Julius Wilhelm Richard Dedekind ( en alemán: [ˈdeːdəˌkɪnt] ; 6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916) fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones a la teoría de números , al álgebra abstracta (en particular , a la teoría de anillos ) y a los fundamentos axiomáticos de la aritmética . Su contribución más conocida es la definición de los números reales a través de la noción de corte de Dedekind . También se le considera pionero en el desarrollo de la teoría de conjuntos moderna y de la filosofía de las matemáticas conocida como logicismo .
El padre de Dedekind fue Julius Levin Ulrich Dedekind, un administrador del Collegium Carolinum en Braunschweig . Su madre fue Caroline Henriette Dedekind (née Emperius), hija de un profesor del Collegium. [1] Richard Dedekind tenía tres hermanos mayores. De adulto, nunca usó el nombre de Julius Wilhelm. Nació en Braunschweig (a menudo llamado "Brunswick" en inglés), que es donde vivió la mayor parte de su vida y murió. Su cuerpo descansa en el Cementerio Principal de Braunschweig .
En 1848 asistió por primera vez al Collegium Carolinum antes de trasladarse a la Universidad de Göttingen en 1850. Allí, Dedekind recibió clases de teoría de números del profesor Moritz Stern . Gauss seguía enseñando, aunque sobre todo a nivel elemental, y Dedekind se convirtió en su último alumno. Dedekind recibió su doctorado en 1852, por una tesis titulada Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Sobre la teoría de las integrales eulerianas "). Esta tesis no mostró el talento evidente en las publicaciones posteriores de Dedekind.
En aquella época, la Universidad de Berlín , no la de Gotinga , era el principal centro de investigación matemática en Alemania. Por ello, Dedekind fue a Berlín para estudiar durante dos años, donde fue contemporáneo de Bernhard Riemann ; a ambos se les concedió la habilitación en 1854. Dedekind regresó a Gotinga para enseñar como Privatdozent , dando cursos sobre probabilidad y geometría . Estudió durante un tiempo con Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y se hicieron buenos amigos. Debido a las debilidades persistentes en su conocimiento matemático, estudió funciones elípticas y abelianas . Sin embargo, también fue el primero en Gotinga en dar una conferencia sobre la teoría de Galois . En esa época, se convirtió en una de las primeras personas en comprender la importancia de la noción de grupos para el álgebra y la aritmética .
En 1858 empezó a dar clases en la Escuela Politécnica de Zúrich (hoy ETH Zürich). Cuando el Collegium Carolinum pasó a ser una Technische Hochschule (Instituto de Tecnología) en 1862, Dedekind regresó a su natal Braunschweig, donde pasó el resto de su vida enseñando en el Instituto. Se jubiló en 1894, pero impartió clases ocasionalmente y continuó publicando. Nunca se casó y vivió con su hermana Julia.
Dedekind fue elegido miembro de las Academias de Berlín (1880) y Roma, y de la Academia Francesa de Ciencias (1900). Recibió doctorados honorarios de las universidades de Oslo , Zúrich y Braunschweig .
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Mientras enseñaba cálculo por primera vez en la escuela politécnica , Dedekind desarrolló la noción que ahora se conoce como corte de Dedekind (en alemán: Schnitt ), que ahora es una definición estándar de los números reales. La idea de un corte es que un número irracional divide a los números racionales en dos clases ( conjuntos ), con todos los números de una clase (mayor) siendo estrictamente mayores que todos los números de la otra clase (menor). Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 define todos los números no negativos cuyos cuadrados son menores que 2 y los números negativos en la clase menor, y los números positivos cuyos cuadrados son mayores que 2 en la clase mayor. Cada ubicación en el continuo de la línea numérica contiene un número racional o irracional. Por lo tanto, no hay ubicaciones vacías, huecos o discontinuidades. Dedekind publicó sus pensamientos sobre los números irracionales y los cortes de Dedekind en su panfleto "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Continuidad y números irracionales"); [2] en terminología moderna, Vollständigkeit , integridad .
Dedekind definió dos conjuntos como "similares" cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos. [3] Invocó la semejanza para dar la primera [4] definición precisa de un conjunto infinito : un conjunto es infinito cuando es "similar a una parte propia de sí mismo", [5] en terminología moderna, es equinumeroso a uno de sus subconjuntos propios . Así, se puede demostrar que el conjunto N de números naturales es similar al subconjunto de N cuyos miembros son los cuadrados de cada miembro de N , ( N → N 2 ):
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
↓ Número 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...El trabajo de Dedekind en esta área anticipó el de Georg Cantor , considerado comúnmente el fundador de la teoría de conjuntos . Asimismo, sus contribuciones a los fundamentos de las matemáticas anticiparon trabajos posteriores de los principales defensores del logicismo , como Gottlob Frege y Bertrand Russell .
Dedekind editó las obras completas de Lejeune Dirichlet , Gauss y Riemann . El estudio que realizó Dedekind de la obra de Lejeune Dirichlet lo llevó a su posterior estudio de los cuerpos numéricos algebraicos y los ideales . En 1863, publicó las conferencias de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Conferencias sobre teoría de números") sobre las que se ha escrito que:
Aunque el libro está seguramente basado en las conferencias de Dirichlet, y aunque el propio Dedekind se refirió al libro durante toda su vida como de Dirichlet, el libro en sí fue escrito íntegramente por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet.
—Edwards , 1983
Las ediciones de 1879 y 1894 de las Vorlesungen incluyeron suplementos que introducían la noción de ideal, fundamental para la teoría de anillos . (La palabra "Anillo", introducida más tarde por Hilbert , no aparece en la obra de Dedekind). Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto por números enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros . El concepto experimentó un mayor desarrollo en manos de Hilbert y, especialmente, de Emmy Noether . Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer , ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el Último teorema de Fermat . (Por lo tanto, se puede decir que Dedekind fue el discípulo más importante de Kummer). En un artículo de 1882, Dedekind y Heinrich Martin Weber aplicaron ideales a superficies de Riemann , dando una prueba algebraica del teorema de Riemann-Roch .
En 1888 publicó una breve monografía titulada Was sind und was sollen die Zahlen? ("¿Qué son los números y para qué sirven?" Ewald 1996: 790), [6] que incluía su definición de conjunto infinito . También propuso una base axiomática para los números naturales, cuyas nociones primitivas eran el número uno y la función sucesora . Al año siguiente, Giuseppe Peano , citando a Dedekind, formuló un conjunto equivalente pero más simple de axiomas , ahora los estándar.
Dedekind hizo otras contribuciones al álgebra . Por ejemplo, alrededor de 1900, escribió los primeros artículos sobre redes modulares . En 1872, mientras estaba de vacaciones en Interlaken , Dedekind conoció a Georg Cantor . Así comenzó una relación duradera de respeto mutuo, y Dedekind se convirtió en uno de los primeros matemáticos en admirar el trabajo de Cantor sobre los conjuntos infinitos, demostrando ser un valioso aliado en las disputas de Cantor con Leopold Kronecker , quien se oponía filosóficamente a los números transfinitos de Cantor . [7]
Literatura primaria en inglés:
Literatura primaria en alemán:
Existe una bibliografía en línea de la literatura secundaria sobre Dedekind. Consulta también la "Introducción" a Dedekind de Stillwell (1996).
