Función sumatoria divisoria

Función sumatoria de la función de conteo de divisores

La función sumatoria, con los términos principales eliminados, para ${\displaystyle x<10^{4}}$

La función sumatoria, con los términos principales eliminados, para ${\displaystyle x<10^{7}}$

Función sumatoria, sin los términos principales, para , graficada como una distribución o histograma. La escala vertical no es constante de izquierda a derecha; haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada. ${\displaystyle x<10^{7}}$

En teoría de números , la función sumatoria divisor es una función que es una suma sobre la función divisor . Se presenta con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Los diversos estudios del comportamiento de la función divisor a veces se denominan problemas de divisor .

Definición

La función sumatoria divisor se define como

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

dónde

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

es la función divisora . La función divisora ​​cuenta la cantidad de formas en que el entero n puede escribirse como producto de dos enteros. De manera más general, se define

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

donde d _k ( n ) cuenta el número de formas en que n puede escribirse como un producto de k números. Esta cantidad puede visualizarse como el recuento del número de puntos de la red cercados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Por lo tanto, para k = 2, D ( x ) = D ₂ ( x ) cuenta el número de puntos en una red cuadrada delimitada a la izquierda por el eje vertical, en la parte inferior por el eje horizontal y en la parte superior derecha por la hipérbola jk  =  x . A grandes rasgos, esta forma puede visualizarse como un símplex hiperbólico . Esto nos permite proporcionar una expresión alternativa para D ( x ), y una forma sencilla de calcularla en el tiempo: ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$, dónde ${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

Si la hipérbola en este contexto se reemplaza por un círculo, entonces la determinación del valor de la función resultante se conoce como el problema del círculo de Gauss .

Secuencia de D ( n ) (secuencia A006218 en la OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Problema del divisor de Dirichlet

Encontrar una forma cerrada para esta expresión sumada parece estar más allá de las técnicas disponibles, pero es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie está dado por

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

donde es la constante de Euler-Mascheroni y el término de error es ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

Aquí, denota la notación Big-O . Esta estimación se puede demostrar utilizando el método de hipérbola de Dirichlet , y fue establecido por primera vez por Dirichlet en 1849. ^{[1] : 37–38, 69} El problema del divisor de Dirichlet , planteado con precisión, consiste en mejorar este límite de error al encontrar el valor más pequeño de para el cual ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

es válido para todos los números . Hasta el día de hoy, este problema sigue sin resolverse. El progreso ha sido lento. Muchos de los mismos métodos funcionan para este problema y para el problema del círculo de Gauss , otro problema de conteo de puntos en red. La sección F1 de Problemas sin resolver en la teoría de números ^[2] analiza lo que se sabe y lo que no se sabe sobre estos problemas. ${\displaystyle \epsilon >0}$

• En 1904, G. Voronoi demostró que el término de error se puede mejorar a ^{[3] : 381} ${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$
• En 1916, GH Hardy demostró que . En particular, demostró que para alguna constante , existen valores de x para los cuales y valores de x para los cuales . ^{[1] : 69} ${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$
• En 1922, J. van der Corput mejoró el límite de Dirichlet a . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$
• En 1928, van der Corput demostró que . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$
• En 1950, Chih Tsung-tao y, de forma independiente, en 1953 HE Richert demostraron que . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$
• En 1969, Grigori Kolesnik lo demostró . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$
• En 1973, Kolesnik demostró que . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$
• En 1982, Kolesnik demostró que . ^{[3] : 381} ${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$
• En 1988, H. Iwaniec y CJ Mozzochi demostraron que . ^[4] ${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$
• En 2003, MN Huxley mejoró esto para demostrar que . ^[5] ${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$

Por lo tanto, se encuentra en algún lugar entre 1/4 y 131/416 (aproximadamente 0,3149); se conjetura ampliamente que es 1/4. La evidencia teórica da credibilidad a esta conjetura, ya que tiene una distribución límite (no gaussiana). ^[6] El valor de 1/4 también se seguiría de una conjetura sobre pares de exponentes . ^[7] ${\displaystyle \inf \theta }$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$

Problema del divisor de Piltz

En el caso generalizado, se tiene

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

donde es un polinomio de grado . Mediante estimaciones simples, se demuestra fácilmente que ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

para entero . Como en el caso, el ínfimo del límite no se conoce para ningún valor de . El cálculo de estos ínfimos se conoce como el problema del divisor de Piltz, en honor al matemático alemán Adolf Piltz (véase también su página en alemán). Si se define el orden como el valor más pequeño para el que se cumple, para cualquier , se obtienen los siguientes resultados (nótese que es el de la sección anterior): ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^[5]

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^[8] y ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• EC Titchmarsh conjetura que ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

Transformación de Mellin

Ambas porciones pueden expresarse como transformadas de Mellin :

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

para . Aquí, es la función zeta de Riemann . De manera similar, se tiene ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

con . El término principal de se obtiene desplazando el contorno más allá del polo doble en : el término principal es simplemente el residuo , por la fórmula integral de Cauchy . En general, se tiene ${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$ ${\displaystyle D(x)}$ ${\displaystyle w=1}$

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

y lo mismo para , para . ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

Notas

1. Montgomery, Hugh ; RC Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I: teoría clásica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
2. Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.
3. Ivic, Aleksandar (2003). La función Zeta de Riemann . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42813-3.
4. Iwaniec, H. ; CJ Mozzochi (1988). "Sobre los problemas del divisor y del círculo". Journal of Number Theory . 29 : 60–93. doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
5. Huxley, MN (2003). "Sumas exponenciales y puntos reticulares III". Proc. London Math. Soc . 87 (3): 591–609. doi :10.1112/S0024611503014485. ISSN  0024-6115. Zbl  1065.11079.
6. Heath-Brown, DR (1992). "La distribución y los momentos del término de error en el problema del divisor de Dirichlet". Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. doi : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN  0065-1036. S2CID  59450869. Teorema 1 La función tiene una función de distribución
7. Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 59. ISBN. 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .
8. G. Kolesnik. Sobre la estimación de sumas exponenciales múltiples, en "Recent Progress in Analytic Number Theory", Symposium Durham 1979 (Vol. 1), Academic, Londres, 1981, pp. 231–246.
9. Aleksandar Ivić . La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones (teorema 13.2). John Wiley and Sons 1985.

Referencias

• HM Edwards , Función zeta de Riemann , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9 
• EC Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function (La teoría de la función zeta de Riemann ), (1951), Oxford, Clarendon Press, Oxford. (Véase el capítulo 12 para un análisis del problema generalizado del divisor)
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001 (Proporciona una declaración introductoria del problema del divisor de Dirichlet).
• HE Rose. Un curso de teoría de números. Oxford, 1988.
• MN Huxley (2003) 'Sumas exponenciales y puntos reticulares III', Proc. London Math. Soc. (3)87: 591–609