Subfactor

En la teoría de las álgebras de von Neumann , un subfactor de un factor es una subálgebra que es un factor y contiene . La teoría de subfactores condujo al descubrimiento del polinomio de Jones en la teoría de nudos . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$

Índice de un subfactor

Generalmente se toma como un factor de tipo , de modo que tiene una traza finita. En este caso, cada módulo del espacio de Hilbert tiene una dimensión que es un número real no negativo o . El índice de un subfactor se define como . Aquí se muestra la representación de obtenida a partir de la construcción GNS de la traza de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \dim _{M}(H)}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle [M:N]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim _{N}(L^{2}(M))}$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Teorema del índice de Jones

Esto indica que si es un subfactor de (ambos de tipo ), entonces el índice tiene la forma para o es al menos . Se dan todos estos valores. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle [M:N]}$ ${\displaystyle 4\cos(\pi /n)^{2}}$ ${\displaystyle n=3,4,5,...}$ ${\displaystyle 4}$

Los primeros valores de son ${\displaystyle 4\cos(\pi /n)^{2}}$ ${\displaystyle 1,2,(3+{\sqrt {5}})/2=2.618...,3,3.247...,...}$

Construcción básica

Supóngase que es un subfactor de , y que ambas son álgebras finitas de von Neumann. La construcción GNS produce un espacio de Hilbert sobre el que actúa con un vector cíclico . Sea la proyección sobre el subespacio . Entonces y genere una nueva álgebra de von Neumann que actúe sobre , que contenga como subfactor. El paso de la inclusión de en a la inclusión de en se denomina construcción básica . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle e_{N}}$ ${\displaystyle N\Omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e_{N}}$ ${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$

Si y son ambos factores de tipo y tiene índice finito en entonces también es de tipo . Además las inclusiones tienen el mismo índice: y . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle [M:N]=[\langle M,e_{N}\rangle :M],}$ ${\displaystyle tr_{\langle M,e_{N}\rangle }(e_{N})=[M:N]^{-1}}$

Torre Jones

Supongamos que se trata de una inclusión de factores de tipo de índice finito. Al iterar la construcción básica obtenemos una torre de inclusiones ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$

${\displaystyle M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \cdots }$

donde y , y cada una es generada por el álgebra anterior y una proyección. La unión de todas estas álgebras tiene un estado trazal cuya restricción a cada una es el estado trazal, y por lo tanto la clausura de la unión es otro tipo de álgebra de von Neumann . ${\displaystyle M_{-1}=N}$ ${\displaystyle M_{0}=M}$ ${\displaystyle M_{n+1}=\langle M_{n},e_{n+1}\rangle }$ ${\displaystyle tr}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle M_{\infty }}$

El álgebra contiene una secuencia de proyecciones que satisfacen las relaciones de Temperley–Lieb en el parámetro . Además, el álgebra generada por es un -álgebra en la que son autoadjuntos, y tal que cuando está en el álgebra generada por hasta . Siempre que se cumplan estas condiciones adicionales, el álgebra se denomina álgebra de Temperly–Lieb–Jones en el parámetro . Se puede demostrar que es única hasta el -isomorfismo. Existe solo cuando toma esos valores especiales para , o los valores mayores que . ${\displaystyle M_{\infty }}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...,}$ ${\displaystyle \lambda =[M:N]^{-1}}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle tr(xe_{n})=\lambda tr(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{n-1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 4cos(\pi /n)^{2}}$ ${\displaystyle n=3,4,5,...}$ ${\displaystyle 4}$

Invariante estándar

Supóngase que es una inclusión de factores de tipo de índice finito. Sean los conmutadores relativos superiores y . ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$

El invariante estándar del subfactor es la siguiente cuadrícula: ${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {P}}_{0,+}\subset {\mathcal {P}}_{1,+}\subset {\mathcal {P}}_{2,+}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n,+}\subset \cdots }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb {C} \ ={\mathcal {P}}_{0,-}\subset {\mathcal {P}}_{1,-}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n-1,-}\subset \cdots }$

que es un invariante completo en el caso susceptible. ^[1] Una axiomatización diagramática del invariante estándar está dada por la noción de álgebra planar .

Gráficos principales

Se dice que un subfactor de índice finito es irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle N\subset M}$

• ${\displaystyle L^{2}(M)}$es irreducible como un bimódulo; ${\displaystyle (N,M)}$
• El conmutador relativo es . ${\displaystyle N'\cap M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En este caso se define un bimódulo así como su bimódulo conjugado . El producto tensorial relativo, descrito en Jones (1983) y a menudo llamado fusión de Connes en base a una definición previa para las álgebras generales de von Neumann de Alain Connes , se puede utilizar para definir nuevos bimódulos sobre , , y descomponiendo los siguientes productos tensoriales en componentes irreducibles: ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle (N,M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,N)}$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle (N,M)}$ ${\displaystyle (M,N)}$ ${\displaystyle (M,M)}$ ${\displaystyle (N,N)}$

${\displaystyle X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star },\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star }.}$

Los bimódulos irreducibles y que surgen de esta manera forman los vértices del grafo principal , un grafo bipartito . Las aristas dirigidas de estos grafos describen la forma en que un bimódulo irreducible se descompone cuando se tensa con y a la derecha. El grafo principal dual se define de manera similar utilizando los bimódulos y . ${\displaystyle (M,M)}$ ${\displaystyle (M,N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle (N,N)}$ ${\displaystyle (N,M)}$

Como cualquier bimódulo corresponde a las acciones conmutativas de dos factores, cada factor está contenido en el conmutante del otro y, por lo tanto, define un subfactor. Cuando el bimódulo es irreducible, su dimensión se define como la raíz cuadrada del índice de este subfactor. La dimensión se extiende de forma aditiva a sumas directas de bimódulos irreducibles. Es multiplicativa con respecto a la fusión de Connes.

Se dice que el subfactor tiene profundidad finita si el grafo principal y su dual son finitos, es decir, si solo se dan un número finito de bimódulos irreducibles en estas descomposiciones. En este caso, si y son hiperfinitos, Sorin Popa demostró que la inclusión es isomorfa al modelo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathrm {End} \,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime }\subset (\mathrm {End} \,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime },}$

donde los factores se obtienen de la construcción GNS con respecto a la traza canónica. ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$

Polinomios de nudos

El álgebra generada por los elementos con las relaciones anteriores se denomina álgebra de Temperley-Lieb . Se trata de un cociente del álgebra de grupo del grupo trenzado , por lo que las representaciones del álgebra de Temperley-Lieb dan representaciones del grupo trenzado, que a su vez suelen dar invariantes para los nudos. ${\displaystyle e_{n}}$

Referencias

1. Popa, Sorin (1994), "Clasificación de subfactores susceptibles de tipo II", Acta Mathematica , 172 (2): 163–255, doi : 10.1007/BF02392646 , MR  1278111

• Jones, Vaughan FR (1983), "Índice de subfactores", Inventiones Mathematicae , 72 : 1–25, doi :10.1007/BF01389127
• Wenzl, HG (1988), "Álgebras de Hecke de tipo An y subfactores", Invent. Math. , 92 (2): 349–383, doi :10.1007/BF01404457, MR  0696688
• Jones, Vaughan FR ; Sunder, Viakalathur Shankar (1997). Introducción a los subfactores . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 234. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511566219. ISBN 0-521-58420-5.Señor 1473221  .
• Teoría de álgebras de operadores III de M. Takesaki ISBN 3-540-42913-1 
• Wassermann, Antony . "Operadores en el espacio de Hilbert".