Determinante de Fredholm

En matemáticas , el determinante de Fredholm es una función de valor complejo que generaliza el determinante de un operador lineal de dimensión finita . Se define para operadores acotados en un espacio de Hilbert que difieren del operador identidad por un operador de clase traza . La función recibe su nombre del matemático Erik Ivar Fredholm .

Los determinantes de Fredholm han tenido muchas aplicaciones en la física matemática , siendo el ejemplo más célebre la fórmula del límite de Gábor Szegő , demostrada en respuesta a una pregunta planteada por Lars Onsager y CN Yang sobre la magnetización espontánea del modelo de Ising .

Definición

Sea un espacio de Hilbert y el conjunto de operadores invertibles acotados en de la forma , donde es un operador de clase traza . es un grupo porque ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I+T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},}$$

Entonces, si es una clase trace , tiene una métrica natural dada por , donde es la norma de la clase trace. ${\displaystyle (I+T)^{-1}-I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$

Si es un espacio de Hilbert con producto interior , entonces también lo es la potencia exterior con producto interior ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ $${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})=\det(v_{i},w_{j}).}$$

En particular $${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$$

da una base ortonormal de si es una base ortonormal de . Si es un operador acotado en , entonces define funcionalmente un operador acotado en por ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ ${\displaystyle (e_{i})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ $${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$$

Si es trace-class, entonces también es trace-class con ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ $${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$$

Esto demuestra que la definición del determinante de Fredholm dada por $${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$

Tiene sentido.

Propiedades

• Si es un operador de clase trace ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)}$$ define una función completa tal que $${\displaystyle \left|\det(I+zA)\right|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$$

• La función es continua en los operadores de clase trace, con ${\displaystyle \det(I+A)}$

$${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$$ Esta desigualdad se puede mejorar ligeramente hasta el siguiente nivel, como se señala en el Capítulo 5 de Simon: $${\displaystyle \left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$$

• Si y son de clase traza entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \det(I+A)\cdot \det(I+B)=\det(I+A)(I+B).}$$

• La función define un homomorfismo de en el grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero (ya que los elementos de son invertibles). ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle G}$
• Si está en y es invertible, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \det XTX^{-1}=\det T.}$$

• Si es trace-class, entonces ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det e^{A}=\exp \,\operatorname {Tr} (A).}$$ $${\displaystyle \log \det(I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}}$$

Determinantes de Fredholm de conmutadores

Se dice que una función de into es diferenciable si es diferenciable como un mapa en los operadores de la clase trace, es decir, si el límite ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(t)-I}$

$${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\to 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$$

existe en la norma de clase traza.

Si es una función diferenciable con valores en operadores de clase trace, entonces también lo es y ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle \exp g(t)}$

$${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={\operatorname {id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$$

dónde $${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\cdot Y=XY-YX.}$$

Israel Gohberg y Mark Krein demostraron que si es una función diferenciable en , entonces es una función diferenciable en con ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f=\det F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}=\operatorname {Tr} F^{-1}{\dot {F}}.}$$

Este resultado fue utilizado por Joel Pincus, William Helton y Roger Howe para demostrar que si y son operadores acotados con conmutador de clase traza , entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB-BA}$

$${\displaystyle \det e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \operatorname {Tr} (AB-BA).}$$

Fórmula límite de Szegő

Sea y sea la proyección ortogonal sobre el espacio de Hardy . ${\displaystyle H=L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$

Si es una función suave en el círculo, sea el operador de multiplicación correspondiente en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m(f)}$ ${\displaystyle H}$

El conmutador es de clase traza. $${\displaystyle Pm(f)-m(f)P}$$

Sea el operador de Toeplitz definido por ${\displaystyle T(f)}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{1})}$ $${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$$

entonces el conmutador aditivo es de clase traza si y son suaves. $${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Berger y Shaw demostraron que $${\displaystyle \operatorname {tr} (T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }f\,dg.}$$

Si y son suaves, entonces es en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$$ ${\displaystyle G}$

Harold Widom utilizó el resultado de Pincus-Helton-Howe para demostrar que donde $${\displaystyle \det T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$ $${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$$

Lo utilizó para dar una nueva prueba de la célebre fórmula del límite de Gábor Szegő : donde es la proyección sobre el subespacio de generado por y . $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\det P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$$ ${\displaystyle P_{N}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1,z,\ldots ,z^{N}}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

La fórmula límite de Szegő fue demostrada en 1951 en respuesta a una pregunta planteada por el trabajo de Lars Onsager y CN Yang sobre el cálculo de la magnetización espontánea para el modelo de Ising . La fórmula de Widom, que conduce bastante rápidamente a la fórmula límite de Szegő, también es equivalente a la dualidad entre bosones y fermiones en la teoría de campos conforme . Una versión singular de la fórmula límite de Szegő para funciones apoyadas en un arco de círculo fue demostrada por Widom; se ha aplicado para establecer resultados probabilísticos sobre la distribución de valores propios de matrices unitarias aleatorias .

Presentación informal para el caso de operadores integrales

La sección siguiente proporciona una definición informal del determinante de Fredholm cuando el operador de la clase de traza es un operador integral dado por un núcleo . Una definición adecuada requiere una presentación que muestre que cada una de las manipulaciones está bien definida, es convergente, etc., para la situación dada para la que se contempla el determinante de Fredholm. Dado que el núcleo puede definirse para una gran variedad de espacios de Hilbert y espacios de Banach , este es un ejercicio no trivial. ${\displaystyle I-T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle K}$

El determinante de Fredholm puede definirse como $${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$$

donde es un operador integral . La traza del operador y sus potencias alternas se da en términos del núcleo por y y en general ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

La traza está bien definida para estos núcleos, ya que se trata de operadores de clase traza o nucleares .

Aplicaciones

El determinante de Fredholm fue utilizado por el físico John A. Wheeler (1937, Phys. Rev. 52:1107) para ayudar a proporcionar una descripción matemática de la función de onda para un núcleo compuesto formado por una combinación antisimetrizada de funciones de onda parciales mediante el método de la Estructura de Grupo Resonante. Este método corresponde a las diversas formas posibles de distribuir la energía de neutrones y protones en grupos de nucleones de bosones y fermiones fundamentales o bloques de construcción como la partícula alfa, helio-3, deuterio, tritón, di-neutrón, etc. Cuando se aplica al método de la Estructura de Grupo Resonante para isótopos estables beta y alfa, el uso del determinante de Fredholm: (1) determina los valores de energía del sistema compuesto y (2) determina las secciones eficaces de dispersión y desintegración. El método de Estructura de Grupo Resonante de Wheeler proporciona las bases teóricas para todos los Modelos de Cúmulos de Nucleones posteriores y la dinámica de energía de cúmulos asociada para todos los isótopos de masa ligera y pesada (véase la revisión de los Modelos de Cúmulos en física en ND Cook, 2006).

Referencias

• Simon, Barry (2005), Trace Ideals and Their Applications , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 120, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3581-5
• Wheeler, John A. (1937-12-01). "Sobre la descripción matemática de núcleos ligeros mediante el método de la estructura de grupo resonante". Physical Review . 52 (11). American Physical Society (APS): 1107–1122. Bibcode :1937PhRv...52.1107W. doi :10.1103/physrev.52.1107. ISSN  0031-899X.
• Bornemann, Folkmar (2010), "Sobre la evaluación numérica de los determinantes de Fredholm", Math. Comp. , 79 (270), Springer: 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi :10.1090/s0025-5718-09-02280-7