fórmula que relaciona la transformada de Weierstrass W y la transformada de Laplace bilateral L. si definimos

g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)

entonces

W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\derecha).

Filtro de paso bajo

Hemos visto anteriormente que la transformada de Weierstrass de cos( bx ) es e ^{− b ²} cos( bx ), y de manera análoga para sin( bx ). En términos de análisis de señales , esto sugiere que si la señal f contiene la frecuencia b (es decir, contiene un sumando que es una combinación de sin( bx ) y cos( bx )), entonces la señal transformada F contendrá la misma frecuencia, pero con una amplitud multiplicada por el factor e ^{− b ²} . Esto tiene como consecuencia que las frecuencias más altas se reducen más que las más bajas y, por tanto, la transformada de Weierstrass actúa como un filtro de paso bajo . Esto también se puede mostrar con la transformada continua de Fourier , como sigue. La transformada de Fourier analiza una señal en términos de sus frecuencias, transforma convoluciones en productos y transforma gaussianas en gaussianas. La transformada de Weierstrass es una convolución con una gaussiana y, por lo tanto, es una multiplicación de la señal transformada de Fourier con una gaussiana, seguida de la aplicación de la transformada inversa de Fourier. Esta multiplicación con una gaussiana en el espacio de frecuencias mezcla las altas frecuencias, que es otra forma de describir la propiedad de "suavizado" de la transformada de Weierstrass.

La transformada inversa

La siguiente fórmula, estrechamente relacionada con la transformada de Laplace de una función gaussiana y análoga real a la transformación de Hubbard-Stratonovich , es relativamente fácil de establecer:

e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^ {-y^{2}/4}\;dy.

Ahora reemplace u con el operador de diferenciación formal D = d / dx y utilice el operador de desplazamiento de Lagrange

e^{-yD}f(x)=f(xy)

(una consecuencia de la fórmula de la serie de Taylor y la definición de la función exponencial ), para obtener

{\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{ \infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}

para obtener así la siguiente expresión formal para la transformada de Weierstrass W ,

$W=e^{D^{2}}~,$

donde debe entenderse que el operador de la derecha actúa sobre la función f ( x ) como

e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~ .

La derivación formal anterior pasa por alto los detalles de la convergencia y, por lo tanto, la fórmula W = e ^{D ²} no es universalmente válida; Hay varias funciones f que tienen una transformada de Weierstrass bien definida, pero para las cuales e ^{D ²} f ( x ) no se puede definir de manera significativa.

Sin embargo, la regla sigue siendo bastante útil y puede usarse, por ejemplo, para derivar las transformadas de Weierstrass de polinomios, funciones exponenciales y trigonométricas mencionadas anteriormente.

La inversa formal de la transformada de Weierstrass viene dada por tanto

W^{-1}=e^{-D^{2}}~.

Nuevamente, esta fórmula no es universalmente válida pero puede servir como guía. Se puede demostrar que es correcto para ciertas clases de funciones si el operador del lado derecho está definido correctamente. ^[2]

Alternativamente, se puede intentar invertir la transformada de Weierstrass de una manera ligeramente diferente: dada la función analítica

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,

aplicar W ⁻¹ para obtener

f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n} ]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)

una vez más utilizando una propiedad fundamental de los polinomios de Hermite (de los físicos) $H n$ .

Nuevamente, esta fórmula para f ( x ) es, en el mejor de los casos, formal, ya que no se comprobó si la serie final converge. Pero si, por ejemplo, f ∈ L ² ( R ), entonces el conocimiento de todas las derivadas de F en x = 0 es suficiente para obtener los coeficientes a _n ; y así reconstruir $f$ como una serie de polinomios de Hermite .

Un tercer método para invertir la transformada de Weierstrass aprovecha su conexión con la transformada de Laplace mencionada anteriormente y la conocida fórmula de inversión de la transformada de Laplace. El resultado se indica a continuación para las distribuciones.

Generalizaciones

Podemos usar la convolución con el núcleo gaussiano (con algo de $t$ $> 0$ ) en lugar de , definiendo así un operador $W$ $t$ , la transformada de Weierstrass generalizada. ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}}$

Para valores pequeños de $t, W t [f]$ está muy cerca de $f$ , pero es suave. Cuanto mayor sea $t$ , más promediará este operador y cambiará $f$ . Físicamente, $W t$ corresponde a seguir la ecuación del calor (o difusión) para $t$ unidades de tiempo, y esto es aditivo,

W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},

t

s

s + t

t = 0

W 0

función delta de Dirac de un parámetro .

El núcleo utilizado para la transformada de Weierstrass generalizada a veces se denomina núcleo de Gauss-Weierstrass y es la función de Green para la ecuación de difusión en $R.$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ $(\partial _ {t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0$

$W t$ se puede calcular a partir de $W$ : dada una función $f (x)$ , defina una nueva función $f t (x) = f (x \sqrt t)$ ; entonces $W t [f] (x) = W [f t] (x /\sqrt t)$ , consecuencia de la regla de sustitución .

La transformada de Weierstrass también se puede definir para ciertas clases de distribuciones o "funciones generalizadas". ^[3] Por ejemplo, la transformada de Weierstrass del delta de Dirac es la gaussiana . ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$

En este contexto, se pueden probar fórmulas de inversión rigurosas, por ejemplo,

f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{ x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(xz)^{2}}{4}}\;dz

x 0

F (x 0)

x 0

Además, la transformada de Weierstrass se puede definir para funciones (o distribuciones) de valores reales (o complejos) definidas en $R n$ . Usamos la misma fórmula de convolución que arriba pero interpretamos que la integral se extiende sobre todo $R n$ y la expresión $(x - y) 2$ como el cuadrado de la longitud euclidiana del vector $x - y$ ; el factor delante de la integral debe ajustarse para que la gaussiana tenga una integral total de 1.

De manera más general, la transformada de Weierstrass se puede definir en cualquier variedad de Riemann : la ecuación de calor se puede formular allí (usando el operador de Laplace-Beltrami de la variedad ), y la transformada de Weierstrass $W [f]$ se obtiene siguiendo la solución de la ecuación de calor. para una unidad de tiempo, comenzando con la "distribución de temperatura" inicial $f$ .

Transformaciones relacionadas

Si se considera la convolución con el núcleo $1/(π(1 + x 2))$ en lugar de con una gaussiana, se obtiene la transformada de Poisson que suaviza y promedia una función dada de manera similar a la transformada de Weierstrass.

Ver también

Referencias

^ Ahmed I. Zayed, Manual de funciones y transformaciones de funciones generalizadas , Capítulo 18. CRC Press, 1996.
^ GG Bilodeau, "La transformada de Weierstrass y los polinomios de Hermite". Duke Mathematical Journal 29 (1962), pág. 293-308
^ Yu A. Brychkov, AP Prudnikov. Transformadas integrales de funciones generalizadas , Capítulo 5. CRC Press, 1989