Álgebra de Temperley-Lieb

En mecánica estadística , el álgebra de Temperley-Lieb es un álgebra a partir de la cual se construyen ciertas matrices de transferencia , inventada por Neville Temperley y Elliott Lieb . También está relacionada con los modelos integrables , la teoría de nudos y el grupo de trenzas , los grupos cuánticos y los subfactores de las álgebras de von Neumann .

Estructura

Generadores y relaciones

Sea un anillo conmutativo y fijo . El álgebra de Temperley-Lieb es la -álgebra generada por los elementos , sujeta a las relaciones de Jones: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta \in R}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n-1}}$

• ${\displaystyle e_{i}^{2}=\delta e_{i}}$a pesar de ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}}$a pesar de ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}}$a pesar de ${\displaystyle 2\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}}$para todos aquellos que ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n-1}$ ${\displaystyle |i-j|\neq 1}$

Utilizando estas relaciones, cualquier producto de generadores puede llevarse a la forma normal de Jones: ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle E={\big (}e_{i_{1}}e_{i_{1}-1}\cdots e_{j_{1}}{\big )}{\big (}e_{i_{2}}e_{i_{2}-1}\cdots e_{j_{2}}{\big )}\cdots {\big (}e_{i_{r}}e_{i_{r}-1}\cdots e_{j_{r}}{\big )}}$

donde y son dos secuencias estrictamente crecientes en . Los elementos de este tipo forman una base del álgebra de Temperley-Lieb. ^[1] ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\dots ,i_{r})}$ ${\displaystyle (j_{1},j_{2},\dots ,j_{r})}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n-1\}}$

Las dimensiones de las álgebras de Temperley-Lieb son números Catalan : ^[2]

${\displaystyle \dim(TL_{n}(\delta ))={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}}$

El álgebra de Temperley-Lieb es una subálgebra del álgebra de Brauer , ^[3] y por lo tanto también del álgebra de partición . El álgebra de Temperley-Lieb es semisimple para donde es un conjunto finito conocido. ^[4] Para un dado , todas las álgebras de Temperley-Lieb semisimples son isomorfas. ^[3] ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle P_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {C} -F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Álgebra de diagramas

${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$puede representarse diagramáticamente como el espacio vectorial sobre pares de puntos que no se cruzan en dos lados opuestos de un rectángulo con n puntos en cada uno de los dos lados. ${\displaystyle 2n}$

El elemento identidad es el diagrama en el que cada punto está conectado con el que se encuentra directamente al otro lado del rectángulo. El generador es el diagrama en el que el -ésimo y el -ésimo punto del lado izquierdo están conectados entre sí, de manera similar los dos puntos opuestos a estos del lado derecho, y todos los demás puntos están conectados con el punto que se encuentra directamente al otro lado del rectángulo. ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

Los generadores de son: ${\displaystyle TL_{5}(\delta )}$

De izquierda a derecha, la unidad 1 y los generadores , , , . ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{4}}$

La multiplicación de elementos base se puede realizar por concatenación: colocando dos rectángulos uno al lado del otro y reemplazando cualquier bucle cerrado por un factor , por ejemplo : ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}\times e_{2}e_{4}e_{3}=\delta \,e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}e_{4}e_{3}}$

× = = ${\displaystyle \delta }$ .

Las relaciones de Jones se pueden ver gráficamente:

= ${\displaystyle \delta }$

=

=

Los cinco elementos básicos son los siguientes: ${\displaystyle TL_{3}(\delta )}$

.

De izquierda a derecha, la unidad 1, los generadores , , y , . ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}e_{1}}$

Representaciones

Estructura

Para tal que es semisimple, un conjunto completo de módulos simples se parametriza mediante números enteros con . La dimensión de un módulo simple se escribe en términos de coeficientes binomiales como ^[4] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \{W_{\ell }\}}$ ${\displaystyle 0\leq \ell \leq n}$ ${\displaystyle \ell \equiv n{\bmod {2}}}$

${\displaystyle \dim(W_{\ell })={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}-{\binom {n}{{\frac {n-\ell }{2}}-1}}}$

Una base del módulo simple es el conjunto de pares mónicos no cruzados de puntos de la izquierda a puntos de la derecha. (Mónico significa que cada punto de la derecha está conectado a un punto de la izquierda). Hay una biyección natural entre , y el conjunto de diagramas que generan : cualquier diagrama de este tipo se puede cortar en dos elementos de para algún . ${\displaystyle W_{\ell }}$ ${\displaystyle M_{n,\ell }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle M_{n,\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$

Luego actúa mediante la concatenación de diagramas desde la izquierda. ^[3] (La concatenación puede producir emparejamientos no monónicos, que deben eliminarse mediante modificaciones). El módulo puede denominarse módulo estándar o módulo de enlace . ^[1] ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle W_{\ell }}$ ${\displaystyle W_{\ell }}$

Si tiene raíz unitaria, no puede ser semisimple, ni irreducible: ${\displaystyle \delta =q+q^{-1}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle W_{\ell }}$

${\displaystyle W_{\ell }{\text{ reducible }}\iff \exists j\in \{1,2,\dots ,\ell \},\ q^{2n-4\ell +2+2j}=1}$

Si es reducible, entonces su cociente por su submódulo propio máximo es irreducible. ^[1] ${\displaystyle W_{\ell }}$

Reglas de ramificación del álgebra de Brauer

Los módulos simples del álgebra de Brauer se pueden descomponer en módulos simples del álgebra de Temperley-Lieb. La descomposición se denomina regla de ramificación y es una suma directa con coeficientes enteros positivos: ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$

${\displaystyle W_{\lambda }\left({\mathfrak {B}}_{n}(\delta )\right)=\bigoplus _{\begin{array}{c}|\lambda |\leq \ell \leq n\\\ell \equiv |\lambda |{\bmod {2}}\end{array}}c_{\ell }^{\lambda }W_{\ell }\left(TL_{n}(\delta )\right)}$

Los coeficientes no dependen de , y están dados por ^[4] ${\displaystyle c_{\ell }^{\lambda }}$ ${\displaystyle n,\delta }$

${\displaystyle c_{\ell }^{\lambda }=f^{\lambda }\sum _{r=0}^{\frac {\ell -|\lambda |}{2}}(-1)^{r}{\binom {\ell -r}{r}}{\binom {\ell -2r}{\ell -|\lambda |-2r}}(\ell -|\lambda |-2r)!!}$

donde es el número de cuadros estándar de Young de forma , dado por la fórmula de longitud del anzuelo . ${\displaystyle f^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Álgebra afín de Temperley-Lieb

El álgebra afín de Temperley-Lieb es un álgebra de dimensión infinita tal que . Se obtiene añadiendo generadores tales que ^[5] ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )\subset aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle e_{n},\tau ,\tau ^{-1}}$

• ${\displaystyle \tau e_{i}=e_{i+1}\tau }$Para todos , ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}}$,
• ${\displaystyle \tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}}$.

Se supone que los índices son periódicos , es decir, y se supone que las relaciones de Temperley-Lieb son válidas para todos los . Entonces es central. Un cociente de dimensión finita del álgebra , a veces llamada álgebra de Jones-Temperley-Lieb no orientada , ^[6] se obtiene suponiendo , y reemplazando las líneas no contráctiles con el mismo factor que las líneas contráctiles (por ejemplo, en el caso , esto implica ). ${\displaystyle e_{n+1}=e_{1},e_{n}=e_{0}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \tau ^{n}}$ ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \tau ^{n}={\text{id}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}}$

El álgebra de diagramas para se deduce del álgebra de diagramas para convirtiendo rectángulos en cilindros. El álgebra es de dimensión infinita porque las líneas pueden serpentear alrededor del cilindro. Si es par, incluso pueden existir líneas serpenteantes cerradas, que no son contráctiles. ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle n}$

El álgebra de Temperley-Lieb es un cociente del álgebra afín de Temperley-Lieb correspondiente. ^[5]

El módulo de celda de se genera por el conjunto de emparejamientos mónicos de puntos a puntos, al igual que el módulo de . Sin embargo, los emparejamientos están ahora en un cilindro, y la multiplicación por la derecha con se identifica con para algún . Si , no hay multiplicación por la derecha por , y es la adición de un bucle no contráctil a la derecha lo que se identifica con . Los módulos de celda son de dimensión finita, con ${\displaystyle W_{\ell ,z}}$ ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle W_{\ell }}$ ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle z\cdot {\text{id}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle z+z^{-1}}$

${\displaystyle \dim(W_{\ell ,z})={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}}$

El módulo de celda es irreducible para todo , donde el conjunto es numerable. Para , tiene un cociente irreducible. Los módulos de celda irreducibles y sus cocientes forman un conjunto completo de módulos irreducibles de . ^[5] Los módulos de celda del álgebra de Jones-Temperley-Lieb no orientada deben obedecer si , y si . ${\displaystyle W_{\ell ,z}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )}$ ${\displaystyle R(\delta )}$ ${\displaystyle z\in R(\delta )}$ ${\displaystyle W_{\ell ,z}}$ ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle z^{\ell }=1}$ ${\displaystyle \ell \neq 0}$ ${\displaystyle z+z^{-1}=\delta }$ ${\displaystyle \ell =0}$

Aplicaciones

Hamiltoniano de Temperley-Lieb

Consideremos un modelo de interacción alrededor de una cara, por ejemplo, un modelo de red cuadrada , y sea el número de sitios en la red. Siguiendo a Temperley y Lieb ^[7], definimos el hamiltoniano de Temperley-Lieb (el hamiltoniano TL) como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{j=1}^{n-1}(\delta -e_{j})}$

A continuación consideraremos el caso especial . ${\displaystyle \delta =1}$

En primer lugar, consideraremos el caso . El hamiltoniano TL es , es decir ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - .

Tenemos dos estados posibles,

y.

Al actuar sobre estos estados, encontramos ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - = - ,

y

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - =- + .

Escribiendo como una matriz en base a los estados posibles tenemos, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left({\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}}\right)}$

El vector propio de con el valor propio más bajo se conoce como estado fundamental . En este caso, el valor propio más bajo para es . El vector propio correspondiente es . A medida que variamos el número de sitios, encontramos la siguiente tabla ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{0}=(1,1)}$ ${\displaystyle n}$

donde hemos utilizado la notación -veces, por ejemplo, . ${\displaystyle m_{j}=(m,\ldots ,m)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 5_{2}=(5,5)}$

Una observación interesante es que los componentes más grandes del estado fundamental de tienen una enumeración combinatoria a medida que variamos el número de sitios, ^[9] como lo observaron por primera vez Murray Batchelor , Jan de Gier y Bernard Nienhuis. ^[8] Utilizando los recursos de la enciclopedia en línea de secuencias enteras , Batchelor et al. encontraron, para un número par de sitios ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle 1,2,11,170,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-2}{2}}\left(3j+1\right){\frac {(2j)!(6j)!}{(4j)!(4j+1)!}}\qquad (n=2,4,6,\dots )}$

y para un número impar de sitios

${\displaystyle 1,3,26,646,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-3}{2}}(3j+2){\frac {(2j+1)!(6j+3)!}{(4j+2)!(4j+3)!}}\qquad (n=3,5,7,\dots )}$

Sorprendentemente, estas secuencias correspondían a objetos combinatorios bien conocidos. Para los pares, esta (secuencia A051255 en la OEIS ) corresponde a particiones del plano de complemento transpuesto cíclicamente simétricas y para los impares (secuencia A005156 en la OEIS ), estas corresponden a matrices de signos alternados simétricas respecto del eje vertical. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cadena de giro XXZ

Referencias

1. Ridout, David; Saint-Aubin, Yvan (20 de abril de 2012). "Módulos estándar, inducción y álgebra de Temperley-Lieb". arXiv : 1204.4505v4 [math-ph].
2. Kassel, Christian; Turaev, Vladimir (2008). "Braid Groups". Textos de posgrado en matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-0-387-68548-9. ISBN 978-0-387-33841-5. ISSN  0072-5285.
3. Halverson, Tom; Jacobson, Theodore N. (24 de agosto de 2018). "Tablas de partición de conjuntos y representaciones de álgebras de diagramas". arXiv : 1808.08118v2 [math.RT].
4. Benkart, Georgia ; Moon, Dongho (26 de abril de 2005), "Representaciones de productos tensoriales de álgebras de Temperley-Lieb y polinomios de Chebyshev", Representaciones de álgebras y temas relacionados , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 57–80, doi :10.1090/fic/045/05, ISBN 9780821834152
5. Belletête, Jonathan; Saint-Aubin, Yvan (10 de febrero de 2018). "Sobre el cálculo de la fusión sobre el álgebra afín de Temperley-Lieb". Física nuclear B . 937 : 333–370. arXiv : 1802.03575v1 . Código Bibliográfico :2018NuPhB.937..333B. doi :10.1016/j.nuclphysb.2018.10.016. S2CID  119131017.
6. Read, N.; Saleur, H. (11 de enero de 2007). "Álgebras de simetría ampliadas de cadenas de espín, modelos de bucles y matrices S". Física nuclear B . 777 (3): 263–315. arXiv : cond-mat/0701259 . Código Bibliográfico :2007NuPhB.777..263R. doi :10.1016/j.nuclphysb.2007.03.007. S2CID  119152756.
7. Temperley, Neville ; Lieb, Elliott (1971). "Relaciones entre el problema de la 'percolación' y la 'coloración' y otros problemas de teoría de grafos asociados con redes planares regulares: algunos resultados exactos para el problema de la 'percolación'". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 322 (1549): 251–280. Bibcode :1971RSPSA.322..251T. doi :10.1098/rspa.1971.0067. JSTOR  77727. MR  0498284. S2CID  122770421.
8. Batchelor, Murray ; de Gier, Jan; Nienhuis, Bernard (2001). "La cadena simétrica cuántica en , matrices de signos alternos y particiones planas". Journal of Physics A . 34 (19): L265–L270. arXiv : cond-mat/0101385 . doi :10.1088/0305-4470/34/19/101. MR  1836155. S2CID  118048447. ${\displaystyle XXZ}$ ${\displaystyle \Delta =-1/2}$
9. de Gier, Jan (2005). "Bucles, emparejamientos y matrices de signos alternos". Matemáticas discretas . 298 (1–3): 365–388. arXiv : math/0211285 . doi :10.1016/j.disc.2003.11.060. MR  2163456. S2CID  2129159.

Lectura adicional

• Kauffman, Louis H. (1991). Nudos y física. World Scientific. ISBN 978-981-02-0343-6.
• Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y el polinomio de Jones". Topología . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 . MR  0899057.
• Baxter, Rodney J. (1982). Modelos resueltos con exactitud en mecánica estadística. Londres: Academic Press Inc. ISBN 0-12-083180-5.Sr. 0690578  .