Espacio de Baire (teoría de conjuntos)

Concepto en la teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , el espacio de Baire es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números naturales con una topología determinada , llamada topología del producto . Este espacio se utiliza habitualmente en la teoría descriptiva de conjuntos , en la medida en que sus elementos suelen denominarse "reales". Se denota por N ^N , o ^ω ω, o por el símbolo o a veces por ω ^ω (no debe confundirse con el ordinal contable obtenido por exponenciación ordinal ). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

El espacio de Baire se define como el producto cartesiano de un número infinito de copias del conjunto de números naturales y se le asigna la topología de producto (donde a cada copia del conjunto de números naturales se le asigna la topología discreta ). El espacio de Baire se representa a menudo utilizando el árbol de secuencias finitas de números naturales.

(Este espacio tampoco debe confundirse con el concepto de espacio de Baire , que es un cierto tipo de espacio topológico).

El espacio de Baire puede contrastarse con el espacio de Cantor , el conjunto de secuencias infinitas de dígitos binarios .

Topología y árboles

La topología del producto utilizada para definir el espacio de Baire se puede describir de una de dos maneras equivalentes: en términos de una base que consiste en conjuntos de cilindros o de una base de árboles.

Base del juego de cilindros

Los conjuntos abiertos básicos de la topología de producto son conjuntos cilíndricos . Estos pueden caracterizarse como:

Si se selecciona un conjunto finito de coordenadas de números naturales I={ i } y para cada i se selecciona un valor de número natural particular v _i , entonces el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números naturales que tienen valor v _i en la posición i es un conjunto abierto básico. Todo conjunto abierto es una unión numerable de una colección de estos.

Usando una notación más formal, se pueden definir los cilindros individuales como

${\displaystyle C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}$

para una posición entera fija n y un valor entero v . Los cilindros son entonces los generadores de los conjuntos de cilindros: los conjuntos de cilindros consisten entonces en todas las intersecciones de un número finito de cilindros. Es decir, dado cualquier conjunto finito de coordenadas de números naturales y valores de números naturales correspondientes para cada , se considera la intersección finita de cilindros ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]}$

Esta intersección se denomina conjunto cilíndrico y el conjunto de todos esos conjuntos cilíndricos proporciona una base para la topología del producto . Todo conjunto abierto es una unión numerable de esos conjuntos cilíndricos.

Base del árbol

Una base alternativa para la topología del producto puede darse en términos de árboles. Los conjuntos abiertos básicos pueden caracterizarse como:

Si se selecciona una sucesión finita de números naturales { w _i  : i < n }, entonces el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números naturales que tienen valor w _i en la posición i para todo i < n es un conjunto abierto básico. Todo conjunto abierto es una unión numerable de una colección de estos.

Así, un conjunto abierto básico en el espacio de Baire es el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números naturales que extienden un segmento inicial finito común σ . Esto conduce a una representación del espacio de Baire como el conjunto de todos los caminos infinitos que pasan por el árbol completo ω ^{< ω} de sucesiones finitas de números naturales ordenados por extensión . Cada segmento inicial finito σ es un nodo del árbol de sucesiones finitas. Cada conjunto abierto está determinado por una unión numerable S de nodos de ese árbol. Un punto en el espacio de Baire está en un conjunto abierto si y solo si su camino pasa por uno de los nodos en su unión determinante. A la inversa, cada conjunto abierto corresponde a un subárbol S del árbol completo ω ^{< ω} , que consiste en, como máximo, un número numerable de nodos.

La representación del espacio de Baire como caminos a través de un árbol también proporciona una caracterización de los conjuntos cerrados como complementos de los subárboles que definen los conjuntos abiertos. Cada punto en el espacio de Baire pasa a través de una secuencia de nodos de ω ^<ω . Los conjuntos cerrados son complementos de conjuntos abiertos. Esto define un subárbol T del árbol completo ω ^<ω , en el que faltan los nodos de S que definen el conjunto abierto. El subárbol T consiste en todos los nodos en ω ^<ω que no están en S . Este subárbol T define un subconjunto cerrado C del espacio de Baire tal que cualquier punto x está en C si y solo si x es un camino a través de T . A la inversa, para cualquier subconjunto cerrado C del espacio de Baire hay un subárbol T que consiste en todos los ω ^<ω con como máximo un número contable de nodos eliminados.

Dado que el árbol completo ω ^{< ω} es en sí mismo numerable, esto implica que los conjuntos cerrados corresponden a cualquier subárbol del árbol completo, incluidos los subárboles finitos. Por lo tanto, la topología consiste en conjuntos clopen . Esto implica que el espacio de Baire es cerodimensional con respecto a la pequeña dimensión inductiva (como lo son todos los espacios cuya base consiste en conjuntos clopen).

Las definiciones anteriores de conjuntos abiertos y cerrados proporcionan los dos primeros conjuntos y la jerarquía de Borel en negrita . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$

Topología de caja

Los productos cartesianos también tienen una topología alternativa, la topología de caja . Esta topología es mucho más fina que la topología de producto, ya que no limita el conjunto de indicadores a ser finito. Convencionalmente, el espacio de Baire no se refiere a esta topología; solo se refiere a la topología de producto. ${\displaystyle I=\{i\in \omega \}}$

Peso

La definición anterior del espacio de Baire se generaliza a una en la que los elementos de la secuencia infinita numerable se eligen de un conjunto de cardinalidad . Un espacio de este tipo se denomina espacio de Baire de peso y se puede denotar como . ^[1] Con esta definición, los espacios de Baire de peso finito corresponderían al espacio de Cantor . El primer espacio de Baire de peso infinito es entonces ; es homeomorfo al definido anteriormente. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle D(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle B(\aleph _{0})}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

Métrico

Dadas dos secuencias y , una métrica puede definirse como donde es el menor entero tal que Con esta métrica, los conjuntos abiertos básicos de la base del árbol son bolas de radio . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle \rho (x,y)=1/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}.}$ ${\displaystyle 1/k}$

Un espacio métrico se integra en el espacio de Baire si y sólo si plantea una base de conjuntos clopen, donde la cardinalidad de es menor o igual a . ^{[2] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Propiedades

El espacio de Baire tiene las siguientes propiedades:

1. Se trata de un espacio polaco perfecto , lo que significa que es un segundo espacio numerable completamente metrizable y sin puntos aislados . Como tal, tiene la misma cardinalidad que la recta real y es un espacio de Baire en el sentido topológico del término.
2. Es de dimensión cero y totalmente desconectado .
3. No es localmente compacto .
4. Es universal para espacios polacos en el sentido de que puede aplicarse de forma continua a cualquier espacio polaco no vacío. Además, cualquier espacio polaco tiene un subespacio G δ denso homeomorfo a un subespacio G _δ del espacio de Baire.
5. El espacio de Baire es homeomorfo al producto de cualquier número finito o contable de copias de sí mismo.
6. Es el grupo de automorfismos de un modelo saturado infinito contable de alguna teoría completa . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Relación con la recta real

El espacio de Baire es homeomorfo al conjunto de los números irracionales cuando se les da la topología de subespacio heredada de la recta real. Se puede construir un homeomorfismo entre el espacio de Baire y los irracionales utilizando fracciones continuas . Es decir, dada una secuencia de números naturales , podemos asignar un número irracional correspondiente mayor que 1. ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }}$

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\cdots }}}}}$

Usando obtenemos otro homeomorfismo de a los irracionales en el intervalo unitario abierto y podemos hacer lo mismo para los irracionales negativos. Vemos que los irracionales son la suma topológica de cuatro espacios homeomorfos al espacio de Baire y por lo tanto también homeomorfos al espacio de Baire. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Desde el punto de vista de la teoría descriptiva de conjuntos , los espacios de Baire son más flexibles que la línea real en el siguiente sentido. Debido a que la línea real está conexa por trayectorias, también lo está toda imagen continua de una línea real. Por el contrario, todo espacio polaco es la imagen continua del espacio de Baire. Esta diferencia hace que la línea real sea "ligeramente incómoda de usar", a pesar del enfoque de la teoría descriptiva de conjuntos en conjuntos de reales. En cambio, a menudo es posible probar resultados sobre espacios polacos arbitrarios mostrando que estas propiedades se cumplen para el espacio de Baire y se conservan mediante funciones continuas . ^[4]

ω ^ω también tiene un interés independiente, aunque menor, en el análisis real , donde se considera como un espacio uniforme . Sin embargo, las estructuras uniformes de ω ^ω e Ir (los irracionales) son diferentes: ω ^ω es completo en su métrica habitual, mientras que Ir no lo es (aunque estos espacios son homeomorfos).

El operador de turno

El operador de desplazamiento en el espacio de Baire, cuando se asigna al intervalo unitario de los reales , se convierte en el operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing . Es decir, dada una secuencia , el operador de desplazamiento T devuelve . Del mismo modo, dada la fracción continua , la función de Gauss devuelve . El operador correspondiente para funciones del espacio de Baire al plano complejo es el operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing ; es el operador de transferencia de la función de Gauss. ^[5] Es decir, se consideran funciones del espacio de Baire al plano complejo . Este espacio de funciones hereda una topología de la topología del producto en el espacio de Baire; por ejemplo, se pueden considerar funciones que tienen convergencia uniforme . La función de desplazamiento, que actúa sobre este espacio de funciones, es entonces el operador GKW. ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle x=[a_{1},a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle h(x)=[a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La medida de Haar del operador de desplazamiento, es decir, una función que es invariante ante desplazamientos, está dada por la medida de Minkowski . Es decir, se tiene que , donde T es el desplazamiento ^[6] y E cualquier subconjunto medible de ω ^ω . ${\displaystyle (...)'}$ ${\displaystyle (TE)'=E'}$

Véase también

• Espacio de Baire  – Concepto en topología
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

1. Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general . vol. I. Berlín, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. Véase el capítulo uno.
2. R. Engelking (1977). Topología general . PWN, Varsovia.
3. Aleksandrov, PS (1977). Introducción a la teoría de conjuntos y topología general . Moscú: Nauka.
4. Martin, Donald A. (1977). "Teoría descriptiva de conjuntos: conjuntos proyectivos". Manual de lógica matemática . Stud. Logic Found. Math. Vol. 90. Holanda Septentrional, Ámsterdam. págs. 783–815. ISBN 0-7204-2285-X.Señor 3727424  .; véanse especialmente las págs. 785-786
5. Linas Vepstas, "El operador Gauss-Kuzmin-Wirsing" (2004)
6. Linas Vepstas, "Sobre la medida de Minkowski", (2008) arXiv:0810.1265

• Kechris, Alexander S. (1994). Teoría clásica de conjuntos descriptivos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría de conjuntos descriptivos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0.