Diagrama de Bratteli

Gráfica de un sistema dinámico

En matemáticas, un diagrama de Bratteli es una estructura combinatoria: un grafo compuesto de vértices etiquetados con números enteros positivos ("nivel") y aristas no orientadas entre vértices que tienen niveles que difieren en uno. El concepto fue introducido por Ola Bratteli ^[1] en 1972 en la teoría de álgebras de operadores para describir secuencias dirigidas de álgebras de dimensión finita: jugó un papel importante en la clasificación de Elliott de las álgebras AF y la teoría de subfactores . Posteriormente, Anatoly Vershik asoció los sistemas dinámicos con caminos infinitos en dichos grafos. ^[2]

Definición

Un diagrama de Bratteli está dado por los siguientes objetos:

• Una secuencia de conjuntos V _n ('los vértices en el nivel n  ') etiquetados por el conjunto entero positivo N . En alguna literatura, cada elemento v de V _n está acompañado por un entero positivo b _v  > 0.
• Una secuencia de conjuntos E _n ('las aristas del nivel n al n  + 1') etiquetados por N , dotados de funciones  s : E _n  →  V _n y r :  E _n  →  V _{n +1} , tales que:
  • Para cada v en V _n , el número de elementos e en E _n con s ( e ) =  v es finito.
  • Entonces, el número de e  es ∈  E _{n −1} con r ( e ) =  v .
  • Cuando los vértices tienen marcas de números enteros positivos b _v , el número a _{v ,  v  '} de las aristas con s ( e ) =  v y r ( e ) = v' para v  ∈  V _n y v' ∈  V _{n +1} satisface b _v  a _{v, v'} ≤  b _v' .

Una forma habitual de representar gráficamente los diagramas de Bratteli es alinear los vértices según sus niveles y poner el número b _v al lado del vértice v , o usar ese número en lugar de v , como en

alt=E_0={a}. a está etiquetado como 1 y tiene dos aristas en b y una en c. E_1={b,c}. b está etiquetado como 2 y tiene una arista en d. c está etiquetado como 1 y tiene una arista en d y una en e. E_2={d,e}. d está etiquetado como 3 y tiene una arista en f. e está etiquetado como 1 y tiene una arista en f y una en g. E_3={f,g}. f está etiquetado como 4. g está etiquetado como 1. Etc.

Un diagrama de Bratteli ordenado es un diagrama de Bratteli junto con un orden parcial en E _n tal que para cualquier v  ∈  V _n el conjunto {  e  ∈  E _{n −1}  :  r ( e ) =  v  } está totalmente ordenado. Las aristas que no comparten un vértice de rango común son incomparables. Este orden parcial nos permite definir el conjunto de todas las aristas máximas E _max y el conjunto de todas las aristas mínimas E _min . Un diagrama de Bratteli con un único camino infinitamente largo en E _max y E _min se llama esencialmente simple . ^[3]

Secuencia de álgebras de dimensión finita

Cualquier álgebra semisimple sobre los números complejos C de dimensión finita puede expresarse como una suma directa ⊕ _k M _{n k} ( C ) de álgebras matriciales , y los homomorfismos de C -álgebras entre dos de tales álgebras hasta los automorfismos internos en ambos lados están completamente determinados por el número de multiplicidad entre los componentes del 'álgebra matricial'. Así, un homomorfismo inyectivo de ⊕ _{k =1} ⁱ  M _{n k} ( C ) en ⊕ _{l =1} ^j  M _{m l} ( C ) puede representarse por una colección de números positivos a _{k , l} que satisfacen Σ  n _k  a _{k , l} ≤  m _l . (La igualdad se cumple si y sólo si el homomorfismo es unital; podemos permitir homomorfismos no inyectivos permitiendo que algún a _{k , l} sea cero.) Esto se puede ilustrar como un gráfico bipartito que tiene los vértices marcados por los números ( n _k ) _k por un lado y los marcados por ( m _l ) _l por el otro lado, y que tiene _k , _{l  aristas} entre el vértice n _k y el vértice  m _l .

Así, cuando tenemos una secuencia de álgebras semisimples de dimensión finita A _n y homomorfismos inyectivos φ _n  :  A _n'  →  A _{n +1} : entre ellas, obtenemos un diagrama de Bratteli poniendo

V _n = el conjunto de componentes simples de A _n

(cada uno isomorfo a un álgebra matricial), marcado por el tamaño de las matrices.

( E _n , r , s ): el número de aristas entre M _{n k} ( C ) ⊂ A _n y M _{m l} ( C ) ⊂ A _{n +1} es igual a la multiplicidad de M _{n k} ( C ) en M _{m l} ( C ) bajo φ _n .

Sucesión de álgebras semisimples divididas

Cualquier álgebra semisimple (posiblemente de dimensión infinita) es aquella cuyos módulos son completamente reducibles, es decir, se descomponen en la suma directa de módulos simples . Sea una cadena de álgebras semisimples divididas, y sea el conjunto de indexación para las representaciones irreducibles de . Denote por el módulo irreducible indexado por . Debido a la inclusión , cualquier -módulo se restringe a un -módulo. Sea denotado los números de descomposición ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in {\hat {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq A_{i+1}}$ ${\displaystyle A_{i+1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle g_{\lambda ,\mu }}$

${\displaystyle A_{i+1}^{\mu }\downarrow _{A_{i}}^{A_{i+1}}=\bigoplus _{\lambda \in {\hat {A}}_{i}}g_{\lambda ,\mu }A_{i}^{\lambda }.}$

El diagrama de Bratteli para la cadena se obtiene colocando un vértice para cada elemento de un nivel y conectando un vértice de un nivel con un vértice de un nivel con aristas. ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle g_{\lambda ,\mu }}$

Ejemplos

Diagrama de Bratteli para álgebras de Brauer y BMW en i=0,1,2,3 y 4 hilos.

(1) Si , el i-ésimo grupo simétrico , el diagrama de Bratteli correspondiente es el mismo que la red de Young . ^[4] ${\displaystyle A_{i}=S_{i}}$

(2) Si es el álgebra de Brauer o el álgebra de Birman-Wenzl en i hebras, entonces el diagrama de Bratteli resultante tiene particiones de i –2 k (para ) con una arista entre particiones en niveles adyacentes si una se puede obtener de la otra sumando o restando 1 de una sola parte. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,\lfloor i/2\rfloor }$

(3) Si es el álgebra de Temperley-Lieb en i hebras, el Bratteli resultante tiene números enteros i –2 k (para ) con una arista entre números enteros en niveles adyacentes si uno puede obtenerse del otro sumando o restando 1. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,\lfloor i/2\rfloor }$

Véase también

• Diagrama de Bratteli-Vershik

Referencias

1. Bratteli, Ola (1972). "Límites inductivos de C*-álgebras de dimensión finita". Transactions of the American Mathematical Society . 171 : 195–234. doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0312282-2 . Zbl  0264.46057.
2. Vershik, AM (1985). "Un teorema sobre la aproximación periódica de Markov en la teoría ergódica". Revista de Matemáticas Soviéticas . 28 (5): 667–674. doi : 10.1007/bf02112330 . Zbl  0559.47006.
3. Herman, Richard H.; Putnam, Ian F.; Skau, Christian F. (1992). "Diagramas de Bratteli ordenados, grupos de dimensión y dinámica topológica". Revista Internacional de Matemáticas . 3 (6): 827–864. doi :10.1142/S0129167X92000382.
4. Alcock-Zeilinger, Judith M. "El grupo simétrico, sus representaciones y combinatoria" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Tubinga . Th. 4.5.

• Halverson, Tom; Ram, Arun (1995). "Caracteres de álgebras que contienen una construcción básica de Jones: las álgebras de Temperley-Lieb, Okada, Brauer y Birman–Wenzl". Avances en Matemáticas . 116 (2): 263–321. doi : 10.1006/aima.1995.1068 . ISSN  0001-8708. Zbl  0856.16038.
• Davidson, Kenneth R. (1996). C*-álgebras por ejemplo . Fields Institute Monographs. Vol. 6. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-0599-1. Número de serie  0958.46029.
• Rørdam, Mikael; Larsen, Flemming; Laustsen, Niels (2000). Introducción a la teoría K para álgebras C* . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 49. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-78334-8. Número de serie  0967.19001.
• Durand, Fabien (2010). "6. Combinatoria sobre diagramas de Bratteli y sistemas dinámicos". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michael (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 135. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 324–372. ISBN 978-0-521-51597-9.Zbl 1272.37006  .