Elemento positivo

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama positivo si es la suma de elementos de la forma . ^[1] ${\displaystyle a^{*}a}$

Definición

Sea una *-álgebra. Un elemento se llama positivo si hay un número finito de elementos , por lo que se cumple. ^[1] Esto también se denota por . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)}$ ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

El conjunto de elementos positivos se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso donde es un *-álgebra normada completa , que satisface la C*-identidad ( ), que se llama un C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Ejemplos

• El elemento unidad de un *-álgebra unital es positivo. ${\displaystyle e}$
• Para cada elemento , los elementos y son positivos por definición. ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$

En el caso de que sea un C*-álgebra, se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sea un elemento normal , entonces para cada función positiva que sea continua en el espectro del cálculo funcional continuo se define un elemento positivo . ^[3] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$
• Toda proyección , es decir, todo elemento para el que se cumple , es positiva. Para el espectro de un elemento idempotente de este tipo , se cumple , como se puede ver a partir del cálculo funcional continuo. ^[3] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Criterios

Sea una C*-álgebra y . Entonces las siguientes son equivalentes: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

• Porque el espectro se cumple y es un elemento normal. ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq [0,\infty )}$ ${\displaystyle a}$
• Existe un elemento , tal que . ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=bb^{*}}$
• Existe un elemento autoadjunto (único) tal que . ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=c^{2}}$

Si es una *-álgebra unitaria con elemento unidad , entonces además las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$para cada y es un elemento autoadjunto. ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$Para algunos es un elemento autoadjunto. ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$

Propiedades

En *-álgebras

Sea una *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Si es un elemento positivo, entonces es autoadjunto. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a}$
• El conjunto de elementos positivos es un cono convexo en el espacio vectorial real de los elementos autoadjuntos . Esto significa que se cumple para todos y . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$
• Si es un elemento positivo, entonces también es positivo para cada elemento . ^[7] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{*}ab}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$
• Para el intervalo lineal de lo siguiente se cumple: y . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}}$

En álgebras C*

Sea una C*-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Utilizando el cálculo funcional continuo, para cada y existe un determinado de forma única que satisface , es decir, una raíz -ésima única . En particular, existe una raíz cuadrada para cada elemento positivo. Dado que para cada el elemento es positivo, esto permite la definición de un valor absoluto único : . ^[9] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle b^{*}b}$ ${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada número real existe un elemento positivo para el cual se cumple para todo . La aplicación es continua. Los valores negativos para también son posibles para elementos invertibles . ^[7] ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto a^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Los productos de elementos positivos conmutativos también son positivos. Por lo tanto, si se cumple para , entonces . ^[5] ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle ab\in {\mathcal {A}}_{+}}$
• Cada elemento puede representarse de forma única como una combinación lineal de cuatro elementos positivos. Para ello, primero se descompone en las partes reales e imaginarias autoadjuntas y estas se descomponen luego en partes positivas y negativas utilizando el cálculo funcional continuo . ^[10] Porque se cumple que , ya que . ^[8] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}}$
• Si tanto y son positivos se cumple. ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a=0}$
• Si es una C*-subálgebra de , entonces . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}}$
• Si es otra C*-álgebra y es un *-homomorfismo de a , entonces se cumple. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\Phi ({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}}$
• Si son elementos positivos para los cuales , conmutan y se cumplen. Dichos elementos se denominan ortogonales y se escriben . ^[12] ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle \left\|a+b\right\|=\max(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|)}$ ${\displaystyle a\bot b}$

Orden parcial

Sea una *-álgebra. La propiedad de ser un elemento positivo define un orden parcial invariante de traslación en el conjunto de elementos autoadjuntos . Si se cumple para , se escribe o . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle b-a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$

Este orden parcial cumple las propiedades y para todos con y . ^[8] ${\displaystyle ta\leq tb}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

Si es un C*-álgebra, el orden parcial también tiene las siguientes propiedades para : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$

• Si se cumple, entonces es cierto para cada . Para cada que conmuta con y se cumple. ^[14] ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c^{*}ac\leq c^{*}bc}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ac\leq bc}$
• Si se cumple, entonces . ^[15] ${\displaystyle -b\leq a\leq b}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|\leq \left\|b\right\|}$
• Si se cumple, entonces se cumple para todos los números reales . ^[16] ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$ ${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$
• Si es invertible y se cumple, entonces es invertible y para las inversas se cumple. ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{-1}\leq a^{-1}}$

Véase también

• Matriz no negativa
• Operador positivo (espacio de Hilbert)

Citas

Referencias

1. Palmer 2001, pág. 798.
2. Blackadar 2006, pág. 63.
3. Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
4. Kadison y Ringrose 1983, págs. 247–248.
5. Kadison y Ringrose 1983, pág. 245.
6. Palmer 2001, pág. 800.
7. Blackadar 2006, pág. 64.
8. Palmer 2001, pág. 802.
9. Blackadar 2006, págs. 63–65.
10. Kadison y Ringrose 1983, pág. 247.
11. Dixmier 1977, pág. 18.
12. Blackadar 2006, pág. 67.
13. Palmer 2001, pág. 799.
14. Kadison y Ringrose 1983, pág. 249.
15. Kadison y Ringrose 1983, pág. 250.
16. Blackadar 2006, pág. 66.

Bibliografía

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las álgebras C* y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras: Volumen 2, *-álgebras . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.