Principio de Fermat

El principio de Fermat , también conocido como principio del tiempo mínimo , es el vínculo entre la óptica de rayos y la óptica ondulatoria . El principio de Fermat establece que el camino que sigue un rayo entre dos puntos dados es el camino que puede recorrerse en el menor tiempo posible.

El principio de Fermat, propuesto por primera vez por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662 como un medio para explicar la ley ordinaria de refracción de la luz (Fig. 1), fue inicialmente controvertido porque parecía atribuir conocimiento e intención a la naturaleza. No fue hasta el siglo XIX que se entendió que la capacidad de la naturaleza para probar caminos alternativos es simplemente una propiedad fundamental de las ondas. ^[1] Si se dan los puntos A y B , un frente de onda que se expande desde A barre todos los caminos posibles de los rayos que irradian desde A , pasen o no por B. Si el frente de onda llega al punto B , barre no solo los caminos de los rayos de A a B , sino también una infinidad de caminos cercanos con los mismos puntos finales. El principio de Fermat describe cualquier rayo que llegue al punto B ; no hay ninguna implicación de que el rayo "supiera" el camino más rápido o "tuviera la intención" de tomar ese camino.

En su forma original "fuerte", ^[2] el principio de Fermat establece que el camino que sigue un rayo entre dos puntos dados es el camino que puede recorrerse en el menor tiempo. Para que sea cierto en todos los casos, esta afirmación debe debilitarse reemplazando el tiempo "menor" por un tiempo que sea " estacionario " con respecto a las variaciones del camino, de modo que una desviación del mismo provoque, como máximo, un cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. Para decirlo de forma imprecisa, el camino de un rayo está rodeado de caminos cercanos que pueden recorrerse en tiempos muy cercanos. Se puede demostrar que esta definición técnica corresponde a nociones más intuitivas de rayo, como una línea de visión o el camino de un haz estrecho .

Para comparar los tiempos de recorrido, el tiempo desde un punto hasta el siguiente punto designado se toma como si el primer punto fuera una fuente puntual . ^[3] Sin esta condición, el tiempo de recorrido sería ambiguo; por ejemplo, si el tiempo de propagación desde $P$ hasta $P'$ se calculara a partir de un frente de onda arbitrario W que contuviera $a P$ (Fig. 2), ese tiempo podría hacerse arbitrariamente pequeño inclinando adecuadamente el frente de onda.

Tratar un punto en el camino como una fuente es el requisito mínimo del principio de Huygens , y es parte de la explicación del principio de Fermat. Pero también se puede demostrar que la construcción geométrica mediante la cual Huygens intentó aplicar su propio principio (a diferencia del principio mismo) es simplemente una invocación del principio de Fermat. ^[4] Por lo tanto, todas las conclusiones que Huygens extrajo de esa construcción –incluyendo, sin limitación, las leyes de propagación rectilínea de la luz, reflexión ordinaria, refracción ordinaria y la refracción extraordinaria del “ cristal de Islandia ” (calcita)– son también consecuencias del principio de Fermat.

Derivación

Condiciones suficientes

Supongamos que:

Una perturbación se propaga secuencialmente a través de un medio (el vacío o algún material, no necesariamente homogéneo o isótropo ), sin acción a distancia ;
Durante la propagación, la influencia de la perturbación en cualquier punto intermedio P sobre los puntos circundantes tiene una dispersión angular distinta de cero (como si P fuera una fuente), de modo que una perturbación que se origina en cualquier punto A llega a cualquier otro punto B a través de una infinidad de caminos, por los cuales B recibe una infinidad de versiones retardadas de la perturbación en A ; ^{[Nota 1]} y
Estas versiones retrasadas de la perturbación se reforzarán entre sí en B si están sincronizadas dentro de cierta tolerancia.

Entonces, los distintos caminos de propagación de A a B se ayudarán entre sí, o interferirán constructivamente, si sus tiempos de recorrido coinciden dentro de dicha tolerancia. Para una pequeña tolerancia (en el caso límite), el rango permisible de variaciones del camino se maximiza si el camino es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación del camino provoque como máximo un cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. ^[5]

El ejemplo más obvio de estacionariedad en el tiempo de recorrido es un mínimo (local o global), es decir, un camino de tiempo mínimo , como en la forma "fuerte" del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento. ^{[Nota 2]}

Una vez establecido que un camino de tiempo de recorrido estacionario se ve reforzado por un corredor de ancho máximo de caminos vecinos, todavía tenemos que explicar cómo este refuerzo corresponde a las nociones intuitivas de un rayo. Pero, para abreviar en las explicaciones, definamos primero un camino de rayo como un camino de tiempo de recorrido estacionario.

Un rayo como trayectoria de señal (línea de visión)

Si el corredor de caminos que refuerzan una trayectoria de rayos de A a B está sustancialmente obstruido, esto alterará significativamente la perturbación que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de cualquier corredor de ese tipo, que bloquea caminos que no se refuerzan entre sí. La primera obstrucción interrumpirá significativamente la señal que llega a B desde A , mientras que la segunda no lo hará; por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de señal . Si la señal es luz visible, la primera obstrucción afectará significativamente la apariencia de un objeto en A tal como lo ve un observador en B , mientras que la segunda no lo hará; por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una línea de visión .

En los experimentos ópticos, se supone rutinariamente que una línea de visión es una trayectoria de rayo. ^[6]

Un rayo como camino de energía (haz)

Si el corredor de caminos que refuerza la trayectoria de un rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto afectará significativamente la energía ^{[Nota 3]} que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de cualquier corredor de ese tipo. Por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de energía , al igual que un haz.

Supongamos que un frente de onda que se expande desde el punto A pasa por el punto P , que se encuentra en una trayectoria de rayos desde el punto A al punto B . Por definición, todos los puntos en el frente de onda tienen el mismo tiempo de propagación desde A . Ahora supongamos que el frente de onda está bloqueado excepto por una ventana, centrada en P , y lo suficientemente pequeña como para estar dentro del corredor de trayectorias que refuerzan la trayectoria del rayo desde A hasta B . Entonces todos los puntos en la parte no obstruida del frente de onda tendrán, casi lo suficientemente, tiempos de propagación iguales a B , pero no a los puntos en otras direcciones, de modo que B estará en la dirección de la intensidad máxima del haz admitido a través de la ventana. ^[7] Por lo tanto, la trayectoria del rayo marca el haz. Y en los experimentos ópticos, un haz se considera rutinariamente como una colección de rayos o (si es estrecho) como una aproximación a un rayo (Fig. 3). ^[8]

Analogías

Según la forma "fuerte" del principio de Fermat, el problema de encontrar la trayectoria de un rayo de luz desde el punto A , en un medio de propagación más rápida, hasta el punto B, en un medio de propagación más lenta (Fig. 1), es análogo al problema al que se enfrenta un socorrista al decidir dónde entrar al agua para llegar lo antes posible a un nadador que se está ahogando, dado que el socorrista puede correr más rápido de lo que puede nadar. ^[9] Pero esa analogía no alcanza a explicar el comportamiento de la luz, porque el socorrista puede pensar en el problema (aunque sea solo por un instante), mientras que la luz presumiblemente no puede. El descubrimiento de que las hormigas son capaces de realizar cálculos similares ^[10] no cierra la brecha entre lo animado y lo inanimado.

Por el contrario, los supuestos anteriores (1) a (3) son válidos para cualquier perturbación ondulatoria y explican el principio de Fermat en términos puramente mecanicistas , sin ninguna imputación de conocimiento o propósito.

El principio se aplica a las ondas en general, incluidas (por ejemplo) las ondas sonoras en fluidos y las ondas elásticas en sólidos. ^[11] En una forma modificada, incluso funciona para las ondas de materia : en mecánica cuántica , la trayectoria clásica de una partícula se puede obtener aplicando el principio de Fermat a la onda asociada, excepto que, debido a que la frecuencia puede variar con la trayectoria, la estacionariedad está en el cambio de fase (o número de ciclos) y no necesariamente en el tiempo. ^[12]^[13]

Sin embargo, el principio de Fermat es más conocido en el caso de la luz visible : es el vínculo entre la óptica geométrica , que describe ciertos fenómenos ópticos en términos de rayos , y la teoría ondulatoria de la luz , que explica los mismos fenómenos bajo la hipótesis de que la luz se compone de ondas .

Equivalencia con la construcción de Huygens

**Fig. 4** : Dos iteraciones de la construcción de Huygens. En la primera iteración, el frente de onda posterior $W'$ se deriva del frente de onda anterior $W$ tomando la envolvente de todos los frentes de onda secundarios (arcos grises) que se expanden en un tiempo dado desde todos los puntos (por ejemplo, $P$ ) en $W$ . Las flechas muestran las direcciones de los rayos.

En este artículo distinguimos entre el principio de Huygens , que establece que cada punto atravesado por una onda viajera se convierte en la fuente de una onda secundaria, y la construcción de Huygens , que se describe a continuación.

Sea la superficie $W$ un frente de onda en el instante $t$ , y sea la superficie $W'$ el mismo frente de onda en el instante posterior $t + Δ t$ (Fig. 4). Sea $P$ un punto general en $W$ . Entonces, según la construcción de Huygens, ^[14]

$W'$ es la envolvente (superficie tangente común), en el lado delantero de $W$ , de todos los frentes de onda secundarios, cada uno de los cuales se expandiría en el tiempo $Δ t$ desde un punto en $W$ , y
Si el frente de onda secundario que se expande desde el punto $P$ en el tiempo $Δ t$ toca la superficie $W'$ en el punto $P'$ , entonces $P$ y $P'$ se encuentran en un rayo .

La construcción puede repetirse para encontrar posiciones sucesivas del frente de onda primario y puntos sucesivos en el rayo.

La dirección del rayo dada por esta construcción es la dirección radial del frente de onda secundario, ^[15] y puede diferir de la normal del frente de onda secundario (cf. Fig. 2), y por lo tanto de la normal del frente de onda primario en el punto de tangencia. Por lo tanto, la velocidad del rayo , en magnitud y dirección, es la velocidad radial de un frente de onda secundario infinitesimal, y generalmente es una función de la ubicación y la dirección. ^[16]

Sea ahora $Q$ un punto en $W$ cercano a $P$ , y sea $Q'$ un punto en $W'$ cercano a $P'$ . Entonces, por la construcción,

el tiempo que tarda un frente de onda secundario desde $P$ hasta llegar $a Q'$ tiene como máximo una dependencia de segundo orden con respecto al desplazamiento $P'Q'$ , y
El tiempo que tarda un frente de onda secundario en llegar a $P'$ desde $Q$ tiene, como máximo, una dependencia de segundo orden con respecto al desplazamiento $PQ$ .

Por (i), la trayectoria del rayo es una trayectoria de tiempo de recorrido estacionario desde $P$ hasta $W'$ ; ^[17] y por (ii), es una trayectoria de tiempo de recorrido estacionario desde un punto en $W$ hasta $P'$ . ^[18]

Así, la construcción de Huygens define implícitamente una trayectoria de rayo como una trayectoria de tiempo transversal estacionario entre posiciones sucesivas de un frente de onda , tiempo que se calcula a partir de una fuente puntual en el frente de onda anterior. ^{[Nota 4]} Esta conclusión sigue siendo válida si los frentes de onda secundarios son reflejados o refractados por superficies de discontinuidad en las propiedades del medio, siempre que la comparación se restrinja a las trayectorias afectadas y las porciones afectadas de los frentes de onda. ^{[Nota 5]}

Sin embargo, el principio de Fermat se expresa convencionalmente en términos de punto a punto , no de frente de onda a frente de onda. En consecuencia, modifiquemos el ejemplo suponiendo que el frente de onda que se convierte en superficie $W$ en el tiempo $t$ , y que se convierte en superficie $W'$ en el tiempo posterior $t + Δ t$ , se emite desde el punto $A$ en el tiempo $0$ . Sea $P$ un punto en $W$ (como antes), y $B$ un punto en $W'$ . Y sean $A$ , $W$ , $W'$ y $B$ dados, de modo que el problema es encontrar $P$ .

Si $P$ satisface la construcción de Huygens, de modo que el frente de onda secundario desde $P$ es tangente a $W'$ en $B$ , entonces $PB$ es un camino de tiempo de recorrido estacionario desde $W$ hasta $B$ . Si sumamos el tiempo fijo desde $A$ hasta $W$ , encontramos que $APB$ es el camino de tiempo de recorrido estacionario desde $A$ hasta $B$ (posiblemente con un dominio de comparación restringido, como se señaló anteriormente), de acuerdo con el principio de Fermat. El argumento funciona igual de bien en la dirección inversa, siempre que $W'$ tenga un plano tangente bien definido en $B$ . Por lo tanto, la construcción de Huygens y el principio de Fermat son geométricamente equivalentes. ^[19]^{[Nota 6]}

Mediante esta equivalencia, el principio de Fermat sustenta la construcción de Huygens y, por tanto, todas las conclusiones que Huygens pudo extraer de dicha construcción. En resumen, "las leyes de la óptica geométrica pueden derivarse del principio de Fermat". ^[20] Con excepción del propio principio de Fermat-Huygens, estas leyes son casos especiales en el sentido de que dependen de otras suposiciones sobre el medio. Dos de ellas se mencionan en el siguiente apartado.

Casos especiales

Medios isotrópicos: rayos normales a los frentes de onda

En un medio isótropo, como la velocidad de propagación es independiente de la dirección, los frentes de onda secundarios que se expanden desde puntos de un frente de onda primario en un tiempo infinitesimal dado son esféricos, ^[16] de modo que sus radios son normales a su superficie tangente común en los puntos de tangencia. Pero sus radios marcan las direcciones de los rayos, y su superficie tangente común es un frente de onda general. Por lo tanto, los rayos son normales (ortogonales) a los frentes de onda. ^[21]

Debido a que gran parte de la enseñanza de la óptica se concentra en medios isotrópicos, tratando los medios anisotrópicos como un tema opcional, la suposición de que los rayos son normales a los frentes de onda puede llegar a ser tan generalizada que incluso el principio de Fermat se explica bajo esa suposición, aunque de hecho el principio de Fermat es más general. ^[22]

Medios homogéneos: propagación rectilínea

En un medio homogéneo (también llamado medio uniforme ), todos los frentes de onda secundarios que se expanden a partir de un frente de onda primario dado $W$ en un tiempo dado $Δ t$ son congruentes y están orientados de manera similar, de modo que su envolvente $W'$ puede considerarse como la envolvente de un frente de onda secundario único que conserva su orientación mientras su centro (fuente) se mueve sobre $W$ . Si $P$ es su centro mientras que $P'$ es su punto de tangencia con $W'$ , entonces $P'$ se mueve paralelo a $P$ , de modo que el plano tangente a $W'$ en $P'$ es paralelo al plano tangente a $W$ en $P$ . Sea otro frente de onda secundario (congruente y de orientación similar) centrado en $P'$ , moviéndose con $P$ , y sea que se encuentre con su envolvente $W″$ en el punto $P″$ . Entonces, por el mismo razonamiento, el plano tangente a $W″$ en $P″$ es paralelo a los otros dos planos. Por lo tanto, debido a la congruencia y a las orientaciones similares, las direcciones de los rayos $PP'$ y $P'P″$ son las mismas (pero no necesariamente normales a los frentes de onda, ya que los frentes de onda secundarios no son necesariamente esféricos). Esta construcción se puede repetir cualquier número de veces, dando un rayo recto de cualquier longitud. Por lo tanto, un medio homogéneo admite rayos rectilíneos. ^[23]

Versión moderna

Formulación en términos de índice de refracción

Sea un camino $Γ$ el que se extiende desde el punto $A$ hasta el punto $B.$ Sea $s$ la longitud de arco medida a lo largo del camino desde $A$ y sea $t$ el tiempo que se tarda en recorrer esa longitud de arco a la velocidad del rayo (es decir, a la velocidad radial del frente de onda secundario local, para cada ubicación y dirección en el camino). Entonces, el tiempo de recorrido de todo el camino $Γ$ es $v_{\mathrm {r} }$

(donde $A$ y $B$ simplemente denotan los puntos finales y no deben interpretarse como valores de $t$ o $s$ ). La condición para que $Γ$ sea una trayectoria de rayo es que el cambio de primer orden en $T$ debido a un cambio en $Γ$ sea cero; es decir, $\delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,.$

Ahora definamos la longitud óptica de un camino dado ( longitud del camino óptico , OPL ) como la distancia recorrida por un rayo en un medio de referencia isótropo homogéneo (por ejemplo, el vacío) en el mismo tiempo que tarda en recorrer el camino dado a la velocidad local del rayo. ^[24] Entonces, si $c$ denota la velocidad de propagación en el medio de referencia (por ejemplo, la velocidad de la luz en el vacío), la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo $dt$ es $dS = c dt$ , y la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo $T$ es $S = cT$ . Así, multiplicando la ecuación (1) por $c$ , obtenemos donde es el índice del rayo , es decir, el índice de refracción calculado sobre la velocidad del rayo en lugar de la velocidad de fase habitual (velocidad normal de onda). ^[25] Para un camino infinitesimal, tenemos lo que indica que la longitud óptica es la longitud física multiplicada por el índice del rayo: la OPL es una cantidad geométrica nocional , de la que se ha factorizado el tiempo. En términos de OPL, la condición para que $Γ$ sea una trayectoria de rayo (principio de Fermat) se convierte en $S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,$ $\,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,$ $dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,$

Esto tiene la forma del principio de Maupertuis en la mecánica clásica (para una sola partícula), con el índice de rayos en óptica asumiendo el papel del momento o la velocidad en mecánica. ^[26]

En un medio isótropo, en el que la velocidad del rayo es también la velocidad de fase, ^{[Nota 7]} podemos sustituir el índice de refracción habitual $n$ por $n r$ .  ^[27]^[28]

Relación con el principio de Hamilton

Si $x$ , $y$ , $z$ son coordenadas cartesianas y un punto sobrepuesto denota diferenciación con respecto a $s$ , el principio de Fermat (2) puede escribirse ^[29] En el caso de un medio isótropo, podemos reemplazar $n$ $r$ con el índice de refracción normal $n$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ , que es simplemente un campo escalar . Si luego definimos el Lagrangiano óptico ^[30] como el principio de Fermat se convierte en ^[31] Si la dirección de propagación es siempre tal que podemos usar $z$ en lugar de $s$ como parámetro de la trayectoria (y el punto sobrepuesto para denotar diferenciación con respecto a $z$ en lugar de $s$ ), el Lagrangiano óptico puede escribirse en cambio ^[32] de modo que el principio de Fermat se convierte en Esto tiene la forma del principio de Hamilton en la mecánica clásica, excepto que falta la dimensión temporal: la tercera coordenada espacial en óptica asume el papel del tiempo en mecánica. ^[33] El Lagrangiano óptico es la función que, cuando se integra con respecto al parámetro de la trayectoria, produce la OPL; es la base de la óptica lagrangiana y hamiltoniana . ^[34] ${\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy ^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot { x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}$ $L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\, {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,$ $\delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\punto {x}},{\punto {y}},{\punto {z}})\,ds\,=\,0\,.$ $L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n( x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,$ $\delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\punto {x}}(z),{\punto {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.$

Historia

Si un rayo sigue una línea recta, obviamente toma el camino de menor longitud . Herón de Alejandría , en su Catóptrica (siglo I d.C.), demostró que la ley ordinaria de reflexión sobre una superficie plana se deduce de la premisa de que la longitud total de la trayectoria del rayo es mínima. ^[35] Ibn al-Haytham , un erudito del siglo XI, extendió más tarde este principio a la refracción, dando así una versión temprana del principio de Fermat. ^[36]^[37]^[38]

Fermat contra los cartesianos

En 1657, Pierre de Fermat recibió de Marin Cureau de la Chambre una copia de un tratado recién publicado, en el que La Chambre señalaba el principio de Hero y se quejaba de que no funcionaba para la refracción. ^[40]

Fermat respondió que la refracción podía incluirse en el mismo marco suponiendo que la luz tomaba el camino de menor resistencia y que los diferentes medios ofrecían diferentes resistencias. Su solución final, descrita en una carta a La Chambre fechada el 1 de enero de 1662, interpretaba la "resistencia" como inversamente proporcional a la velocidad, de modo que la luz tomaba el camino de menor tiempo . Esa premisa daba como resultado la ley ordinaria de la refracción, siempre que la luz viajara más lentamente en el medio ópticamente más denso. ^[41]^{[Nota 8]}

La solución de Fermat fue un hito porque unificó las leyes entonces conocidas de la óptica geométrica bajo un principio variacional o principio de acción , sentando el precedente para el principio de mínima acción en la mecánica clásica y los principios correspondientes en otros campos (ver Historia de los principios variacionales en física ). ^[42] Fue más notable porque utilizó el método de adecuación , que puede entenderse en retrospectiva como encontrar el punto donde la pendiente de una cuerda infinitesimalmente corta es cero, ^[43] sin el paso intermedio de encontrar una expresión general para la pendiente (la derivada ).

También fue inmediatamente controvertida. La ley ordinaria de refracción se atribuyó en ese momento a René Descartes (fallecido en 1650), quien había intentado explicarla suponiendo que la luz era una fuerza que se propagaba instantáneamente , o que la luz era análoga a una pelota de tenis que viajaba más rápido en el medio más denso, ^[44]^[45] siendo ambas premisas incompatibles con la de Fermat. El defensor más destacado de Descartes, Claude Clerselier , criticó a Fermat por atribuir aparentemente conocimiento e intención a la naturaleza, y por no explicar por qué la naturaleza debería preferir economizar tiempo en lugar de distancia. Clerselier escribió en parte:

1. El principio que usted toma como base de su demostración, a saber, que la naturaleza siempre actúa de la manera más breve y más simple, es meramente un principio moral y no físico; no es ni puede ser la causa de ningún efecto en la naturaleza... De lo contrario, atribuiríamos conocimiento a la naturaleza; pero aquí, por "naturaleza", entendemos solamente este orden y esta ley establecida en el mundo tal como es, que actúa sin previsión, sin elección y por una determinación necesaria.
2. Este mismo principio haría a la naturaleza indecisa... Pues os pregunto... cuando un rayo de luz debe pasar de un punto de un medio raro a un punto de un medio denso, ¿no hay razón para que la naturaleza dude si, según vuestro principio, debe elegir la línea recta tan pronto como la curva, ya que si esta última resulta más corta en el tiempo, la primera es más corta y más simple en longitud? ¿Quién decidirá y quién se pronunciará?  ^[46]

Fermat, al no ser consciente de los fundamentos mecanicistas de su propio principio, no estaba bien situado para defenderlo, excepto como una proposición puramente geométrica y cinemática . ^[47]^[48] La teoría ondulatoria de la luz , propuesta por primera vez por Robert Hooke en el año de la muerte de Fermat, ^[49] y rápidamente mejorada por Ignace-Gaston Pardies ^[50] y (especialmente) Christiaan Huygens , ^[51] contenía los fundamentos necesarios; pero el reconocimiento de este hecho fue sorprendentemente lento.

La supervisión de Huygens

En 1678, Huygens propuso que cada punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en una fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. ^[52] Huygens se refirió repetidamente a la envolvente de sus frentes de onda secundarios como la terminación del movimiento, ^[53] lo que significa que el frente de onda posterior era el límite exterior que la perturbación podía alcanzar en un tiempo determinado, ^[54] que era, por lo tanto, el tiempo mínimo en el que se podía alcanzar cada punto del frente de onda posterior. Pero no argumentó que la dirección del tiempo mínimo fuera la que va desde la fuente secundaria hasta el punto de tangencia; en cambio, dedujo la dirección del rayo a partir de la extensión de la superficie tangente común correspondiente a una extensión dada del frente de onda inicial. ^[55] Su única aprobación del principio de Fermat fue limitada en su alcance: habiendo derivado la ley de refracción ordinaria, según la cual los rayos son normales a los frentes de onda, ^[56] Huygens dio una prueba geométrica de que un rayo refractado según esta ley toma el camino del menor tiempo. ^[57] Difícilmente hubiera creído que esto fuera necesario si hubiera sabido que el principio del menor tiempo se deducía directamente de la misma construcción de la tangente común mediante la cual había deducido no sólo la ley de refracción ordinaria, sino también las leyes de propagación rectilínea y reflexión ordinaria (que también se sabía que se deducían del principio de Fermat), y una ley previamente desconocida de refracción extraordinaria –esta última por medio de frentes de onda secundarios que eran esferoidales en lugar de esféricos, con el resultado de que los rayos eran generalmente oblicuos a los frentes de onda. Era como si Huygens no se hubiera dado cuenta de que su construcción implicaba el principio de Fermat, e incluso como si pensara que había encontrado una excepción a ese principio. La evidencia manuscrita citada por Alan E. Shapiro tiende a confirmar que Huygens creía que el principio del tiempo mínimo no era válido "en la doble refracción , donde los rayos no son normales a los frentes de onda". ^[58]^{[Nota 9]}

Shapiro informa además que las únicas tres autoridades que aceptaron el "principio de Huygens" en los siglos XVII y XVIII, a saber, Philippe de La Hire , Denis Papin y Gottfried Wilhelm Leibniz , lo hicieron porque explicaba la extraordinaria refracción del " cristal de Islandia " (calcita) de la misma manera que las leyes previamente conocidas de la óptica geométrica. ^[59] Pero, por el momento, la extensión correspondiente del principio de Fermat pasó desapercibida.

Laplace, Young, Fresnel y Lorentz

El 30 de enero de 1809, ^[60] Pierre-Simon Laplace , al informar sobre el trabajo de su protegido Étienne-Louis Malus , afirmó que la extraordinaria refracción de la calcita podía explicarse según la teoría corpuscular de la luz con la ayuda del principio de mínima acción de Maupertuis : que la integral de la velocidad con respecto a la distancia era mínima. La velocidad corpuscular que satisfacía este principio era proporcional al recíproco de la velocidad del rayo dada por el radio del esferoide de Huygens. Laplace continuó:

Según Huygens, la velocidad del rayo extraordinario, en el cristal, se expresa simplemente por el radio del esferoide; por consiguiente su hipótesis no concuerda con el principio de mínima acción; pero es notable que concuerde con el principio de Fermat, que es que la luz pasa, desde un punto dado fuera del cristal, a un punto dado dentro de él, en el menor tiempo posible; pues es fácil ver que este principio coincide con el de mínima acción, si invertimos la expresión de la velocidad. ^[61]

El informe de Laplace fue objeto de una amplia refutación por parte de Thomas Young , quien escribió en parte:

El principio de Fermat, aunque fue asumido por ese matemático sobre bases hipotéticas, o incluso imaginarias, es de hecho una ley fundamental con respecto al movimiento ondulatorio, y es explícitamente [ sic ] la base de cada determinación en la teoría de Huygens... El Sr. Laplace parece no estar familiarizado con este principio más esencial de una de las dos teorías que compara; porque dice que "es notable" que la ley de Huygens de la refracción extraordinaria concuerde con el principio de Fermat; lo cual difícilmente habría observado, si hubiera sido consciente de que la ley era una consecuencia inmediata del principio. ^[62]

De hecho, Laplace era consciente de que el principio de Fermat se deduce de la construcción de Huygens en el caso de la refracción de un medio isótropo a uno anisotrópico; una prueba geométrica estaba contenida en la versión larga del informe de Laplace, impreso en 1810. ^[63]

La afirmación de Young era más general que la de Laplace y, asimismo, confirmaba el principio de Fermat incluso en el caso de la refracción extraordinaria, en la que los rayos no suelen ser perpendiculares a los frentes de onda. Sin embargo, por desgracia, la frase intermedia omitida del párrafo citado por Young empezaba diciendo "El movimiento de cada ondulación debe ser necesariamente en una dirección perpendicular a su superficie..." (énfasis añadido), y, por tanto, estaba destinada a sembrar confusión en lugar de claridad.

No existe tal confusión en la "Segunda Memoria" de Augustin-Jean Fresnel sobre la doble refracción (Fresnel, 1827), que aborda el principio de Fermat en varios lugares (sin nombrar a Fermat), partiendo del caso especial en el que los rayos son normales a los frentes de onda, hasta el caso general en el que los rayos son trayectorias de tiempo mínimo o tiempo estacionario. (En el siguiente resumen, los números de página se refieren a la traducción de Alfred W. Hobson.)

Para la refracción de una onda plana con incidencia paralela sobre una cara de una cuña cristalina anisotrópica (pp. 291-2), con el fin de encontrar el "primer rayo que llegó" a un punto de observación más allá de la otra cara de la cuña, es suficiente tratar los rayos fuera del cristal como normales a los frentes de onda, y dentro del cristal considerar sólo los frentes de onda paralelos (cualquiera que sea la dirección del rayo). Por lo tanto, en este caso, Fresnel no intenta rastrear la trayectoria completa del rayo. ^{[Nota 10]}
A continuación, Fresnel considera un rayo refractado desde una fuente puntual M en el interior de un cristal, a través de un punto A en la superficie, hasta un punto de observación B en el exterior (pp. 294-6). La superficie que pasa por B y que está dada por el "lugar geométrico de las perturbaciones que llegan primero" es, según la construcción de Huygens, normal al "rayo AB de llegada más rápida". Pero esta construcción requiere el conocimiento de la "superficie de la onda" (es decir, el frente de onda secundario) dentro del cristal.
Luego considera un frente de onda plano que se propaga en un medio con frentes de onda secundarios no esféricos, orientados de modo que la trayectoria del rayo dada por la construcción de Huygens –desde la fuente del frente de onda secundario hasta su punto de tangencia con el frente de onda primario subsiguiente– no es normal a los frentes de onda primarios (p. 296). Demuestra que esta trayectoria es, no obstante, “la trayectoria de llegada más rápida de la perturbación” desde el frente de onda primario anterior hasta el punto de tangencia.
En un encabezado posterior (p. 305) declara que "La construcción de Huygens, que determina el camino de llegada más rápido" es aplicable a frentes de onda secundarios de cualquier forma. Luego señala que cuando aplicamos la construcción de Huygens a la refracción en un cristal con un frente de onda secundario de dos láminas y trazamos las líneas desde los dos puntos de tangencia hasta el centro del frente de onda secundario, "tendremos las direcciones de los dos caminos de llegada más rápidos y, en consecuencia, del rayo ordinario y del extraordinario".
Bajo el título "Definición de la palabra Rayo " (p. 309), concluye que este término debe aplicarse a la línea que une el centro de la onda secundaria a un punto de su superficie, cualquiera que sea la inclinación de esta línea con respecto a la superficie.
Como "nueva consideración" (pp. 310-11), señala que si un frente de onda plano pasa a través de un pequeño orificio centrado en el punto E , entonces la dirección ED de máxima intensidad del haz resultante será aquella en la que la onda secundaria que comienza en E "llegará allí primero", y los frentes de onda secundarios de lados opuestos del orificio (equidistantes de E ) "llegarán a D al mismo tiempo" entre sí. No se supone que esta dirección sea normal a ningún frente de onda.

De este modo, Fresnel demostró, incluso para medios anisotrópicos, que la trayectoria del rayo dada por la construcción de Huygens es la trayectoria de menor tiempo entre posiciones sucesivas de un plano o frente de onda divergente, que las velocidades de los rayos son los radios de la "superficie de onda" secundaria después de una unidad de tiempo, y que un tiempo de recorrido estacionario explica la dirección de máxima intensidad de un haz. Sin embargo, establecer la equivalencia general entre la construcción de Huygens y el principio de Fermat habría requerido una consideración más profunda del principio de Fermat en términos punto a punto.

Hendrik Lorentz , en un artículo escrito en 1886 y republicado en 1907, ^[64] dedujo el principio del tiempo mínimo en forma punto a punto a partir de la construcción de Huygens. Pero la esencia de su argumento quedó un tanto oscurecida por una aparente dependencia del éter y de la resistencia del éter .

El trabajo de Lorentz fue citado en 1959 por Adriaan J. de Witte, quien luego ofreció su propio argumento, que "aunque en esencia es el mismo, se cree que es más convincente y más general". El tratamiento de De Witte es más original de lo que esa descripción podría sugerir, aunque se limita a dos dimensiones; utiliza el cálculo de variaciones para demostrar que la construcción de Huygens y el principio de Fermat conducen a la misma ecuación diferencial para la trayectoria del rayo, y que en el caso del principio de Fermat, se cumple lo inverso. De Witte también señaló que "el asunto parece haber escapado al tratamiento en los libros de texto". ^[65]

En la cultura popular

El cuento La historia de tu vida, del escritor de ficción especulativa Ted Chiang, contiene representaciones visuales del principio de Fermat junto con un análisis de su dimensión teleológica. El instinto matemático de Keith Devlin contiene un capítulo titulado "Elvis, el corgi galés que sabe hacer cálculos", que analiza el cálculo "integrado" en algunos animales cuando resuelven el problema del "tiempo mínimo" en situaciones reales.

Véase también

Notas

^ La suposición (2) casi se sigue de (1) porque: (a) en la medida en que la perturbación en el punto intermedio P puede ser representada por un escalar , su influencia es omnidireccional; (b) en la medida en que puede ser representada por un vector en la supuesta dirección de propagación (como en una onda longitudinal ), tiene un componente distinto de cero en un rango de direcciones vecinas; y (c) en la medida en que puede ser representada por un vector a través de la supuesta dirección de propagación (como en una onda transversal ), tiene un componente distinto de cero a través de un rango de direcciones vecinas. Por lo tanto, hay infinitos caminos de A a B porque hay infinitos caminos que irradian desde cada punto intermedio P .
^ Si un rayo se refleja en una superficie suficientemente cóncava, el punto de reflexión es tal que el tiempo total de recorrido es un máximo local, siempre que se requiera que los caminos hacia y desde el punto de reflexión, considerados por separado, sean caminos posibles de rayos. Pero el principio de Fermat no impone tal restricción; y sin esa restricción siempre es posible variar el camino total de manera de aumentar su tiempo de recorrido. Por lo tanto, el tiempo de recorrido estacionario del camino del rayo nunca es un máximo local (cf. Born & Wolf, 2002, p. 137n). Pero, como muestra el caso del reflector cóncavo, tampoco es necesariamente un mínimo local. Por lo tanto, no es necesariamente un extremo. Por lo tanto, debemos contentarnos con llamarlo estacionariedad.
^ Más precisamente, la densidad de flujo de energía .
^ Si el tiempo se calculara a partir del frente de onda anterior en su conjunto, ese tiempo sería en todas partes exactamente $Δt$ , y no tendría sentido hablar de un tiempo "estacionario" o "mínimo".
El tiempo "estacionario" será el mínimo siempre que los frentes de onda secundarios sean más convexos que los frentes de onda primarios (como en la figura 4). Sin embargo, esa condición no siempre se cumple. Por ejemplo, si el frente de onda primario, dentro del rango de un frente de onda secundario, converge a un foco y comienza a divergir nuevamente, el frente de onda secundario tocará el frente de onda primario posterior desde el exterior en lugar de hacerlo desde el interior. Para tener en cuenta tales complejidades, debemos contentarnos con decir tiempo "estacionario" en lugar de tiempo "mínimo". Cf. Born & Wolf, 2002, pp. 136-7 (significado de "vecindario regular").
^ Además, utilizar la construcción de Huygens para determinar la ley de reflexión o refracción es una cuestión de buscar la trayectoria del tiempo de recorrido estacionario entre dos frentes de onda particulares; cf. Fresnel, 1827, tr. Hobson, pág. 305-6.
^ En la construcción de Huygens, la elección de la envolvente de los frentes de onda secundarios en el lado delantero de $W$ –es decir, el rechazo de las ondas secundarias "hacia atrás" o "retrógradas"– también se explica por el principio de Fermat. Por ejemplo, en la figura 2, el tiempo de recorrido del camino $APP'P$ (donde el último tramo "dobla hacia atrás") no es estacionario con respecto a la variación de $P'$ , pero es máximamente sensible al movimiento de $P'$ a lo largo del tramo $PP'$ .
^ La dirección del rayo es la dirección de la interferencia constructiva, que es la dirección de la velocidad de grupo . Sin embargo, la "velocidad del rayo" no se define como la velocidad de grupo, sino como la velocidad de fase medida en esa dirección, de modo que "la velocidad de fase es la proyección de la velocidad del rayo sobre la dirección de la normal de onda" (la cita es de Born & Wolf, 2002, p. 794). En un medio isótropo, por simetría, las direcciones de las velocidades del rayo y de la fase son las mismas, de modo que la "proyección" se reduce a una identidad. Para decirlo de otra manera: en un medio isótropo, dado que las velocidades del rayo y de la fase tienen la misma dirección (por simetría), y dado que ambas velocidades siguen la fase (por definición), también deben tener la misma magnitud.
^ Ibn al-Haytham , que escribió en El Cairo en la segunda década del siglo XI, también creía que la luz tomaba el camino de menor resistencia y que los medios más densos ofrecían más resistencia, pero mantuvo una noción más convencional de "resistencia". Si esta noción iba a explicar la refracción, requería que la resistencia variara con la dirección de una manera que era difícil de conciliar con la reflexión. Mientras tanto, Ibn Sahl ya había llegado a la ley correcta de la refracción mediante un método diferente; pero su ley no se propagó (Mihas, 2006, pp. 761-5; Darrigol, 2012, pp. 20-21, ‍ 41 ).
El problema resuelto por Fermat es matemáticamente equivalente al siguiente: dados dos puntos en diferentes medios con diferentes densidades, minimizar la longitud ponderada por la densidad del camino entre los dos puntos. En Lovaina , en 1634 (cuando Willebrord Snellius había redescubierto la ley de Ibn Sahl y Descartes la había derivado pero aún no la había publicado), el profesor jesuita Wilhelm Boelmans dio una solución correcta a este problema y propuso su demostración como ejercicio para sus estudiantes jesuitas (Ziggelaar, 1980).
^ En el último capítulo de su Tratado , Huygens determinó las formas requeridas de las superficies formadoras de imágenes, partiendo de la premisa de que todas las partes del frente de onda deben viajar desde el punto del objeto hasta el punto de la imagen en tiempos iguales , y tratando los rayos como normales a los frentes de onda. Pero no mencionó a Fermat en este contexto.
^ En la traducción, faltan algunas líneas y símbolos en el diagrama; el diagrama corregido se puede encontrar en Oeuvres Complètes de Fresnel , vol. 2, pág. 547.

Referencias

^ Cf. Young, 1809, pág. 342; Fresnel, 1827, trad. Hobson, págs. 294-6, 310-11 ; De Witte, 1959, pág. 293n.
^ Cf. Born & Wolf, 2002, pág. 876.
^ De Witte (1959) invoca la condición de fuente puntual desde el principio (p. 294, col. 1).
^ De Witte (1959) ofrece una demostración basada en el cálculo de variaciones . El presente artículo ofrece una explicación más sencilla.
^ A. Lipson, SG Lipson y H. Lipson, 2011, Optical Physics , 4.ª ed., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1 , pág. 36. ( Nota: Cuando los autores implican que la luz que se propaga a lo largo del eje de una fibra de índice graduado toma el camino del tiempo máximo , descuidan la posibilidad de alargar aún más el tiempo tomando desvíos que no sean rayos, por ejemplo, retrocediendo).
^ Véase (por ejemplo) Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 47, 55 , 58 , 60 , 82–6 ; Newton, 1730, págs. 8, 18 , 137 , 143 , 166 , 173 .
^ Esta es la esencia del argumento dado por Fresnel (1827, tr. Hobson, pp. 310-11 ).
^ Véase (por ejemplo) Newton, 1730, pág. 55; Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 40-41, 56.
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^ Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 19, 50-51 , 63-65 , 68 , 75 .
^ Fresnel, 1827, trad. de Hobson, pág. 309.
^ ab De Witte, 1959, pág. 294, col. 2.
^ Cf. Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 305.
^ Cf. Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 296.
^ De Witte (1959) da una prueba más sofisticada del mismo resultado, utilizando el cálculo de variaciones.
^ La cita es de Born & Wolf, 2002, p. 876.
^ De Witte, 1959, pág. 295, col. 1.
^ Incluso Born y Wolf prueban el principio de Fermat para el caso en el que los rayos son normales a los frentes de onda (2002, pp. 136-8), aunque en su discusión posterior de los cristales anisotrópicos, notan que las direcciones del rayo y de la normal de onda generalmente difieren (pp. 792-4), y que para una dirección normal de onda dada, la dirección del rayo es tal que la velocidad de la intersección entre la línea del rayo y el frente de onda plano es estacionaria con respecto a las variaciones de la dirección normal de onda (pp. 804-5).
^ De Witte, 1959 (p. 295, col. 1 y figura 2), enuncia el resultado y condensa la explicación en un diagrama.
^ Born & Wolf, 2002, pág. 122.
^ Born & Wolf, 2002, pág. 795, ec. (13).
^ Cf. Chaves, 2016, pág. 673.
^ Cf. Born & Wolf, 2002, pág. 876, ec. (10a).
^ Cf. VG Veselago (octubre de 2002), "Formulación del principio de Fermat para la luz que viaja en materiales de refracción negativa", Physics-Uspekhi , 45 (10): 1097–9 , doi :10.1070/PU2002v045n10ABEH001223, en la pág. 1099.
^ Cf. Chaves, 2016, págs. 568–9.
^ Chaves, 2016, pág. 581.
^ Chaves, 2016, pág. 569.
^ Cf. Chaves, 2016, pág. 577.
^ Cf. Born & Wolf, 2002, págs. 853–4, ‍868 ; Chaves, 2016, pág. 669.
^ Chaves, 2016, cap. 14.
^ Sabra, 1981, pp. 69-71. Como señala el autor, la propia ley de la reflexión se encuentra en la Proposición XIX de la Óptica de Euclides .
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^ Huygens, 1690, trad. de Thompson, parte superior de la pág. 20.
^ Cf. Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 19-21, 63-5 .
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^ Traducido por Young (1809), pág. 341; cursiva de Young.
^ Joven, 1809, pág. 342.
^ Sobre la prueba, ver Darrigol, 2012, p. 190. Sobre la fecha de la lectura (erróneamente impresa como 1808 en las primeras fuentes), véase Frankel, 1974, p. 234n. El texto completo (con la errata) es "Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux diaphanes", Mémoires de l'Académie des Sciences , 1.ª serie, vol.  X (1810), reimpreso en Oeuvres complètes de Laplace , vol. 12 (París, Gauthier-Villars et fils, 1898), págs. 267–298. Una versión intermedia, que incluía la prueba pero no la "Nota" adjunta, apareció como "Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes", Mémoires de Physique et de Chimie de la Société d'Arcueil , vol. 2 (1809), págs. 111–142 y lámina 1 (después de la pág. 494).
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Lectura adicional

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