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Panal icosaédrico

En geometría , el panal icosaédrico es una de las cuatro teselaciones (o panales ) compactas y regulares que llenan el espacio en el espacio tridimensional hiperbólico . Con el símbolo de Schläfli {3,5,3}, hay tres icosaedros alrededor de cada arista y 12 icosaedros alrededor de cada vértice en una figura de vértice dodecaédrica regular .

Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.

Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abeja uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abeja uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abeja uniforme en el espacio esférico.

Descripción

El ángulo diedro de un icosaedro regular es de aproximadamente 138,2°, por lo que es imposible que quepan tres icosaedros alrededor de una arista en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, los icosaedros correctamente escalados pueden tener ángulos diedros de exactamente 120 grados, por lo que tres de ellos pueden caber alrededor de una arista.

Panal visto en perspectiva fuera del disco modelo de Poincaré

Panales regulares relacionados

Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:

Politopos regulares y panales relacionados

Es miembro de una secuencia de policoras y panales regulares {3, p ,3} con células deltraédricas :

También es miembro de una secuencia de policoras y panales regulares { p ,5, p }, con figuras de vértice compuestas por pentágonos:

Panales uniformes

Hay nueve panales uniformes en la familia de grupos de Coxeter [3,5,3] , incluida esta forma regular así como la forma bitruncada , t 1,2 {3,5,3},, también llamado panal dodecaédrico truncado , cada una de cuyas celdas son dodecaedros truncados .

Panal icosaédrico rectificado

El panal icosaédrico rectificado , t 1 {3,5,3},, tiene celdas alternas de dodecaedro e icosidodecaedro , con figura de vértice de prisma triangular :


Proyecciones en perspectiva desde el centro del modelo del disco de Poincaré

Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:

Panal icosaédrico truncado

El panal icosaédrico truncado , t 0,1 {3,5,3},, tiene celdas alternadas de dodecaedro y de icosaedro truncado , con figura de vértice de pirámide triangular .

Panal icosaédrico bitruncado

El panal icosaédrico bitruncado , t 1,2 {3,5,3},, tiene células dodecaédricas truncadas con figura de vértice difenoide tetragonal .

Panal icosaédrico cantelado

El panal icosaédrico cantelado , t 0,2 {3,5,3},, tiene celdas rombicosidodecaedro , icosidodecaedro y prisma triangular , con figura de vértice en cuña .

Panal icosaédrico cantitruncado

El panal icosaédrico cantitruncado , t 0,1,2 {3,5,3},, tiene células de icosidodecaedro truncado , dodecaedro truncado y prisma triangular , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .

Panal de abejas icosaédrico runcinado

El panal icosaédrico runcinado , t 0,3 {3,5,3},, tiene celdas icosaédricas y prismáticas triangulares , con figura de vértice de antiprisma pentagonal .

Visto desde el centro del prisma triangular

Panal icosaédrico runcitruncado

El panal icosaédrico runcitruncado , t 0,1,3 {3,5,3},, tiene celdas de icosaedro truncado , rombicosidodecaedro , prisma hexagonal y prisma triangular , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .

El panal icosaédrico runcicantelado es equivalente al panal icosaédrico runcitruncado.

Visto desde el centro del prisma triangular

Panal icosaédrico omnitruncado

El panal icosaédrico omnitruncado , t 0,1,2,3 {3,5,3},, tiene células de icosidodecaedro truncado y prisma hexagonal , con figura de vértice difenoidal fílica .

Centrado en prisma hexagonal

Panal icosaédrico omnisnub

El panal icosaédrico omnisnub , h(t 0,1,2,3 {3,5,3}),, tiene celdas romos dodecaedro , octaedro y tetraedro , con una figura de vértice irregular. Es transitivo por vértice , pero no se puede formar con celdas uniformes.

Panal icosaédrico parcialmente disminuido

El panal icosaédrico parcialmente disminuido o panal icosaédrico parabidiminado , pd{3,5,3}, es un panal uniforme no wythoffiano con celdas dodecaédricas y antiprismáticas pentagonales , con una figura de vértice dodecaédrica tetraédricamente disminuida . Las celdas icosaédricas del {3,5,3} se disminuyen en los vértices opuestos (parabidiminado), dejando un núcleo antiprismático pentagonal ( icosaedro parabidiminado ) y creando nuevas celdas dodecaédricas arriba y abajo. [1] [2]

Véase también

Referencias

  1. ^ Wendy Y. Krieger, Muros y puentes: La visión desde seis dimensiones, Simetría: Cultura y Ciencia Volumen 16, Número 2, páginas 171-192 (2005) [1] Archivado el 7 de octubre de 2013 en Wayback Machine.
  2. ^ "Pd{3,5,3".}