Desigualdad de Van den Berg-Kesten

Desigualdad en la teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de van den Berg–Kesten (BK) o desigualdad de van den Berg–Kesten–Reimer (BKR) establece que la probabilidad de que ocurran dos eventos aleatorios , y al mismo tiempo se puedan encontrar "certificados disjuntos" para demostrar que ambos ocurren, es como máximo el producto de sus probabilidades individuales. El caso especial de dos eventos monótonos (la noción utilizada en la desigualdad FKG ) fue demostrado por primera vez por van den Berg y Kesten ^[1] en 1985, quienes también conjeturaron que la desigualdad se cumple en general, sin requerir monotonía. Reimer  [fr; de] ^[2] demostró posteriormente esta conjetura. ^{[3] : 159  [4] : 44} La desigualdad se aplica a espacios de probabilidad con una estructura de producto , como en problemas de percolación . ^{[5] : 829}

Declaración

Sean espacios de probabilidad , cada uno de ellos con un número finito de elementos. La desigualdad se aplica a espacios de la forma , dotados de la medida del producto , de modo que a cada elemento se le da la probabilidad ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{n}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \Omega }$ $${\displaystyle \mathbb {P} (\{x\})=\mathbb {P} _{1}(\{x_{1}\})\cdots \mathbb {P} _{n}(\{x_{n}\}).}$$

Para dos eventos , su ocurrencia disjunta se define como el evento que consiste en configuraciones cuyas pertenencias en y en pueden verificarse en subconjuntos disjuntos de índices. Formalmente, si existen subconjuntos tales que: ${\displaystyle A,B\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle I,J\subseteq [n]}$

1. ${\displaystyle I\cap J=\varnothing ,}$
2. porque todo lo que está de acuerdo con en (en otras palabras, ), también está en y ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}\ \forall i\in I}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A,}$
3. De la misma manera, todo lo que está de acuerdo con está en ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle B.}$

La desigualdad afirma que: para cada par de eventos y ^{[3] : 160} $${\displaystyle \mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)\leq \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Ejemplos

Lanzamientos de monedas

Si corresponde a lanzar una moneda al aire varias veces, entonces cada uno consta de los dos resultados posibles, cara o cruz, con igual probabilidad. Consideremos el evento de que existan 3 caras consecutivas, y el evento de que haya al menos 5 caras en total. Entonces sería el siguiente evento: hay 3 caras consecutivas, y descartando esas quedan otras 5 caras. Este evento tiene probabilidad como máximo ^{[4] : 42,} es decir, la probabilidad de obtener en 10 lanzamientos, y obtener en otros 10 lanzamientos, independientemente uno del otro. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n=10}$ ${\displaystyle \Omega _{i}=\{H,T\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Numéricamente, ^{[6] [7]} y su ocurrencia disjunta implicarían al menos 8 caras, por lo que ^[8] ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=520/1024\approx 0.5078,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B)=638/1024\approx 0.6230,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)\leq \mathbb {P} ({\text{8 heads or more}})=56/1024\approx 0.0547.}$

Filtración

En la percolación de enlace (de Bernoulli) de un grafo , los s se indexan por aristas. Cada arista se mantiene (o se "abre") con cierta probabilidad o se elimina (o se "cierra") de otra manera, independientemente de otras aristas, y se estudian cuestiones sobre la conectividad del grafo restante, por ejemplo, el evento de que exista un camino entre dos vértices y se usen solo aristas abiertas. Para eventos de esta forma, la ocurrencia disjunta es el evento donde existen dos caminos abiertos que no comparten ninguna arista (correspondientes a los subconjuntos y en la definición), de modo que el primero proporciona la conexión requerida por y el segundo para ^{[9] : 1322  [10]} ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle u\leftrightarrow v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B.}$

La desigualdad se puede utilizar para demostrar una versión del fenómeno de decaimiento exponencial en el régimen subcrítico , es decir, que en el gráfico reticular de números enteros para una probabilidad crítica adecuadamente definida , el radio del componente conexo que contiene el origen obedece a una distribución con colas exponencialmente pequeñas: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d},}$ ${\displaystyle p<p_{\mathrm {c} }}$

$${\displaystyle \mathbb {P} (0\leftrightarrow \partial [-r,r]^{d})\leq \exp(-cr)}$$para alguna constante que depende de Aquí consta de vértices que satisfacen ^{[11] : 87–90  [12] : 202} ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \partial [-r,r]^{d}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \max _{1\leq i\leq d}|x_{i}|=r.}$

Extensiones

Eventos múltiples

Cuando hay tres o más eventos, el operador puede no ser asociativo , porque dado un subconjunto de índices en los que se puede verificar, puede que no sea posible dividir una unión disjunta tal que testigos y testigos . ^{[4] : 43} Por ejemplo, existe un evento tal que ^{[13] : 447} ${\displaystyle \square }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x\in A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I\sqcup J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle A\subseteq \{0,1\}^{6}}$ ${\displaystyle \left((A\mathbin {\square } A)\mathbin {\square } A\right)\mathbin {\square } A\neq (A\mathbin {\square } A)\mathbin {\square } (A\mathbin {\square } A).}$

No obstante, se puede definir la operación -aria BKR de eventos como el conjunto de configuraciones donde hay subconjuntos disjuntos de índices por pares tales que atestigua la pertenencia de en Esta operación satisface: de donde por el uso repetido de la desigualdad BK original. ^{[14] : 204–205} Esta desigualdad fue un factor utilizado para analizar las estadísticas de ganadores de la Lotería de Florida e identificar a los individuos a los que Mathematics Magazine se refirió como "inverosímilmente afortunados" ^{[14] : 210} , confirmados más tarde por una investigación de cumplimiento ^[15] de que se trataba de violaciones de la ley. ^{[14] : 210} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{i}\subseteq [n]}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{i}.}$ $${\displaystyle A_{1}\mathbin {\square } A_{2}\mathbin {\square } A_{3}\mathbin {\square } \cdots \mathbin {\square } A_{k}\subseteq \left(\cdots \left((A_{1}\mathbin {\square } A_{2})\mathbin {\square } A_{3}\right)\mathbin {\square } \cdots \right)\mathbin {\square } A_{k},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\mathbin {\square } A_{2}\mathbin {\square } A_{3}\mathbin {\square } \cdots \mathbin {\square } A_{k})&\leq \mathbb {P} \left(\left(\cdots \left((A_{1}\mathbin {\square } A_{2})\mathbin {\square } A_{3}\right)\mathbin {\square } \cdots \right)\mathbin {\square } A_{k}\right)\\&\leq \mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2})\cdots \mathbb {P} (A_{k})\end{aligned}}}$$

Espacios de mayor cardinalidad

Cuando se permite que sea infinito, surgen problemas de teoría de la medida. Para y la medida de Lebesgue , hay subconjuntos medibles tales que es no medible (por lo que en la desigualdad no está definida), ^{[13] : 437} pero el siguiente teorema sigue siendo válido: ^{[13] : 440} ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle \Omega =[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle A,B\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle A\mathbin {\square } B}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mathbin {\square } B)}$

Si los valores de Lebesgue son medibles, entonces existe algún conjunto de Borel tal que: ${\displaystyle A,B\subseteq [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle C}$

• ${\displaystyle A\mathbin {\square } B\subseteq C,}$y
• ${\displaystyle \mathbb {P} (C)\leq \mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B).}$

Referencias

1. van den Berg, J.; Kesten, H. (1985). "Desigualdades con aplicaciones a la percolación y la fiabilidad". Journal of Applied Probability . 22 (3): 556–569. doi :10.1017/s0021900200029326. ISSN  0021-9002. MR  0799280 – vía The Wikipedia Library .
2. Reimer, David (2000). "Prueba de la conjetura de Van den Berg–Kesten". Combinatoria, probabilidad y computación . 9 (1): 27–32. doi :10.1017/S0963548399004113. ISSN  0963-5483. MR  1751301. S2CID  33118560 – vía The Wikipedia Library.
3. Borgs, Christian; Chayes, Jennifer T.; Randall, Dana (1999). "La desigualdad de van den Berg-Kesten-Reimer: una revisión". En Bramson, Maury; Durrett, Rick (eds.). Problemas desconcertantes en probabilidad: Festschrift en honor a Harry Kesten . Progreso en probabilidad. Boston, MA: Birkhäuser. págs. 159–173. doi :10.1007/978-1-4612-2168-5_9. ISBN 978-1-4612-2168-5. MR  1703130 – vía La Biblioteca Wikipedia.
4. Bollobás, Béla ; Riordan, Oliver (2006). "2 - Herramientas probabilísticas". Percolación. Cambridge University Press . págs. 36–49. doi :10.1017/CBO9781139167383.003. ISBN 9780521872324. MR  2283880 – vía La Biblioteca Wikipedia.
5. Grimmett, Geoffrey R. ; Lawler, Gregory F. (2020). "Harry Kesten (1931–2019): Un tributo personal y científico". Avisos de la AMS . 67 (6): 822–831. doi : 10.1090/noti2100 . S2CID  210164713. La novedosa desigualdad BK (van den Berg/Kesten) desempeña un papel clave en los sistemas sujetos a una medida de producto como la percolación.
6. "3 caras consecutivas en 10 lanzamientos de moneda". Sitio web de Wolfram Alpha .
7. "Al menos 5 caras en 10 lanzamientos de moneda". Sitio Wolfram Alpha .
8. "Al menos 8 caras en 10 lanzamientos de moneda". Sitio Wolfram Alpha .
9. Grimmett, Geoffrey (1995-03-01). "Comparación y desigualdades de ocurrencia disjunta para modelos de conglomerados aleatorios". Journal of Statistical Physics . 78 (5): 1311–1324. Bibcode :1995JSP....78.1311G. doi :10.1007/BF02180133. ISSN  1572-9613. MR  1316106. S2CID  16426885 . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .
10. Chayes, Jennifer Tour; Puha, Amber L.; Sweet, Ted (1999). "Conferencia 1. Los fundamentos de la percolación (en Percolación independiente y dependiente)" (PDF) . Teoría de la probabilidad y aplicaciones . IAS/Park City Math. Ser. Vol. 6. Amer. Math. Soc., Providence, RI. págs. 53–66. MR  1678308 . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .
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