Teorema de comparación de Rauch

Relaciona la curvatura seccional de una variedad de Riemann con la velocidad a la que se separan las geodésicas.

En geometría de Riemann , el teorema de comparación de Rauch , llamado así por Harry Rauch , quien lo demostró en 1951, es un resultado fundamental que relaciona la curvatura seccional de una variedad de Riemann con la velocidad a la que las geodésicas se separan. Intuitivamente, establece que para la curvatura positiva, las geodésicas tienden a converger, mientras que para la curvatura negativa, las geodésicas tienden a separarse.

El enunciado del teorema involucra dos variedades de Riemann y permite comparar la velocidad infinitesimal a la que las geodésicas se separan en las dos variedades, siempre que su curvatura pueda compararse. La mayoría de las veces, una de las dos variedades es un "modelo de comparación", generalmente una variedad con curvatura constante , y la segunda es la variedad en estudio: se necesita entonces un límite (inferior o superior) en su curvatura seccional para poder aplicar el teorema de comparación de Rauch.

Declaración

Sean variedades de Riemann, en las que se dibujan segmentos geodésicos de velocidad unitaria y . Supóngase que no tiene puntos conjugados a lo largo de , y sean dos campos de Jacobi normales a lo largo de y tales que : ${\displaystyle M,{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle J,{\widetilde {J}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$

• ${\displaystyle J(0)=0}$y ${\displaystyle {\widetilde {J}}(0)=0}$
• ${\displaystyle |D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|}$.

Si la curvatura seccional de cada 2-plano que contiene es menor o igual que la curvatura seccional de cada 2-plano que contiene , entonces para todos los . ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)}$ ${\displaystyle |J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Condiciones del teorema

El teorema se formula utilizando campos de Jacobi para medir la variación de las geodésicas. Como la parte tangencial de un campo de Jacobi es independiente de la geometría de la variedad, el teorema se centra en los campos de Jacobi normales, es decir, los campos de Jacobi que son ortogonales al vector de velocidad de la geodésica en todo momento . Hasta la reparametrización, cada variación de las geodésicas induce un campo de Jacobi normal. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Se solicita que los campos de Jacobi se desvanezcan en el tiempo porque el teorema mide la divergencia infinitesimal (o convergencia) de una familia de geodésicas emitidas desde el mismo punto , y dicha familia induce un campo de Jacobi que se desvanece en . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle t=0}$

Teoremas analógicos

En condiciones muy similares, también es posible comparar el hessiano de la función distancia a un punto dado. ^[1] También es posible comparar el laplaciano de esta función (que es la traza del hessiano), con alguna condición adicional sobre una de las dos variedades: basta entonces tener una desigualdad sobre la curvatura de Ricci (que es la traza del tensor de curvatura). ^[1]

Véase también

• Teorema de Toponogov

Referencias

1. Greene, Robert Everist; Wu, Hongxi (1979). Teoría de funciones en variedades que poseen un polo. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09108-4.OCLC 4593089  .

• do Carmo, MP Geometría de Riemann , Birkhäuser, 1992.
• Lee, JM, Variedades de Riemann: una introducción a la curvatura , Springer, 1997.