Sistema no holonómico

Tipo de problema de optimización

Un sistema no holonómico en física y matemáticas es un sistema físico cuyo estado depende del camino tomado para alcanzarlo. Un sistema de este tipo se describe mediante un conjunto de parámetros sujetos a restricciones diferenciales y restricciones no lineales, de modo que cuando el sistema evoluciona a lo largo de un camino en su espacio de parámetros (los parámetros varían continuamente en valores) pero finalmente regresa al conjunto original de valores de parámetros al comienzo del camino, el sistema en sí puede no haber regresado a su estado original. La mecánica no holonómica es una división autónoma de la mecánica newtoniana . ^[1]

Detalles

Más precisamente, un sistema no holonómico, también llamado sistema anholonómico , es aquel en el que existe un circuito cerrado continuo de los parámetros gobernantes, por el cual el sistema puede transformarse de cualquier estado dado a cualquier otro estado. ^[2] Debido a que el estado final del sistema depende de los valores intermedios de su trayectoria a través del espacio de parámetros, el sistema no puede representarse mediante una función potencial conservativa como puede, por ejemplo, la ley del cuadrado inverso de la fuerza gravitacional. Este último es un ejemplo de un sistema holonómico: las integrales de trayectoria en el sistema dependen solo de los estados inicial y final del sistema (posiciones en el potencial), completamente independientes de la trayectoria de transición entre esos estados. Por lo tanto, se dice que el sistema es integrable , mientras que el sistema no holonómico se dice que es no integrable . Cuando se calcula una integral de trayectoria en un sistema no holonómico, el valor representa una desviación dentro de un rango de valores admisibles y se dice que esta desviación es una anholonomía producida por la trayectoria específica en consideración. Este término fue introducido por Heinrich Hertz en 1894. ^[3]

El carácter general de los sistemas anholonómicos es el de parámetros implícitamente dependientes. Si la dependencia implícita puede eliminarse, por ejemplo elevando la dimensión del espacio, añadiendo así al menos un parámetro adicional, el sistema no es verdaderamente no holonómico, sino que simplemente está modelado de forma incompleta por el espacio de menor dimensión. Por el contrario, si el sistema intrínsecamente no puede representarse mediante coordenadas independientes (parámetros), entonces es verdaderamente un sistema anholonómico. Algunos autores ^{[ cita requerida ]} hacen mucho hincapié en esto creando una distinción entre los llamados estados internos y externos del sistema, pero en verdad, todos los parámetros son necesarios para caracterizar el sistema, ya sean representativos de procesos "internos" o "externos", por lo que la distinción es de hecho artificial. Sin embargo, existe una diferencia muy real e irreconciliable entre los sistemas físicos que obedecen a principios de conservación y los que no. En el caso del transporte paralelo en una esfera, la distinción es clara: una variedad de Riemann tiene una métrica fundamentalmente distinta de la de un espacio euclidiano . En el caso del transporte paralelo sobre una esfera, la dependencia implícita es intrínseca a la métrica no euclidiana. La superficie de una esfera es un espacio bidimensional. Al aumentar la dimensión, podemos ver más claramente ^{[ aclaración necesaria ]} la naturaleza de la métrica, pero sigue siendo fundamentalmente un espacio bidimensional con parámetros entrelazados irremediablemente en dependencia por la métrica de Riemann .

Por el contrario, se puede considerar un trazador XY como un ejemplo de un sistema holonómico donde el estado de los componentes mecánicos del sistema tendrá una única configuración fija para cualquier posición dada de la pluma del trazador. Si la pluma se reubica entre las posiciones 0,0 y 3,3, los engranajes del mecanismo tendrán las mismas posiciones finales independientemente de si la reubicación ocurre porque el mecanismo primero incrementa 3 unidades en el eje x y luego 3 unidades en el eje y, incrementa primero la posición del eje Y u opera cualquier otra secuencia de cambios de posición que resulten en una posición final de 3,3. Dado que el estado final de la máquina es el mismo independientemente del camino tomado por la pluma del trazador para llegar a su nueva posición, se puede decir que el resultado final no depende de la trayectoria . Si sustituimos un trazador de tortuga , el proceso de mover la pluma de 0,0 a 3,3 puede resultar en que los engranajes del mecanismo del robot terminen en diferentes posiciones dependiendo de la trayectoria tomada para moverse entre las dos posiciones. Vea este ejemplo de grúa pórtico muy similar para obtener una explicación matemática de por qué dicho sistema es holonómico.

Historia

En 1871, NM Ferrers fue el primero en sugerir la extensión de las ecuaciones de movimiento con restricciones no holonómicas . ^[4] Introdujo las expresiones para velocidades cartesianas en términos de velocidades generalizadas. En 1877, E. Routh escribió las ecuaciones con los multiplicadores de Lagrange. En la tercera edición de su libro ^[5] para restricciones no holonómicas lineales de cuerpos rígidos, introdujo la forma con multiplicadores, que ahora se denomina ecuaciones de Lagrange de segundo tipo con multiplicadores. Los términos sistemas holonómicos y no holonómicos fueron introducidos por Heinrich Hertz en 1894. ^[6] En 1897, SA Chaplygin sugirió por primera vez formular las ecuaciones de movimiento sin multiplicadores de Lagrange. ^[7] Bajo ciertas restricciones lineales, introdujo en el lado izquierdo de las ecuaciones de movimiento un grupo de términos adicionales del tipo operador de Lagrange. Los términos adicionales restantes caracterizan la no holonómica del sistema y se vuelven cero cuando las restricciones dadas son integrables. En 1901 PVVoronets generalizó el trabajo de Chaplygin a los casos de coordenadas holonómicas no cíclicas y de restricciones no estacionarias. ^[8]

Restricciones

Consideremos un sistema de partículas con posiciones para con respecto a un marco de referencia dado. En mecánica clásica, cualquier restricción que no sea expresable como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3},\ldots ,t)=0,}$$

es una restricción no holonómica . En otras palabras, una restricción no holonómica no es integrable ^{[9] : 261} y en forma pfaffiana : $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k)}$$

• ${\displaystyle n}$es el número de coordenadas.
• ${\displaystyle k}$es el número de ecuaciones de restricción.
• ${\displaystyle q_{i}}$son coordenadas.
• ${\displaystyle a_{s,i}}$son coeficientes.

Para que la forma anterior no sea holonómica, también se requiere que el lado izquierdo no sea un diferencial total ni pueda convertirse en uno, tal vez a través de un factor de integración . ^{[10] : 2–3}

Sólo para desplazamientos virtuales , la forma diferencial de la restricción es ^{[9] : 282} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k).}$$

No es necesario que todas las restricciones no holonómicas adopten esta forma; de hecho, pueden implicar derivadas o desigualdades superiores. ^[11] Un ejemplo clásico de una restricción de desigualdad es el de una partícula colocada sobre la superficie de una esfera, pero a la que se le permite caer de ella: $${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0.}$$

• ${\displaystyle r}$es la distancia de la partícula desde el centro de la esfera.
• ${\displaystyle a}$es el radio de la esfera.

Ejemplos

Rueda rodante

Una rueda (a veces visualizada como un monociclo o una moneda rodante) es un sistema no holonómico.

Explicación para el profano

Consideremos la rueda de una bicicleta que está estacionada en un lugar determinado (en el suelo). Inicialmente, la válvula de inflado está en una posición determinada en la rueda. Si se conduce la bicicleta y luego se estaciona exactamente en el mismo lugar, es casi seguro que la válvula no estará en la misma posición que antes. Su nueva posición depende del camino tomado. Si la rueda fuera holonómica, entonces el vástago de la válvula siempre terminaría en la misma posición siempre que la rueda volviera a rodar al mismo lugar en la Tierra. Sin embargo, está claro que este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico.

Explicación matemática

Un individuo que conduce un monociclo motorizado. El espacio de configuración del monociclo y el radio de la rueda están marcados. Las líneas rojas y azules están en el suelo. ${\displaystyle r}$

Es posible modelar la rueda matemáticamente con un sistema de ecuaciones de restricción y luego demostrar que ese sistema no es holonómico.

En primer lugar, definimos el espacio de configuración. La rueda puede cambiar su estado de tres maneras: teniendo una rotación diferente sobre su eje, teniendo un ángulo de dirección diferente y estando en una ubicación diferente. Podemos decir que es la rotación sobre el eje, es el ángulo de dirección con respecto al eje y y definen la posición espacial. Por lo tanto, el espacio de configuración es: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Ahora debemos relacionar estas variables entre sí. Observamos que a medida que la rueda cambia su rotación, cambia su posición. El cambio en la rotación y la posición que implica velocidades debe estar presente, intentamos relacionar la velocidad angular y el ángulo de dirección con las velocidades lineales tomando derivadas temporales simples de los términos apropiados: La velocidad en la dirección es igual a la velocidad angular por el radio por el coseno del ángulo de dirección, y la velocidad es similar. Ahora hacemos una manipulación algebraica para transformar la ecuación a la forma pfaffiana para que sea posible probar si es holonómica, comenzando con: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$$

Luego, separamos las variables de sus coeficientes (lado izquierdo de la ecuación, derivado de lo anterior). También nos damos cuenta de que podemos multiplicar todos los términos por , por lo que terminamos con solo las diferenciales (lado derecho de la ecuación): El lado derecho de la ecuación ahora está en forma pfaffiana : ${\displaystyle {\text{d}}t}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}$$

Ahora utilizamos la prueba universal para restricciones holonómicas . Si este sistema fuera holonómico, tendríamos que hacer hasta ocho pruebas. Sin embargo, podemos usar la intuición matemática para hacer todo lo posible por demostrar que el sistema no es holonómico en la primera prueba. Considerando que la ecuación de prueba es: $${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$

Podemos ver que si alguno de los términos , , o fuera cero, esa parte de la ecuación de prueba sería fácil de resolver y sería igual a cero. Por lo tanto, a menudo es una buena práctica que la primera ecuación de prueba tenga tantos términos distintos de cero como sea posible para maximizar la probabilidad de que la suma de ellos no sea igual a cero. Por lo tanto, elegimos: ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\beta }}$ ${\displaystyle A_{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha }=1}$

${\displaystyle A_{\beta }=0}$

${\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }$

${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$

${\displaystyle u_{\beta }=d\theta }$

${\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }$

Sustituimos en nuestra ecuación de prueba: $${\displaystyle -r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0)\right)=0}$$

y simplificar: $${\displaystyle r\sin \theta =0}$$

Podemos ver fácilmente que este sistema, tal como se describe, no es holonómico, porque no siempre es igual a cero. ${\displaystyle \sin \theta }$

Conclusiones adicionales

Hemos completado nuestra prueba de que el sistema no es holonómico, pero nuestra ecuación de prueba nos dio algunas ideas sobre si el sistema, si se lo restringe aún más, podría ser holonómico. Muchas veces, las ecuaciones de prueba arrojarán un resultado como el de implicar que el sistema nunca podría ser restringido para que sea holonómico sin alterarlo radicalmente, pero en nuestro resultado podemos ver que puede ser igual a cero, de dos maneras diferentes: ${\displaystyle -1=0}$ ${\displaystyle r\sin \theta }$

• ${\displaystyle r}$, el radio de la rueda, puede ser cero. Esto no es útil ya que en la práctica el sistema perdería todos sus grados de libertad.
• ${\displaystyle \sin \theta }$Puede ser cero si se establece en cero. Esto implica que si no se permitiera que la rueda girara y tuviera que moverse solo en línea recta en todo momento, sería un sistema holonómico. ${\displaystyle \theta }$

Sin embargo, hay algo que todavía no hemos considerado: para encontrar todas esas modificaciones para un sistema, se deben realizar las ocho ecuaciones de prueba (cuatro de cada ecuación de restricción) y recopilar todos los fallos para reunir todos los requisitos para que el sistema sea holonómico, si es posible. En este sistema, de las siete ecuaciones de prueba adicionales, se presenta un caso adicional: Sin embargo, esto no plantea mucha dificultad, ya que al sumar las ecuaciones y dividir por se obtiene: que con una simple manipulación algebraica se convierte en: $${\displaystyle -r\cos \theta =0}$$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}$$ $${\displaystyle \tan \theta =1}$$

que tiene la solución (de ). ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$

Regresemos a la explicación para el profano que aparece arriba, donde se dice: "La nueva posición [del vástago de la válvula] depende del camino tomado. Si la rueda fuera holonómica, entonces el vástago de la válvula siempre terminaría en la misma posición siempre que la rueda siempre rodara de regreso a la misma ubicación en la Tierra. Claramente, sin embargo, este no es el caso, por lo que el sistema no es holonómico". Sin embargo, es fácil visualizar que si solo se permitiera que la rueda rodara en una línea perfectamente recta y de regreso, ¡el vástago de la válvula terminaría en la misma posición! De hecho, moverse en paralelo al ángulo dado no es realmente necesario en el mundo real ya que la orientación del sistema de coordenadas en sí es arbitraria. El sistema puede volverse holonómico si la rueda se mueve solo en línea recta en cualquier ángulo fijo con respecto a una referencia dada. Por lo tanto, no solo hemos demostrado que el sistema original no es holonómico, sino que también pudimos encontrar una restricción que se puede agregar al sistema para hacerlo holonómico. ${\displaystyle \pi /4}$

Sin embargo, hay algo matemáticamente especial en la restricción de para que el sistema sea holonómico, como en una cuadrícula cartesiana. Combinando las dos ecuaciones y eliminando , vemos de hecho que y por lo tanto una de esas dos coordenadas es completamente redundante. Ya sabemos que el ángulo de dirección es una constante, por lo que eso significa que el sistema holonómico aquí solo necesita tener un espacio de configuración de . Como se discutió aquí , un sistema que es modelable por una restricción Pfaffiana debe ser holonómico si el espacio de configuración consta de dos o menos variables. Al modificar nuestro sistema original para restringirlo a que tenga solo dos grados de libertad y, por lo tanto, requerir que se describan solo dos variables, y asumiendo que puede describirse en forma Pfaffiana (que en este ejemplo ya sabemos que es cierto), estamos seguros de que es holonómico. ${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

Esfera rodante

Este ejemplo es una extensión del problema de la «rueda rodante» considerado anteriormente.

Considere un marco de coordenadas cartesiano ortogonal tridimensional, por ejemplo, una mesa nivelada con un punto marcado en él como origen, y los ejes x e y trazados con líneas de lápiz. Tome una esfera de radio unitario, por ejemplo, una pelota de ping-pong, y marque un punto B en azul. Correspondiente a este punto es un diámetro de la esfera, y el plano ortogonal a este diámetro posicionado en el centro C de la esfera define un gran círculo llamado ecuador asociado con el punto B . En este ecuador, seleccione otro punto R y márquelo en rojo. Coloque la esfera en el plano z  = 0 de manera que el punto B coincida con el origen, C esté ubicado en x  = 0, y  = 0, z  = 1, y R esté ubicado en x  = 1, y  = 0 y z  = 1, es decir, R se extienda en la dirección del eje x positivo . Esta es la orientación inicial o de referencia de la esfera.

La esfera puede ahora rodar a lo largo de cualquier trayectoria cerrada continua en el plano z  = 0, no necesariamente una trayectoria simplemente conexa, de tal manera que no se deslice ni se tuerza, de modo que C regrese a x  = 0, y  = 0, z  = 1. En general, el punto B ya no coincide con el origen, y el punto R ya no se extiende a lo largo del eje x positivo . De hecho, mediante la selección de una trayectoria adecuada, la esfera puede reorientarse desde la orientación inicial a cualquier orientación posible de la esfera con C ubicada en x  = 0, y  = 0, z  = 1. ^[12] El sistema es, por lo tanto, no holonómico. La anholonomía puede representarse por el cuaternión doblemente único ( q y − q ) que, cuando se aplica a los puntos que representan la esfera, lleva los puntos B y R a sus nuevas posiciones.

Péndulo de Foucault

Un ejemplo adicional de un sistema no holonómico es el péndulo de Foucault . En el marco de coordenadas local, el péndulo oscila en un plano vertical con una orientación particular con respecto al norte geográfico al comienzo de la trayectoria. La trayectoria implícita del sistema es la línea de latitud de la Tierra donde se encuentra el péndulo. Aunque el péndulo está estacionario en el marco de coordenadas de la Tierra, se mueve en un marco de referencia referido al Sol y gira en sincronía con la velocidad de revolución de la Tierra, de modo que el único movimiento aparente del plano del péndulo es el causado por la rotación de la Tierra. Este último marco se considera un marco de referencia inercial, aunque también es no inercial en formas más sutiles. Se sabe bien que el marco de coordenadas de la Tierra no es inercial, un hecho que se hace perceptible por la presencia aparente de fuerzas centrífugas y fuerzas de Coriolis .

El movimiento a lo largo de la línea de latitud está parametrizado por el paso del tiempo, y el plano de oscilación del péndulo de Foucault parece rotar alrededor del eje vertical local a medida que pasa el tiempo. El ángulo de rotación de este plano en un tiempo t con respecto a la orientación inicial es la anholonomía del sistema. La anholonomía inducida por un circuito completo de latitud es proporcional al ángulo sólido subtendido por ese círculo de latitud. La trayectoria no necesita estar restringida a círculos de latitud. Por ejemplo, el péndulo podría estar montado en un avión. La anholonomía sigue siendo proporcional al ángulo sólido subtendido por la trayectoria, que ahora puede ser bastante irregular. El péndulo de Foucault es un ejemplo físico de transporte paralelo .

Luz polarizada lineal en una fibra óptica

Tome un trozo de fibra óptica de unos tres metros de longitud y colóquelo en línea recta. Cuando se introduce un haz polarizado verticalmente por un extremo, emerge por el otro extremo, todavía polarizado en dirección vertical. Marque la parte superior de la fibra con una raya que corresponda con la orientación de la polarización vertical.

Ahora, enrolle la fibra firmemente alrededor de un cilindro de diez centímetros de diámetro. La trayectoria de la fibra describe ahora una hélice que, al igual que el círculo, tiene una curvatura constante . La hélice también tiene la interesante propiedad de tener una torsión constante . Como tal, el resultado es una rotación gradual de la fibra sobre su eje a medida que la línea central de la fibra avanza a lo largo de la hélice. En consecuencia, la tira también se retuerce sobre el eje de la hélice.

Cuando se introduce de nuevo luz polarizada linealmente en un extremo, con la orientación de la polarización alineada con la franja, en general, surgirá como luz polarizada lineal alineada no con la franja, sino en un ángulo fijo con respecto a ella, que depende de la longitud de la fibra y del paso y el radio de la hélice. Este sistema también es no holonómico, ya que podemos enrollar fácilmente la fibra en una segunda hélice y alinear los extremos, de modo que la luz vuelva a su punto de origen. Por lo tanto, la anholonomía está representada por la desviación del ángulo de polarización con cada circuito de la fibra. Mediante un ajuste adecuado de los parámetros, está claro que se puede producir cualquier estado angular posible.

Robótica

En robótica , la no holonómica se ha estudiado particularmente en el ámbito de la planificación del movimiento y la linealización de la retroalimentación para robots móviles . ^[13]

Véase también

• Restricción holonómica
• Dinámica de bicicletas y motocicletas
• Problema del gato que se cae
• La cima de Goryachev y Chaplygin
• Problema de estacionamiento en paralelo
• Restricción de Pfaffian
• Ecuación de Udwadia-Kalaba
• Integrador de grupo Lie

Referencias

1. Soltakhanov Yushkov Zegzhda, Sh.Kh Mikhail S. (mayo de 2009). Mecánica de sistemas no holonómicos. Una nueva clase de sistemas de control. Vol. 43. Springer Berlin Heidelberg. págs. XXIII. ISBN 9783540858478.
2. Bryant, Robert L. (2006). "Geometría de variedades con holonomía especial: '100 años de holonomía'"". 150 años de matemáticas en la Universidad de Washington en St. Louis . Matemáticas contemporáneas. Vol. 395. Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 29–38. doi : 10.1090/conm/395/07414 . MR  2206889.
3. Berry, Michael (diciembre de 1990). "Anticipaciones de la fase geométrica". Physics Today . 43 (12): 34–40. Bibcode :1990PhT....43l..34B. doi :10.1063/1.881219.
4. Ferrers, NM (1872). "Extensión de las ecuaciones de Lagrange". QJ Pure Appl. Math . XII : 1–5.
5. Routh, E. (1884). Parte avanzada de un Tratado sobre la dinámica de un sistema de cuerpos rígidos. Londres.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Hertz, H. (1894). es decir, Prinzipien derMechanik in neuem Zusammenhange dargestellt .
7. Chaplygin, SA (1897). "О движении тяжелого тела вращения по горизонтальнойплоскости" [Movimiento de un cuerpo pesado de revolución en un plano horizontal]. антpопологии и этногpафии (en ruso). 1 (IX). отделения физических наук общества любителей естествознания: 10–16.
8. Voronets, P. (1901). "Об уравнениях движения для неголономных систем" [Ecuaciones de movimiento de sistemas no holonómicos]. Matema. Сб. (en ruso). 4 (22): 659–686.
9. Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
10. Jack Sarfatti (26 de marzo de 2000). "Restricciones no holonómicas en la mecánica newtoniana" (PDF) . Revisión pedagógica de los clásicos de la física . stardrive.org. Archivado desde el original (PDF) el 20 de octubre de 2007. Consultado el 22 de septiembre de 2007 .
11. Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (3.ª ed.). Estados Unidos de América: Addison Wesley. pág. 16. ISBN 0-201-65702-3.
12. La no holonomía de la esfera rodante, Brody Dylan Johnson, The American Mathematical Monthly, junio-julio de 2007, vol. 114, págs. 500-508.
13. Planificación y control del movimiento del robot , Jean-Paul Laumond (Ed.), 1998, Notas de clase en control y ciencias de la información, Volumen 229, Springer, doi : 10.1007/BFb0036069.