Dominio Bézout

En matemáticas , un dominio de Bézout es un dominio integral en el que la suma de dos ideales principales es también un ideal principal. Esto significa que la identidad de Bézout se cumple para cada par de elementos y que todo ideal finitamente generado es principal. Los dominios de Bézout son una forma de dominio de Prüfer .

Cualquier dominio ideal principal (PID) es un dominio de Bézout, pero un dominio de Bézout no necesita ser un anillo noetheriano , por lo que podría tener ideales generados de manera no finita; si es así, no es un dominio de factorización única (UFD), pero sigue siendo un dominio MCD . La teoría de los dominios de Bézout conserva muchas de las propiedades de los PID, sin requerir la propiedad noetheriana.

Los dominios de Bézout reciben su nombre del matemático francés Étienne Bézout .

Ejemplos

• Todos los PID son dominios Bézout.
• Entre los ejemplos de dominios de Bézout que no son PID se incluyen el anillo de funciones enteras (funciones holomorfas en todo el plano complejo) y el anillo de todos los enteros algebraicos . ^[1] En el caso de funciones enteras, los únicos elementos irreducibles son funciones asociadas a una función polinómica de grado 1, por lo que un elemento tiene una factorización solo si tiene un número finito de ceros. En el caso de los enteros algebraicos no hay elementos irreducibles en absoluto, ya que para cualquier entero algebraico su raíz cuadrada (por ejemplo) también es un entero algebraico. Esto muestra en ambos casos que el anillo no es una función funcional unitaria, y por lo tanto ciertamente no es un PID.
• Los anillos de valoración son dominios de Bézout. Cualquier anillo de valoración no noetheriano es un ejemplo de un dominio de Bézout no noetheriano.
• La siguiente construcción general produce un dominio de Bézout S que no es un UFD a partir de cualquier dominio de Bézout R que no es un cuerpo, por ejemplo a partir de un PID; el caso R = Z es el ejemplo básico a tener en mente. Sea F el cuerpo de fracciones de R , y pongamos S = R + XF [ X ] , el subanillo de polinomios en F [ X ] con término constante en R . Este anillo no es noetheriano, ya que un elemento como X con término constante cero puede dividirse indefinidamente por elementos no invertibles de R , que siguen siendo no invertibles en S , y el ideal generado por todos estos cocientes de no se genera finitamente (y por lo tanto X no tiene factorización en S ). Se muestra de la siguiente manera que S es un dominio de Bézout.

1. Basta demostrar que para cada par a , b en S existen s , t en S tales que como + bt divide a a y b .
2. Si a y b tienen un divisor común d , basta probar esto para a / d y b / d , ya que s y t son suficientes.
3. Podemos suponer que los polinomios a y b son distintos de cero; si ambos tienen un término constante cero, entonces sea n el exponente mínimo tal que al menos uno de ellos tenga un coeficiente distinto de cero de X ⁿ ; se puede encontrar f en F tal que fX ⁿ sea un divisor común de a y b y dividir por él.
4. Por lo tanto, podemos suponer que al menos uno de a , b tiene un término constante distinto de cero. Si a y b vistos como elementos de F [ X ] no son primos entre sí, existe un máximo común divisor de a y b en este UFD que tiene un término constante 1 y, por lo tanto, se encuentra en S ; podemos dividir por este factor.
5. Por lo tanto, también podemos suponer que a y b son primos entre sí en F [ X ], de modo que 1 se encuentra en aF [ X ] + bF [ X ] , y algún polinomio constante r en R se encuentra en aS + bS . Además, como R es un dominio de Bézout, el mcd d en R de los términos constantes a ₀ y b ₀ se encuentra en a ₀ R + b ₀ R . Como cualquier elemento sin término constante, como a − a ₀ o b − b ₀ , es divisible por cualquier constante distinta de cero, la constante d es un divisor común en S de a y b ; demostraremos que es de hecho un máximo común divisor mostrando que se encuentra en aS + bS . Multiplicando a y b respectivamente por los coeficientes de Bézout para d con respecto a a ₀ y b ₀ se obtiene un polinomio p en aS + bS con término constante d . Entonces p − d tiene un término constante cero y, por lo tanto, es un múltiplo en S del polinomio constante r y, por lo tanto, se encuentra en aS + bS . Pero entonces d también lo tiene, lo que completa la prueba.

Propiedades

Un anillo es un dominio de Bézout si y solo si es un dominio integral en el que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor que es una combinación lineal de ellos: esto es equivalente a la afirmación de que un ideal que es generado por dos elementos también es generado por un solo elemento, y la inducción demuestra que todos los ideales finitamente generados son principales. La expresión del máximo común divisor de dos elementos de un PID como una combinación lineal a menudo se denomina identidad de Bézout , de ahí la terminología.

Obsérvese que la condición de mcd anterior es más fuerte que la mera existencia de un mcd. Un dominio integral donde existe un mcd para dos elementos cualesquiera se denomina dominio de mcd y, por lo tanto, los dominios de Bézout son dominios de mcd. En particular, en un dominio de Bézout, los irreducibles son primos (pero, como muestra el ejemplo del entero algebraico, no es necesario que existan).

Para un dominio Bézout R , las siguientes condiciones son todas equivalentes:

1. R es un dominio ideal principal.
2. R es noetheriano.
3. R es un dominio de factorización único (UFD).
4. R satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP).
5. Cada unidad no nula en R se factoriza en un producto de irreducibles (R es un dominio atómico ).

La equivalencia de (1) y (2) se observó anteriormente. Dado que un dominio de Bézout es un dominio MCD, se sigue inmediatamente que (3), (4) y (5) son equivalentes. Finalmente, si R no es noetheriano, entonces existe una cadena ascendente infinita de ideales finitamente generados, por lo que en un dominio de Bézout existe una cadena ascendente infinita de ideales principales. (4) y (2) son, por lo tanto, equivalentes.

Un dominio de Bézout es un dominio de Prüfer , es decir, un dominio en el que cada ideal finitamente generado es invertible, o dicho de otra manera, un dominio semihereditario conmutativo.)

En consecuencia, se puede considerar la equivalencia "dominio de Bézout si y solo si el dominio de Prüfer y el dominio GCD" como análoga al más conocido "PID si y solo si el dominio de Dedekind y UFD".

Los dominios de Prüfer pueden caracterizarse como dominios integrales cuyas localizaciones en todos los ideales primos (equivalentemente, en todos los ideales máximos ) son dominios de valuación . Por lo tanto, la localización de un dominio de Bézout en un ideal primo es un dominio de valuación. Dado que un ideal invertible en un anillo local es principal, un anillo local es un dominio de Bézout si y solo si es un dominio de valuación. Además, un dominio de valuación con un grupo de valores no cíclico (equivalentemente no discreto ) no es noetheriano, y cada grupo abeliano totalmente ordenado es el grupo de valores de algún dominio de valuación. Esto da muchos ejemplos de dominios de Bézout no noetherianos.

En álgebra no conmutativa, los dominios de Bézout rectos son dominios cuyos ideales rectos finitamente generados son ideales rectos principales, es decir, de la forma xR para algún x en R . Un resultado notable es que un dominio de Bézout recto es un dominio de Ore recto . Este hecho no es interesante en el caso conmutativo, ya que todo dominio conmutativo es un dominio de Ore. Los dominios de Bézout rectos también son anillos semihereditarios rectos.

Módulos sobre un dominio Bézout

Algunos datos sobre módulos sobre un PID se extienden a módulos sobre un dominio de Bézout. Sea R un dominio de Bézout y M un módulo finitamente generado sobre R . Entonces M es plano si y solo si está libre de torsión. ^[2]

Véase también

• Semifir (un semifir conmutativo es precisamente un dominio de Bézout).
• Anillo Bézout

Referencias

1. Condón
2. Bourbaki 1989, Cap. I, §2, núm. 4, Proposición 3

Bibliografía

• Cohn, PM (1968), "Anillos de Bezout y sus subanillos" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 (2): 251–264, doi :10.1017/s0305004100042791, MR  0222065
• Helmer, Olaf (1940), "Propiedades de divisibilidad de funciones integrales", Duke Math. J. , 6 (2): 345–356, doi :10.1215/s0012-7094-40-00626-3, ISSN  0012-7094, MR  0001851
• Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR  0254021
• Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra conmutativa
• "Anillo de Bezout", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]