Teorema de Picard

En el análisis complejo , el gran teorema de Picard y el pequeño teorema de Picard son teoremas relacionados sobre el rango de una función analítica . Su nombre se debe a Émile Picard .

Los teoremas

Teorema de Little Picard: Si una función es entera y no constante, entonces el conjunto de valores que asume es el plano complejo entero o el plano menos un solo punto. ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle f(z)}$

Bosquejo de la demostración: La demostración original de Picard se basó en las propiedades de la función lambda modular , usualmente denotada por , y que realiza, utilizando la terminología moderna, el recubrimiento universal holomorfo del plano perforado dos veces por el disco unitario. Esta función se construye explícitamente en la teoría de funciones elípticas . Si omite dos valores, entonces la composición de con la inversa de la función modular mapea el plano en el disco unitario, lo que implica que es constante por el teorema de Liouville. ${\textstyle \lambda}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

Este teorema es un refuerzo significativo del teorema de Liouville, que establece que la imagen de una función no constante completa debe ser ilimitada . Posteriormente se encontraron muchas demostraciones diferentes del teorema de Picard y el teorema de Schottky es una versión cuantitativa del mismo. En el caso en que a los valores de les falte un único punto, este punto se denomina valor lagunar de la función. ${\textstyle f}$

Gran teorema de Picard: si una función analítica tiene una singularidad esencial en un punto , entonces en cualquier vecindad perforada de toma todos los valores complejos posibles, con como máximo una única excepción, infinitamente a menudo. ${\textstyle f}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle w,f(z)}$

Este es un fortalecimiento sustancial del teorema de Casorati-Weierstrass , que solo garantiza que el rango de es denso en el plano complejo. Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función no polinómica completa alcanza todos los valores complejos posibles una cantidad infinita de veces, con una excepción como máximo. ${\textstyle f}$

La "excepción única" es necesaria en ambos teoremas, como se demuestra aquí:

e z es una función entera no constante que nunca es 0,
${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ tiene una singularidad esencial en 0, pero aún así nunca alcanza 0 como valor.

Prueba

Teorema del pequeño Picard

Supongamos que es una función completa que omite dos valores y . Al considerar podemos suponer sin pérdida de generalidad que y . ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{1}}$ ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ ${\textstyle z_{0}=0}$ ${\textstyle z_{1}=1}$

Como es simplemente conexo y el rango de omite , f tiene un logaritmo holomorfo . Sea una función entera tal que . Entonces el rango de omite todos los números enteros. Mediante un argumento similar usando la fórmula cuadrática , existe una función entera tal que . Entonces el rango de omite todos los números complejos de la forma , donde es un número entero y es un número entero no negativo. ${\textstyle \mathbb {C}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$

Por el teorema de Landau , si , entonces para todo , el rango de contiene un disco de radio . Pero de arriba, cualquier disco suficientemente grande contiene al menos un número que el rango de h omite. Por lo tanto , para todo . Por el teorema fundamental del cálculo , es constante, entonces es constante. ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ ${\textstyle {R>0}}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ ${\textstyle h'(w)=0}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle f}$

Gran teorema de Picard

Generalización e investigación actual

El gran teorema de Picard es cierto en una forma ligeramente más general que también se aplica a las funciones meromórficas :

Gran teorema de Picard (versión meromorfa): si M es una superficie de Riemann , w un punto en M , P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} denota la esfera de Riemann y f : M \{ w } → P ¹ ( C ) es una función holomorfa con singularidad esencial en w , entonces en cualquier subconjunto abierto de M que contenga a w , la función f ( z ) alcanza todos los puntos de P ¹ ( C ) excepto dos como máximo infinitamente a menudo.

Ejemplo: La función f ( z ) = 1/(1 − e ^{1/ z} ) es meromórfica en C* = C - {0}, el plano complejo con el origen eliminado. Tiene una singularidad esencial en z = 0 y alcanza el valor ∞ infinitamente a menudo en cualquier entorno de 0; sin embargo, no alcanza los valores 0 o 1.

Con esta generalización, el Teorema de Picard Menor se deduce del Teorema de Picard Mayor porque una función entera es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito. Al igual que con el Teorema Menor, los (dos como máximo) puntos que no se alcanzan son valores lagunares de la función.

La siguiente conjetura está relacionada con el "Gran Teorema de Picard": ^[1]

Conjetura: Sea { U ₁ , ..., U _n } una colección de subconjuntos abiertos y conexos de C que cubren el disco unitario perforado D \ {0}. Supóngase que en cada U _j hay una función holomorfa inyectiva f _j , tal que d f _j = d f _k en cada intersección U _j ∩ U _k . Entonces las diferenciales se unen para formar una 1- forma meromórfica en D .

Está claro que las diferenciales se adhieren entre sí para formar una 1-forma holomorfa g d z en D \ {0}. En el caso especial en el que el residuo de g en 0 es cero, la conjetura se deduce del "Gran Teorema de Picard".

Notas

^ Elsner, B. (1999). «Integral de acción hiperelíptica» (PDF) . Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802/aif.1675 .

Referencias

Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Shurman, Jerry. "Esbozo del teorema de Picard" (PDF) . Consultado el 18 de mayo de 2010 .