Método de los promedios más altos

Los métodos de promedios más altos , divisor o división y redondeo ^[1] son una familia de algoritmos de distribución que tienen como objetivo dividir equitativamente una legislatura entre varios grupos, como partidos políticos o estados . ^[1]^[2] De manera más general, los métodos divisores se pueden utilizar para redondear las porciones de un total, por ejemplo, puntos porcentuales (que deben sumar 100). ^[2]

Los métodos tienen como objetivo tratar a los votantes de manera igualitaria, asegurando que los legisladores representen un número igual de votantes , asegurando que cada partido tenga la misma proporción de escaños por voto (o divisor ). ^[3]^{: 30} Estos métodos dividen el número de votos por el número de votos por escaño, y luego redondean el total para obtener la distribución final. Al hacerlo, el método mantiene aproximadamente la representación proporcional , de modo que un partido con, por ejemplo, el doble de votos que otro debería ganar el doble de escaños. ^[3]^{: 30}

Los métodos divisores son generalmente preferidos por los teóricos de la elección social a los métodos de resto más grande , ya que producen resultados más proporcionales por la mayoría de las métricas y son menos susceptibles a las paradojas de distribución . ^[4]^[5]^[6] En particular, los métodos divisores satisfacen la monotonía de la proporción de votos y la participación , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños, a diferencia de los métodos de resto más grande ; además, no son sensibles a los efectos de spoiler . ^[5]

Historia

Los métodos de división fueron inventados por primera vez por Thomas Jefferson para cumplir con el requisito constitucional de que los estados deben tener como máximo un representante por cada 30.000 personas. Su solución fue dividir la población de cada estado por 30.000 antes de redondear hacia abajo. ^[6]^{: 20}

El reparto de votos se convertiría en un tema importante de debate en el Congreso, especialmente después del descubrimiento de patologías en muchas reglas de redondeo superficialmente razonables. ^[6]^{: 20} Debates similares aparecerían en Europa después de la adopción de la representación proporcional , típicamente como resultado de los grandes partidos que intentaban introducir umbrales y otras barreras de entrada para los partidos pequeños. ^[7] Tales repartos a menudo tienen consecuencias sustanciales, como en la redistribución de votos de 1870 , cuando el Congreso utilizó un reparto ad hoc para favorecer a los estados republicanos . ^[8] Si el total de votos electorales de cada estado hubiera sido exactamente igual a su derecho , o si el Congreso hubiera utilizado el método de Webster o Hamilton (como lo había hecho desde 1840), la elección de 1876 habría ido a Tilden en lugar de Hayes . ^[8]^[9]^[6]^{: 3, 37}

Definiciones

Los dos nombres de estos métodos (promedios máximos y divisores) reflejan dos formas diferentes de pensar en ellos y sus dos invenciones independientes. Sin embargo, ambos procedimientos son equivalentes y dan la misma respuesta. ^[10]

Los métodos divisores se basan en reglas de redondeo , definidas mediante una secuencia de postes indicadores $post(k)$ , donde $k \leq post(k) \leq k +1$ . Cada poste indicador marca el límite entre números naturales, y los números se redondean hacia abajo si y solo si son menores que el poste indicador. ^[11]

Procedimiento divisor

El procedimiento del divisor distribuye los escaños buscando un divisor o cuota electoral . Este divisor puede considerarse como el número de votos que necesita un partido para ganar un escaño adicional en la legislatura, la población ideal de un distrito del Congreso o el número de votantes representados por cada legislador. ^[12]

Si cada legislador representara a un número igual de votantes, el número de escaños para cada estado podría hallarse dividiendo la población por el divisor. ^[12] Sin embargo, las asignaciones de escaños deben ser números enteros, por lo que para hallar la distribución para un estado dado debemos redondear (usando la secuencia de postes indicadores) después de dividir. Por lo tanto, la distribución de cada partido está dada por: ^[12]

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Por lo general, el divisor se establece inicialmente para que sea igual a la cuota Hare . Sin embargo, este procedimiento puede asignar demasiados o muy pocos escaños. En este caso, las asignaciones para cada estado no sumarán el tamaño total de la legislatura. Se puede encontrar un divisor factible mediante prueba y error . ^[13]

Procedimiento para promedios más altos

Con el algoritmo de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, el partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los escaños. ^[12]

Sin embargo, no está claro si es mejor observar el promedio de votos antes de asignar el escaño, cuál será el promedio después de asignar el escaño o si deberíamos llegar a un acuerdo con una corrección de continuidad . Cada uno de estos enfoques da distribuciones ligeramente diferentes. ^[12] En general, podemos definir los promedios utilizando la secuencia de indicadores:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

Con el procedimiento de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, el partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los escaños. ^[12]

Métodos específicos

Si bien todos los métodos de divisor comparten el mismo procedimiento general, difieren en la elección de la secuencia de indicadores y, por lo tanto, en la regla de redondeo. Obsérvese que, en el caso de los métodos en los que el primer indicador es cero, cada partido con al menos un voto recibirá un escaño antes de que cualquier partido reciba un segundo escaño; en la práctica, esto normalmente significa que cada partido debe recibir al menos un escaño, a menos que quede descalificado por algún umbral electoral . ^[14]

El método de Jefferson (D'Hondt)

Thomas Jefferson propuso el primer método divisor en 1792. ^[12] Este método asigna el representante al estado que estaría menos representado al final de la ronda. ^[12] Sigue siendo el método más común de representación proporcional hasta el día de hoy. ^[12]

El método de Jefferson utiliza la secuencia , es decir (1, 2, 3, ...), ^[15] lo que significa que siempre redondeará hacia abajo la distribución de un partido. ^[12] $\operatorname {post} (k)=k+1$

La distribución nunca cae por debajo del límite inferior del marco ideal y minimiza la sobrerrepresentación en el peor de los casos en la legislatura. ^[12] Sin embargo, el método de Jefferson funciona mal cuando se lo juzga por la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[16] La regla generalmente otorga a los partidos grandes una cantidad excesiva de escaños, y su proporción de escaños generalmente excede la proporción ideal redondeada hacia arriba. ^[6]^{: 81}

Esta patología condujo a una burla generalizada del método de Jefferson cuando se comprendió que "redondearía" la distribución de Nueva York de 40,5 a 42, y el senador Mahlon Dickerson dijo que el escaño adicional debía provenir de los " fantasmas de los representantes fallecidos ". ^[6]^{: 34}

El método de Adams (Cambridge)

El método de Adams fue ideado por John Quincy Adams después de notar que el método de Jefferson asignaba muy pocos escaños a los estados más pequeños. ^[17] Puede describirse como el inverso del método de Jefferson; otorga un escaño al partido que tiene la mayor cantidad de votos por escaño antes de que se agregue el nuevo escaño. La función divisora es $post(k) = k$ , que es equivalente a redondear siempre hacia arriba. ^[16]

La distribución de Adams nunca excede el límite superior del marco ideal y minimiza la subrepresentación en el peor de los casos. ^[12] Sin embargo, las violaciones de la cuota de escaños más baja son comunes. ^[18] Al igual que Jefferson, el método de Adams tiene un desempeño deficiente según la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[16]

El método de Adams fue sugerido como parte del compromiso de Cambridge para la distribución de los escaños del Parlamento Europeo entre los estados miembros, con el objetivo de satisfacer la proporcionalidad degresiva . ^[19]

El método de Webster (Sainte-Laguë)

El método de Daniel Webster utiliza la secuencia de postes de cerca $post(k) = k + .5$ (es decir, 0.5, 1.5, 2.5); esto corresponde a la regla de redondeo estándar . De manera equivalente, los números enteros impares (1, 3, 5…) se pueden utilizar para calcular los promedios. ^[12]^[20]

El método de Webster produce distribuciones más proporcionales que el de D'Hondt en casi todas las métricas de tergiversación. ^[21] Como tal, los politólogos y matemáticos suelen preferirlo al de D'Hondt, al menos en situaciones en las que la manipulación es difícil o improbable (como en los grandes parlamentos). ^[22] También es notable por minimizar el sesgo de escaños incluso cuando se trata de partidos que ganan un número muy pequeño de escaños. ^[23] El método de Webster puede violar teóricamente la regla de la cuota ideal , aunque esto es extremadamente raro incluso para parlamentos moderadamente grandes; nunca se ha observado que viole la cuota en ninguna distribución de escaños en el Congreso de los Estados Unidos . ^[22]

En distritos pequeños sin umbral , los partidos pueden manipular Webster dividiéndose en muchas listas, cada una de las cuales obtiene un escaño completo con menos votos que una cuota Hare . Esto se suele solucionar modificando el primer divisor para que sea ligeramente mayor (a menudo un valor de 0,7 o 1), lo que crea un umbral implícito . ^[24]

Método de Hill (Huntington-Hill)

En el método Huntington-Hill , la secuencia de indicadores es $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , la media geométrica de los números vecinos. Conceptualmente, este método redondea al entero que tiene la diferencia relativa (porcentaje) más pequeña . Por ejemplo, la diferencia entre 2,47 y 3 es de aproximadamente el 19%, mientras que la diferencia con 2 es de aproximadamente el 21%, por lo que 2,47 se redondea hacia arriba. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de los EE. UU. entre los estados. ^[12]

El método de Hill tiende a producir resultados muy similares al método de Webster; cuando se utilizó por primera vez para la distribución de escaños en el Congreso , los dos métodos solo diferían en si asignaban un solo escaño a Michigan o Arkansas . ^[6]^{: 58}

Comparación de propiedades

Distribución de escaños sin escaños

Los métodos de Huntington-Hill, Dean y Adams tienen un valor de 0 para el primer poste de la cerca, lo que da un promedio de ∞. Por lo tanto, sin un umbral, todos los partidos que han recibido al menos un voto también recibirán al menos un escaño. ^[12] Esta propiedad puede ser deseable (como cuando se asignan escaños a los estados ) o indeseable, en cuyo caso el primer divisor puede ajustarse para crear un umbral natural. ^[25]

Inclinación

Existen muchas métricas de sesgo en la obtención de escaños . Si bien el método de Webster a veces se describe como "exclusivamente" imparcial, ^[22] esta propiedad de unicidad se basa en una definición técnica de sesgo como la diferencia esperada entre el número de escaños de un estado y su participación ideal. En otras palabras, un método se considera imparcial si el número de escaños que recibe un estado es, en promedio a lo largo de muchas elecciones, igual a su participación ideal. ^[22]

Según esta definición, el método de Webster es el método de distribución menos sesgado, ^[23] mientras que Huntington-Hill exhibe un sesgo leve hacia los estados más pequeños. ^[22] Sin embargo, otros investigadores han notado que definiciones ligeramente diferentes de sesgo, generalmente basadas en errores porcentuales , encuentran el resultado opuesto (el método de Hill es imparcial, mientras que el método de Webster está ligeramente sesgado hacia los estados grandes). ^[23]^[26]

En la práctica, la diferencia entre estas definiciones es pequeña cuando se trata de partidos o estados con más de un escaño. ^[23] Por lo tanto, tanto el método de Huntington-Hill como el de Webster pueden considerarse métodos imparciales o poco sesgados (a diferencia de los métodos de Jefferson o Adams). ^[23]^[26] Un informe de 1929 al Congreso elaborado por la Academia Nacional de Ciencias recomendó el método de Hill, ^[27] mientras que la Corte Suprema ha dictaminado que la elección es una cuestión de opinión. ^[26]

Comparación y ejemplos

Ejemplo: Jefferson

El siguiente ejemplo muestra cómo el método de Jefferson puede diferir sustancialmente de otros métodos menos sesgados como el de Webster. En estas elecciones, el partido más grande obtiene el 46% de los votos, pero se lleva el 52,5% de los escaños, lo suficiente para obtener una mayoría absoluta contra una coalición de todos los demás partidos (que juntos alcanzan el 54% de los votos). Además, lo hace violando la cuota: el partido más grande tiene derecho a sólo 9,7 escaños, pero gana 11 de todos modos. El distrito congresual más grande es casi el doble del tamaño del distrito más pequeño. El método de Webster no muestra ninguna de estas propiedades, con un error máximo del 22,6%.

Ejemplo: Adams

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que el método de Adams no logra dar mayoría a un partido que obtiene el 55% de los votos, violando nuevamente su derecho a cuota.

Ejemplo: Todos los sistemas

A continuación se muestra un ejemplo elaborado para todos los sistemas de votación. Observe cómo los métodos de Huntington-Hill y Adams otorgan a cada partido un escaño antes de asignar más, a diferencia de los de Webster o Jefferson.

Propiedades

Monotonía

Los métodos divisores son generalmente preferidos por los matemáticos a los métodos del mayor resto ^[28] porque son menos susceptibles a las paradojas de distribución . ^[29] En particular, los métodos divisores satisfacen la monotonía de la población , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños. ^[29] Tales paradojas de población ocurren al aumentar la cuota electoral , lo que puede hacer que los restos de diferentes estados respondan de manera errática. ^[6]^{: Tbl.A7.2} Los métodos divisores también satisfacen la monotonía de los recursos o de la casa , que dice que aumentar el número de escaños en una legislatura no debería hacer que un estado pierda un escaño. ^[29]^[6]^{: Cor.4.3.1}

Desigualdad mínima-máxima

Todo método divisor puede definirse utilizando la desigualdad min-max. Si los corchetes indican la indexación de la matriz, una asignación es válida si y solo si: ^[12]^{: 78–81}

$máximo .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠votos[partido]/puesto(asientos[partido])⁠ ≤ mín ⁠votos[partido]/post(asientos[partido]+1)⁠$

En otras palabras, es imposible reducir el promedio de votos más alto reasignando un escaño de un partido a otro. Cada número en este rango es un divisor posible. Si la desigualdad es estricta, la solución es única; de lo contrario, hay un voto exactamente empatado en la etapa final de distribución. ^[12]^{: 83}

Familias de métodos

Los métodos divisores descritos anteriormente se pueden generalizar en familias.

Promedio generalizado

En general, es posible construir un método de distribución a partir de cualquier función promedio generalizada , definiendo la función indicadora como $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^[12]

Familia estacionaria

Un método divisor se llama estacionario ^[30]^{: 68} si para algún número real , sus indicadores tienen la forma . Los métodos de Adams, Webster y Jefferson son estacionarios, mientras que Dean y Huntington-Hill no lo son. Un método estacionario corresponde a redondear hacia arriba los números si exceden la media aritmética ponderada de $k$ y $k$ $+1$ . ^[12] Los valores más pequeños de $r$ son más favorables para los partidos más pequeños. ^[23] $r\in [0,1]$ $d(k)=k+r$

Las elecciones danesas asignan escaños de manera igualitaria a nivel provincial en distritos electorales con varios miembros. Divide el número de votos recibidos por un partido en un distrito electoral con varios miembros por 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. La secuencia de postes de circunscripción viene dada por $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ ; esto tiene como objetivo asignar los escaños de manera más equitativa, en lugar de exactamente proporcional. ^[31]

Poder significa familia

La familia de métodos de divisores de potencia media incluye los métodos de Adams, Huntington-Hill, Webster, Dean y Jefferson (ya sea directamente o como límites). Para una constante dada $p$ , el método de potencia media tiene la función de señal $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . El método de Huntington-Hill corresponde al límite cuando $p$ tiende a 0, mientras que Adams y Jefferson representan los límites cuando $p$ tiende a infinito negativo o positivo. ^[12]

La familia también incluye el método de Dean , menos común , para $p = -1$ , que corresponde a la media armónica . El método de Dean es equivalente a redondear al promedio más cercano : cada estado tiene su recuento de escaños redondeado de una manera que minimiza la diferencia entre el tamaño promedio del distrito y el tamaño ideal del distrito. Por ejemplo: ^[32]^{: 29}

La población representativa de Massachusetts en 1830 era de 610.408 habitantes: si hubiera recibido 12 escaños, el tamaño medio de su circunscripción sería de 50.867; si hubiera recibido 13, habría sido de 46.954. Por lo tanto, si el divisor fuera 47.700, como propuso Polk, Massachusetts debería recibir 13 escaños porque 46.954 está más cerca de 47.700 que de 50.867.

Redondeando al promedio de votos con el menor error relativo se obtiene nuevamente el método de Huntington-Hill porque $| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ , es decir, las diferencias relativas son reversibles. Este hecho fue central para el uso de errores relativos (en lugar de absolutos) por parte de Edward V. Huntington para medir la tergiversación, y para su defensa de la técnica de Huntington-Hill: ^[33] Huntington argumentó que la elección del método de distribución no debería depender de cómo se reordena la ecuación para la representación igualitaria, y solo los errores relativos (es decir, la técnica de Huntington-Hill) satisfacen esta propiedad. ^[32]^{: 53}

Stolarsky significa familia

De manera similar, la media de Stolarsky se puede utilizar para definir una familia de métodos divisores que minimizan el índice de entropía generalizado de tergiversación. ^[34] Esta familia incluye la media logarítmica , la media geométrica , la media idétrica y la media aritmética . Las medias de Stolarsky se pueden justificar como minimizadoras de estas métricas de tergiversación, que son de gran importancia en el estudio de la teoría de la información . ^[35]

Modificaciones

Umbrales

Muchos países tienen umbrales electorales para la representación, donde los partidos deben ganar una fracción específica de los votos para ser representados; los partidos con menos votos que el umbral requerido para la representación son eliminados. ^[24] Otros países modifican el primer divisor para introducir un umbral natural ; cuando se utiliza el método de Webster, el primer divisor a menudo se establece en 0,7 o 1,0 (este último se denomina modificación de escaño completo ). ^[24]

Cláusula de preservación de la mayoría

Una cláusula de preservación de la mayoría garantiza que cualquier partido que obtenga la mayoría de los votos recibirá al menos la mitad de los escaños en una legislatura. ^[24] Sin una cláusula de este tipo, es posible que un partido con un poco más de la mitad de los votos reciba apenas menos de la mitad de los escaños (si se utiliza un método distinto del D'Hondt). ^[24] Esto se logra típicamente añadiendo escaños a la legislatura hasta que se encuentre una distribución que preserve la mayoría para un parlamento. ^[24]

Método del divisor con límite de cuota

Un método divisor con límite de cuotas es un método de distribución en el que comenzamos asignando a cada estado su cuota más baja de escaños. Luego, agregamos escaños uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que agregar un escaño adicional no resulte en que el estado exceda su cuota superior. ^[36] Sin embargo, los métodos divisores con límite de cuotas violan el criterio de participación (también llamado monotonía de la población ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de ganar más votos. ^[37]^{: Tbl.A7.2}

Referencias

^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Métodos divisores de distribución: dividir y redondear", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), "De números reales a números enteros: funciones de redondeo, reglas de redondeo", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ ab Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: alcanzar el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Métodos de distribución por cuotas: dividir y clasificar", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 95-105, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_5, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ ab Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Cómo asegurar la consistencia del sistema: coherencia y paradojas", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 159-183, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ abcdefghi Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: alcanzar el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Exponiendo métodos: las elecciones al Parlamento Europeo de 2014", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 1–40, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_1, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 3 de julio de 2024
^ ab Argersinger, Peter H., ed. (2012), ""Injusticias y desigualdades": la política de distribución de los distritos, 1870-1888", Representación y desigualdad en los Estados Unidos de finales del siglo XIX: la política de distribución de los distritos , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 8-41, doi :10.1017/cbo9781139149402.002, ISBN 978-1-139-14940-2, recuperado el 4 de agosto de 2024 , El reparto de escaños no solo determinaba el poder de los distintos estados en el Congreso, sino que, como también asignaba electores, afectaba directamente a la elección del presidente. De hecho, el peculiar reparto de escaños de 1872, adoptado en violación de la ley vigente que ordenaba el método de asignación de escaños, fue directamente responsable de la elección de Rutherford B. Hayes en 1876 con una minoría en el voto popular. Si se hubiera seguido el método anterior, ni siquiera la Comisión Electoral habría podido colocar a Hayes en la Casa Blanca.
^ Caulfield, Michael J. (2012). "¿Qué pasaría si...? Cómo los métodos de distribución de cargos eligen a nuestros presidentes". The Mathematics Teacher . 106 (3): 178–183. doi :10.5951/mathteacher.106.3.0178. ISSN 0025-5769.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Métodos divisores de distribución: dividir y redondear", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), "De números reales a números enteros: funciones de redondeo, reglas de redondeo", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ abcdefghijklmnopqrst Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Métodos divisores de distribución: dividir y redondear", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Determinación del tamaño de la casa: distribución de discrepancias", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 107-125, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_6, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), "De números reales a números enteros: funciones de redondeo, reglas de redondeo", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Springer International Publishing, págs. 71–93, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ Gallagher, Michael (1991). "Proporcionalidad, desproporcionalidad y sistemas electorales" (PDF) . Electoral Studies . 10 (1): 33–51. doi :10.1016/0261-3794(91)90004-C. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.
^ abc Gallagher, Michael (1992). "Comparación de sistemas electorales de representación proporcional: cuotas, umbrales, paradojas y mayorías" (PDF) . British Journal of Political Science . 22 (4): 469–496. doi :10.1017/S0007123400006499. ISSN 0007-1234. S2CID 153414497.
^ "Distribución de representantes en el Congreso de los Estados Unidos: método de distribución de Adams | Asociación Matemática de Estados Unidos" www.maa.org . Consultado el 11 de noviembre de 2020 .^{[ enlace muerto permanente ]}
^ Ichimori, Tetsuo (2010). "Nuevos métodos de distribución y su propiedad de cuota". JSIAM Letters . 2 : 33–36. doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617.
^ Reparto de los escaños del Parlamento Europeo entre los Estados miembros de la UE (PDF) (Informe). Parlamento Europeo. 2011.
^ Sainte-Laguë, André. "La representación proporcional y el método de los moindres carrés". Annales scientifiques de l'école Normale Supérieure. vol. 27. 1910.
^ Pennisi, Aline (marzo de 1998). "Índices de desproporcionalidad y robustez de los métodos de asignación proporcional". Estudios Electorales . 17 (1): 3–19. doi :10.1016/S0261-3794(97)00052-8.
^ abcde Balinski, ML; Young, HP (enero de 1980). "El método Webster de distribución". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 77 (1): 1–4. Bibcode :1980PNAS...77....1B. doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424. PMC 348194 . PMID 16592744.
^ abcdef Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Favorecer a algunos a expensas de otros: sesgos de asientos", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 127–147, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_7, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ abcdef Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Rastreando peculiaridades: Umbrales de votación y cláusulas de mayoría", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 207–223, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_11, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Truncado de rangos de asientos: restricciones mínimas y máximas", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 225–245, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_12, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ abc Ernst, Lawrence R. (1994). "Métodos de distribución de escaños para la Cámara de Representantes y los desafíos de la Corte". Management Science . 40 (10): 1207–1227. doi :10.1287/mnsc.40.10.1207. ISSN 0025-1909. JSTOR 2661618.
^ Huntington, Edward V. (1929). "Informe de la Academia Nacional de Ciencias sobre la redistribución de distritos". Science . 69 (1792): 471–473. ISSN 0036-8075.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Métodos de distribución por cuotas: dividir y clasificar", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 95-105, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_5, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ abc Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Cómo asegurar la consistencia del sistema: coherencia y paradojas", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 159-183, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 10 de mayo de 2024
^ Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "De números reales a números enteros: funciones de redondeo y reglas de redondeo", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 59-70, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
^ "El sistema electoral parlamentario en Dinamarca". Archivado desde el original el 28 de agosto de 2016.
^ ab Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: alcanzar el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
^ Lauwers, Luc; Van Puyenbroeck, Tom (2008). "Representación mínimamente desproporcional: entropía generalizada y métodos de distribución de medias de Stolarsky". Revista electrónica SSRN . doi :10.2139/ssrn.1304628. ISSN 1556-5068. S2CID 124797897.
^ Wada, Junichiro (1 de mayo de 2012). "Un método de distribución de divisores basado en la función de bienestar social de Kolm-Atkinson y la entropía generalizada". Ciencias Sociales Matemáticas . 63 (3): 243–247. doi :10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002. ISSN 0165-4896.
^ Agnew, Robert A. (abril de 2008). "Optimal Congressional Apportionment" (Distribución óptima de los escaños en el Congreso). The American Mathematical Monthly . 115 (4): 297–303. doi :10.1080/00029890.2008.11920530. ISSN 0002-9890. S2CID 14596741.
^ Balinski, ML; Young, HP (1 de agosto de 1975). "El método de cuotas para la distribución". The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701–730. doi :10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.
^ Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: cómo cumplir el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.