Notación vectorial

Uso de coordenadas para representar vectores

Notación vectorial

En matemáticas y física , la notación vectorial es una notación comúnmente utilizada para representar vectores , ^{[1] [2]} que pueden ser vectores euclidianos o, de manera más general, miembros de un espacio vectorial .

Para denotar un vector, la convención tipográfica común es la de minúsculas, negrita y vertical, como en v . La Organización Internacional de Normalización (ISO) recomienda una tipografía serif cursiva y negrita, como en v , o una tipografía serif cursiva no negrita acentuada con una flecha hacia la derecha, como en . ^[3] En matemáticas avanzadas, los vectores suelen representarse en un tipo cursivo simple, como cualquier variable . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\vec {v}}}$

Las representaciones vectoriales incluyen coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.

Historia

En 1835 Giusto Bellavitis introdujo la idea de segmentos de línea dirigidos equipolentes , lo que dio lugar al concepto de vector como clase de equivalencia de dichos segmentos. ${\displaystyle AB\bumpeq CD}$

El término vector fue acuñado por WR Hamilton alrededor de 1843, cuando reveló los cuaterniones , un sistema que utiliza vectores y escalares para abarcar un espacio de cuatro dimensiones. Para un cuaternión q = a + b i + c j + d k, Hamilton utilizó dos proyecciones: S q = a , para la parte escalar de q , y V q = b i + c j + d k , la parte vectorial. Usando los términos modernos producto vectorial (×) y producto escalar (.), el producto cuaterniónico de dos vectores p y q se puede escribir pq = – p . q + p × q . En 1878, WK Clifford separó los dos productos para hacer que la operación cuaterniónica fuera útil para los estudiantes en su libro de texto Elements of Dynamic . Dando una conferencia en la Universidad de Yale , Josiah Willard Gibbs proporcionó la notación para el producto escalar y los productos vectoriales , que se introdujo en Vector Analysis . ^[4]

En 1891, Oliver Heaviside defendió que Clarendon distinguiera entre vectores y escalares. Criticó el uso de letras griegas por parte de Tait y letras góticas por parte de Maxwell . ^[5]

En 1912, J. B. Shaw contribuyó con su "Notación comparativa para expresiones vectoriales" al Bulletin of the Quaternion Society . ^[6] Posteriormente, Alexander Macfarlane describió 15 criterios para la expresión clara con vectores en la misma publicación. ^[7]

Las ideas vectoriales fueron propuestas por Hermann Grassmann en 1841, y nuevamente en 1862 en el idioma alemán . Pero los matemáticos alemanes no estaban tan interesados ​​en los cuaterniones como los matemáticos de habla inglesa. Cuando Felix Klein estaba organizando la enciclopedia matemática alemana , encargó a Arnold Sommerfeld que estandarizara la notación vectorial. ^[8] En 1950, cuando Academic Press publicó la traducción de G. Kuerti de la segunda edición del volumen 2 de Lectures on Theoretical Physics de Sommerfeld, la notación vectorial fue objeto de una nota a pie de página: "En el texto original en alemán, los vectores y sus componentes están impresos en los mismos tipos góticos. La forma más habitual de hacer una distinción tipográfica entre los dos se ha adoptado para esta traducción". ^[9]

Felix Klein comentó sobre las diferencias en la notación de vectores y sus operaciones en 1925 a través de un tal Sr. Seyfarth, quien preparó un suplemento a Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: Geometría después de "repetidas conferencias" con él. ^{[10] : vi}

Los términos segmento de línea, segmento de plano, magnitud plana, producto interior y exterior provienen de Grassmann, mientras que las palabras escalar, vector, producto escalar y producto vectorial provienen de Hamilton. Los discípulos de Grassmann, en otros aspectos tan ortodoxos, reemplazaron en parte las expresiones apropiadas del maestro por otras. Las terminologías existentes se fusionaron o modificaron, y los símbolos que indican las operaciones separadas se han utilizado con la mayor arbitrariedad. Por estas razones, incluso para los expertos, se ha infiltrado una gran falta de claridad en este campo, que es matemáticamente tan simple. ^{[10] : 53}

Los esfuerzos para unificar los diversos términos de notación a través de comités del Congreso Internacional de Matemáticos se describen de la siguiente manera:

El Comité creado en Roma para la unificación de la notación vectorial no tuvo el menor éxito, como era de esperar. En el siguiente Congreso, celebrado en Cambridge (1912), tuvieron que explicar que no habían terminado su tarea y solicitar que se les extendiera el tiempo hasta la reunión del siguiente Congreso, que debía haberse celebrado en Estocolmo en 1916, pero que no se celebró a causa de la guerra. El Comité sobre unidades y símbolos corrió una suerte similar. En 1921 publicó un proyecto de notación para magnitudes vectoriales, que despertó inmediatamente y por muchos lados la oposición más violenta. ^{[10] : 52}

Coordenadas rectangulares

Rectángulo

Cuboide rectangular

Dado un sistema de coordenadas cartesianas , un vector puede especificarse por sus coordenadas cartesianas .

Notación de tuplas

Un vector v en un espacio de coordenadas reales de n dimensiones se puede especificar utilizando una tupla (lista ordenada) de coordenadas:

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})}$

A veces se utilizan corchetes angulares en lugar de paréntesis. ^[11] ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

Notación matricial

Un vector también se puede especificar como una matriz de filas o columnas que contiene el conjunto ordenado de componentes. Un vector especificado como una matriz de filas se conoce como un vector de filas ; uno especificado como una matriz de columnas se conoce como un vector de columnas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Nuevamente, un vector n -dimensional se puede especificar en cualquiera de las siguientes formas usando matrices: ${\displaystyle \mathbf {v} }$

• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}$

donde v ₁ , v ₂ , …, v _{n  − 1} , v _n son los componentes de v . En algunos contextos avanzados, un vector fila y un vector columna tienen significados diferentes; consulte covarianza y contravarianza de vectores para obtener más información.

Notación de vector unitario

Un vector en (o menos dimensiones, como donde v _z a continuación es cero) se puede especificar como la suma de los múltiplos escalares de los componentes del vector con los miembros de la base estándar en . La base se representa con los vectores unitarios , , y . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)}$

Un vector tridimensional se puede especificar de la siguiente forma, utilizando la notación de vector unitario: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

donde v _x , vy y v _z son los componentes escalares de v . Los componentes escalares _pueden ser positivos o negativos; el valor absoluto de un componente escalar es su magnitud.

Coordenadas polares

Puntos del sistema de coordenadas polares con polo O y eje polar L. En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados, o (3,60°). En azul, el punto (4,210°).

Las dos coordenadas polares de un punto en un plano pueden considerarse como un vector bidimensional. Dicho vector consta de una magnitud (o longitud) y una dirección (o ángulo). La magnitud, representada típicamente como r , es la distancia desde un punto de partida, el origen , hasta el punto que se representa. El ángulo, representado típicamente como θ (la letra griega theta ), es el ángulo, generalmente medido en sentido antihorario, entre una dirección fija, típicamente la del eje x positivo , y la dirección desde el origen hasta el punto. El ángulo generalmente se reduce para que se encuentre dentro del rango radianes o . ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ }}$

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores se pueden especificar utilizando la notación de pares ordenados (un subconjunto de la notación de conjuntos ordenados que utiliza solo dos componentes) o la notación matricial, como en el caso de las coordenadas rectangulares. En estas formas, el primer componente del vector es r (en lugar de v ₁ ), y el segundo componente es θ (en lugar de v ₂ ). Para diferenciar las coordenadas polares de las rectangulares, el ángulo puede ir precedido del símbolo de ángulo . ${\displaystyle \angle }$

Las coordenadas polares bidimensionales para v se pueden representar como cualquiera de las siguientes, utilizando notación matricial o de pares ordenados:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}$

donde r es la magnitud, θ es el ángulo y el símbolo de ángulo ( ) es opcional. ${\displaystyle \angle }$

Notación directa

Los vectores también se pueden especificar mediante ecuaciones autónomas simplificadas que definen r y θ explícitamente. Esto puede resultar complicado, pero resulta útil para evitar la confusión con los vectores rectangulares bidimensionales que surge al utilizar la notación de pares ordenados o de matrices.

Un vector bidimensional cuya magnitud es de 5 unidades y cuya dirección es π /9 radianes (20°) se puede especificar utilizando cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ }}$

Vectores cilíndricos

Un sistema de coordenadas cilíndricas con origen O , eje polar A y eje longitudinal L. El punto es el punto con distancia radial ρ  = 4, coordenada angular φ  = 130° y altura z  = 4.

Un vector cilíndrico es una extensión del concepto de coordenadas polares en tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas cilíndricas . Un vector cilíndrico se especifica mediante una distancia en el plano xy , un ángulo y una distancia desde el plano xy (una altura). La primera distancia, generalmente representada como r o ρ (la letra griega rho ), es la magnitud de la proyección del vector sobre el plano xy . El ángulo, generalmente representado como θ o φ (la letra griega phi ), se mide como el desplazamiento desde la línea colineal con el eje x en la dirección positiva; el ángulo generalmente se reduce para que se encuentre dentro del rango . La segunda distancia, generalmente representada como h o z , es la distancia desde el plano xy hasta el punto final del vector. ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores cilíndricos utilizan coordenadas polares, donde el segundo componente de distancia se concatena como un tercer componente para formar tripletes ordenados (de nuevo, un subconjunto de la notación de conjuntos ordenados) y matrices. El ángulo puede tener como prefijo el símbolo de ángulo ( ); la combinación distancia-ángulo-distancia distingue a los vectores cilíndricos en esta notación de los vectores esféricos en notación similar. ${\displaystyle \angle }$

Un vector cilíndrico tridimensional v se puede representar como cualquiera de las siguientes formas, utilizando notación matricial o de triplete ordenado:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}$

Donde r es la magnitud de la proyección de v sobre el plano xy , θ es el ángulo entre el eje x positivo y v , y h es la altura desde el plano xy hasta el punto final de v . Nuevamente, el símbolo de ángulo ( ) es opcional. ${\displaystyle \angle }$

Notación directa

Un vector cilíndrico también se puede especificar directamente, utilizando ecuaciones autónomas simplificadas que definen r (o ρ ), θ (o φ ) y h (o z ). Se debe tener coherencia al elegir los nombres que se utilizarán para las variables; ρ no se debe mezclar con θ , etc.

Un vector tridimensional, cuya magnitud de proyección sobre el plano xy es de 5 unidades, cuyo ángulo desde el eje x positivo es π /9 radianes (20°) y cuya altura desde el plano xy es de 3 unidades, se puede especificar en cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}$

Vectores esféricos

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) que se utilizan a menudo en matemáticas : distancia radial r , ángulo acimutal θ y ángulo polar φ . Los significados de θ y φ se han intercambiado en comparación con la convención de la física.

Un vector esférico es otro método para extender el concepto de vectores polares a tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas esféricas . Un vector esférico se especifica mediante una magnitud, un ángulo acimutal y un ángulo cenital. La magnitud suele representarse como ρ . El ángulo acimutal, normalmente representado como θ , es el desplazamiento (en sentido antihorario) desde el eje x positivo . El ángulo cenital, normalmente representado como φ , es el desplazamiento desde el eje z positivo . Ambos ángulos suelen reducirse para que se encuentren dentro del rango de cero (incluido) a 2 π (excluido).

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores esféricos se especifican como vectores polares, donde el ángulo cenital se concatena como tercer componente para formar matrices y tripletes ordenados. Los ángulos acimutal y cenital pueden tener como prefijo el símbolo de ángulo ( ); el prefijo debe usarse de manera uniforme para producir la combinación distancia-ángulo-ángulo que distingue a los vectores esféricos de los cilíndricos. ${\displaystyle \angle }$

Un vector esférico tridimensional v se puede representar como cualquiera de las siguientes formas, utilizando notación matricial o de triplete ordenado:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}$

Donde ρ es la magnitud, θ es el ángulo acimutal y φ es el ángulo cenital.

Notación directa

Al igual que los vectores polares y cilíndricos, los vectores esféricos se pueden especificar utilizando ecuaciones autónomas simplificadas, en este caso para ρ , θ y φ .

Un vector tridimensional cuya magnitud es de 5 unidades, cuyo ángulo acimutal es π /9 radianes (20°) y cuyo ángulo cenital es π /4 radianes (45°) se puede especificar como:

• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}$

Operaciones

En cualquier espacio vectorial dado , se definen las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar. Los espacios vectoriales normados también definen una operación conocida como norma (o determinación de magnitud). Los espacios de producto interno también definen una operación conocida como producto interno. En , el producto interno se conoce como producto escalar . En y , también se define una operación adicional conocida como producto vectorial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

Adición de vectores

La suma de vectores se representa con el signo más utilizado como operador entre dos vectores. La suma de dos vectores u y v se representaría como: $${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$$

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar se representa de la misma manera que la multiplicación algebraica. Un escalar junto a un vector (uno o ambos pueden estar entre paréntesis) implica una multiplicación escalar. Los dos operadores comunes, un punto y una cruz rotada, también son aceptables (aunque la cruz rotada casi nunca se usa), pero corren el riesgo de confundirse con los productos escalares y los productos cruzados, que operan sobre dos vectores. El producto de un escalar k con un vector v se puede representar de cualquiera de las siguientes maneras:

• ${\displaystyle k\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }$

Resta de vectores y división escalar

Utilizando las propiedades algebraicas de la resta y la división, junto con la multiplicación escalar, también es posible “restar” dos vectores y “dividir” un vector por un escalar.

La resta de vectores se realiza sumando el múltiplo escalar de −1 con el segundo operando vectorial al primer operando vectorial. Esto se puede representar mediante el uso del signo menos como operador. La diferencia entre dos vectores u y v se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle \mathbf {u} +-\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} }$

La división escalar se realiza multiplicando el operando vectorial por el inverso multiplicativo del operando escalar. Esto se puede representar mediante el uso de la barra de fracción o los signos de división como operadores. El cociente de un vector v y un escalar c se puede representar en cualquiera de las siguientes formas:

• ${\displaystyle {1 \over c}\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \over c}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {v} \div c}}$

Norma

La norma de un vector se representa con barras dobles a ambos lados del vector. La norma de un vector v se puede representar como: $${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$$

La norma también se representa a veces con barras individuales, como , pero esto puede confundirse con el valor absoluto (que es un tipo de norma). ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$

Producto interior

El producto interno de dos vectores (también conocido como producto escalar, que no debe confundirse con la multiplicación escalar) se representa como un par ordenado entre corchetes angulares. El producto interno de dos vectores u y v se representaría como: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$$

Producto escalar

En , el producto interno también se conoce como producto escalar . Además de la notación estándar de producto interno, también se puede utilizar (y es más común) la notación de producto escalar (que utiliza el punto como operador). El producto escalar de dos vectores u y v se puede representar como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$$

En algunos textos antiguos, el producto escalar está implícito entre dos vectores escritos uno al lado del otro. Esta notación puede confundirse con el producto diádico entre dos vectores.

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores (en ) se representa utilizando la cruz rotada como operador. El producto vectorial de dos vectores u y v se representaría como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$$

Según algunas convenciones (por ejemplo, en Francia y en algunas áreas de las matemáticas superiores), esto también se denota mediante una cuña, ^[12] lo que evita la confusión con el producto cuña, ya que los dos son funcionalmente equivalentes en tres dimensiones: $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$$

En alguna literatura más antigua, se utiliza la siguiente notación para el producto vectorial entre u y v : $${\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$$

Nabla

La notación vectorial se utiliza en el cálculo a través del operador Nabla : Con una función escalar f , el gradiente se escribe como $${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$$ ${\displaystyle \nabla f\,,}$

con un campo vectorial F , la divergencia se escribe como ${\displaystyle \nabla \cdot F,}$

y con un campo vectorial F , el rotacional se escribe como ${\displaystyle \nabla \times F.}$

Véase también

• Vector euclidiano
• ISO 31-11 § Vectores y tensores
• Fasor

Referencias

1. Principios y aplicaciones de las matemáticas para las comunicaciones-electrónica. 1992. p. 123.
2. Coffin, Joseph George (1911). Análisis vectorial. J. Wiley & sons.
3. "ISO 80000-2:2019 Cantidades y unidades — Parte 2: Matemáticas". Organización Internacional de Normalización. Agosto de 2019.
4. Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial, basado en las conferencias de JW Gibbs en Internet Archive
5. Oliver Heaviside , The Electrical Journal , volumen 28. James Gray, 1891. 109 (alt)
6. JB Shaw (1912) Notación comparativa para expresiones vectoriales, Boletín de la Quaternion Society a través de Hathi Trust .
7. Alexander Macfarlane (1912) Un sistema de notación para el análisis vectorial; con una discusión de los principios subyacentes del Boletín de la Quaternion Society
8. Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
9. Mecánica de cuerpos deformables , pág. 10, en Google Books
10. Felix Klein , traductores ER Hendrick y CA Noble (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado – Geometría , tercera edición
11. Wright, Richard. "Precálculo 6-03 Vectores". www.andrews.edu . Consultado el 25 de julio de 2023 .
12. Cajori, Florian (2011). Una historia de las notaciones matemáticas. Dover Publications. pág. 134 (Vol. 2). ISBN 9780486161167.