Coordenadas de Plücker

Método de asignación de coordenadas a cada línea en el espacio proyectivo tridimensional

En geometría , las coordenadas de Plücker , introducidas por Julius Plücker en el siglo XIX, son una forma de asignar seis coordenadas homogéneas a cada línea en el espacio tridimensional proyectivo . Debido a que satisfacen una restricción cuadrática, establecen una correspondencia biunívoca entre el espacio tetradimensional de líneas en y los puntos en una cuádrica en (espacio quintuple proyectivo). Las coordenadas de Plücker, predecesoras y casos especiales de las coordenadas de Grassmann (que describen subespacios lineales k -dimensionales, o planos , en un espacio euclidiano n -dimensional ), surgen naturalmente en el álgebra geométrica . Han demostrado ser útiles para los gráficos por computadora y también se pueden extender a las coordenadas de los tornillos y las llaves en la teoría de la cinemática utilizada para el control de robots . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$

Intuición geométrica

Desplazamiento y momento de dos puntos sobre una recta

Una línea L en el espacio euclidiano tridimensional está determinada por dos puntos distintos que contiene, o por dos planos distintos que la contienen. Consideremos el primer caso, con puntos y El vector desplazamiento de x a y es distinto de cero porque los puntos son distintos, y representa la dirección de la línea. Es decir, cada desplazamiento entre puntos en L es un múltiplo escalar de d = y – x . Si una partícula física de masa unitaria se moviera de x a y , tendría un momento respecto al origen. El equivalente geométrico de este momento es un vector cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a L y al origen, y cuya longitud es igual al doble del área del triángulo formado por el desplazamiento y el origen. Tratando los puntos como desplazamientos desde el origen, el momento es m = x × y , donde "×" denota el producto vectorial . Para una línea fija, L , el área del triángulo es proporcional a la longitud del segmento entre x e y , considerado como la base del triángulo; no cambia al deslizar la base a lo largo de la línea, paralela a sí misma. Por definición, el vector de momento es perpendicular a cada desplazamiento a lo largo de la línea, por lo que d ⋅ m = 0 , donde "⋅" denota el producto escalar del vector . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3}).}$

Aunque ni d ni m por sí solos son suficientes para determinar L , juntos lo hacen de manera única, hasta un múltiplo escalar común (distinto de cero) que depende de la distancia entre x e y . Es decir, las coordenadas

${\displaystyle (\mathbf {d} :\mathbf {m} )=(d_{1}:d_{2}:d_{3}\ :\ m_{1}:m_{2}:m_{3})}$

pueden considerarse coordenadas homogéneas para L , en el sentido de que todos los pares (λ d  : λ m ) , para λ ≠ 0 , pueden ser producidos por puntos en L y solo L , y cualquier par de este tipo determina una línea única siempre que d no sea cero y d ⋅ m = 0 . Además, este enfoque se extiende para incluir puntos , líneas y un plano "en el infinito" , en el sentido de la geometría proyectiva . Además, un punto se encuentra en la línea L si y solo si . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\times d=m}$

Ejemplo. Sea x = (2, 3, 7) e y = (2, 1, 0) . Entonces ( d  : m ) = (0 : −2 : −7 : −7 : 14 : −4) .

Alternativamente, sean las ecuaciones para los puntos x de dos planos distintos que contienen a L

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ,\\0&=b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} .\end{aligned}}}$

Entonces sus respectivos planos son perpendiculares a los vectores a y b , y la dirección de L debe ser perpendicular a ambos. Por lo tanto, podemos establecer d = a × b , que es distinto de cero porque a , b no son cero ni paralelos (los planos son distintos y se intersecan). Si el punto x satisface ambas ecuaciones planas, entonces también satisface la combinación lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=a(b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} )-b(a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )\\&=(a\mathbf {b} -b\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} \end{aligned}}}$

Eso es,

${\displaystyle \mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a} }$

es un vector perpendicular a los desplazamientos hacia puntos sobre L desde el origen; es, de hecho, un momento consistente con el d previamente definido a partir de a y b .

Prueba 1 : Es necesario demostrar que

${\displaystyle \mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a} =\mathbf {r} \times \mathbf {d} =\mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$^{¿Qué es " r "?}

Sin pérdida de generalidad , sea

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =1.}$

Plano ortogonal a la recta L y que incluye el origen.

El punto B es el origen. La línea L pasa por el punto D y es ortogonal al plano de la imagen. Los dos planos pasan por CD y DE y ambos son ortogonales al plano de la imagen. Los puntos C y E son los puntos más cercanos en esos planos al origen B , por lo tanto, los ángulos ∠ BCD y ∠ BED son ángulos rectos y, por lo tanto, los puntos B, C, D, E se encuentran en un círculo (debido a un corolario del teorema de Thales ). BD es el diámetro de ese círculo.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {a} :={\frac {BE}{||BE||}},\quad \mathbf {b} :={\frac {BC}{||BC||}},\quad \mathbf {r} :=BD;\\[4pt]&-\!a=||BE||=||BF||,\quad -b=||BC||=||BG||;\\[4pt]&\mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a} =FG\\[4pt]&||\mathbf {d} ||=||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||=\sin \angle FBG\end{aligned}}}$

El ángulo ∠ BHF es un ángulo recto debido al siguiente argumento. Sea ε := ∠ BEC . Como △ BEC ≅ △ BFG (por congruencia lado-ángulo-lado), entonces ∠ BFG = ε . Como ∠ BEC + ∠ CED = 90° , sea ε' := 90° – ε = ∠ CED . Por el teorema del ángulo inscrito , ∠ DEC = ∠ DBC , entonces ∠ DBC = ε' . ∠ HBF + ∠ BFH + ∠ FHB = 180° ; ε' + ε + ∠ FHB = 180° , ε + ε' = 90° ; por lo tanto, ∠ FHB = 90° . Entonces ∠ DHF también debe ser un ángulo recto.

Los ángulos ∠ DCF , ∠ DHF son ángulos rectos, por lo que los cuatro puntos C, D, H, F se encuentran en un círculo y (por el teorema de las secantes intersecantes )

${\displaystyle ||BF||\,||BC||=||BH||\,||BD||}$

eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}&ab\sin \angle FBG=||BH||\,||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG,\\[4pt]&2\,{\text{Area}}_{\triangle BFG}=ab\sin \angle FBG=||BH||\,||FG||=||BH||\,||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG,\\[4pt]&||\mathbf {m} ||=||FG||=||\mathbf {r} ||\sin \angle FBG=||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {d} ||,\\[4pt]&\mathbf {m} =\mathbf {r} \times \mathbf {d} .\blacksquare \end{aligned}}}$

Prueba 2 :

Dejar

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =1.}$

Esto implica que

${\displaystyle a=-||BE||,\quad b=-||BC||.}$

Según la fórmula del triple producto vectorial ,

${\displaystyle \mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} .}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&=\mathbf {a} \,||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {b} ||\cos \angle DBC-\mathbf {b} \,||\mathbf {r} ||\,||\mathbf {a} ||\cos \angle DBE\\[4pt]&=\mathbf {a} \,||\mathbf {r} ||\cos \angle DBC-\mathbf {b} \,||\mathbf {r} ||\cos \angle DBE\\[4pt]&=\mathbf {a} \,||BC||-\mathbf {b} \,||BE||\\[4pt]&=-b\mathbf {a} -(-a)\mathbf {b} \\[4pt]&=a\mathbf {b} -b\mathbf {a} \ \ \blacksquare \end{aligned}}}$

Cuando la recta L pasa por el origen con dirección d . Si la recta tiene dirección d ; el plano que incluye el origen y la recta L tiene vector normal m ; la recta es tangente a un círculo en ese plano (normal a m y perpendicular al plano de la figura) centrado en el origen y con radio ${\displaystyle ||\mathbf {r} ||=0,}$ ${\displaystyle ||\mathbf {r} ||>0,}$ ${\displaystyle ||\mathbf {r} ||.}$

Ejemplo. Sea a ₀ = 2 , a = (−1, 0, 0) y b ₀ = −7 , b = (0, 7, −2) . Entonces ( d  : m ) = (0 : −2 : −7 : −7 : 14 : −4) .

Aunque la definición algebraica habitual tiende a oscurecer la relación, ( d  : m ) son las coordenadas de Plücker de L .

Definición algebraica

Coordenadas primarias

En un espacio proyectivo tridimensional , ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ sea L una línea que pasa por puntos distintos x e y con coordenadas homogéneas ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) y ( y ₀  : y ₁  : y ₂  : y ₃ ) .

Las coordenadas de Plücker p _ij se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle p_{ij}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}.}$

(la matriz antisimétrica cuyos elementos son p _ij también se llama matriz de Plücker )
Esto implica p _ii = 0 y p _ij = − p _ji , lo que reduce las posibilidades a solo seis (4 elige 2) cantidades independientes.

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})}$

está determinada de forma única por L hasta un factor de escala común distinto de cero. Además, no todos los seis componentes pueden ser cero. Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de L pueden considerarse como coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de cinco dimensiones, como lo sugiere la notación de dos puntos.

Para ver estos hechos, sea M la matriz 4×2 con las coordenadas de los puntos como columnas.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}}$

La coordenada de Plücker p _ij es el determinante de las filas i y j de M . Como x e y son puntos distintos, las columnas de M son linealmente independientes ; M tiene rango 2. Sea M′ una segunda matriz, con columnas x′ , y′ un par diferente de puntos distintos en L . Entonces las columnas de M′ son combinaciones lineales de las columnas de M ; por lo tanto, para alguna matriz no singular 2×2 Λ ,

${\displaystyle M'=M\Lambda .}$

En particular, las filas i y j de M′ y M están relacionadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, el determinante de la matriz 2×2 del lado izquierdo es igual al producto de los determinantes de las matrices 2×2 del lado derecho, siendo este último un escalar fijo, det Λ . Además, los seis subdeterminantes 2×2 de M no pueden ser cero porque el rango de M es 2.

Mapa de Plücker

Denotemos el conjunto de todas las rectas (imágenes lineales de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ) en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ por G _1,3 . Tenemos entonces una función:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbb {P} ^{5}\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).}$

Coordenadas duales

Alternativamente, una línea puede describirse como la intersección de dos planos. Sea L una línea contenida en planos distintos a y b con coeficientes homogéneos ( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ ) y ( b ⁰  : b ¹  : b ²  : b ³ ) , respectivamente. (La primera ecuación del plano es, por ejemplo). La coordenada dual de Plücker p ^ij es ${\textstyle \sum _{k}a^{k}x_{k}=0,}$

${\displaystyle p^{ij}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}.}$

Las coordenadas duales son convenientes en algunos cálculos y son equivalentes a las coordenadas primarias:

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})}$

Aquí, la igualdad entre los dos vectores en coordenadas homogéneas significa que los números del lado derecho son iguales a los números del lado izquierdo hasta un factor de escala común λ . Específicamente, sea ( i , j , k , ℓ ) una permutación par de (0, 1, 2, 3) ; entonces

${\displaystyle p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.}$

Geometría

Para volver a la intuición geométrica, tome x ₀ = 0 como el plano en el infinito; por lo tanto, las coordenadas de los puntos que no están en el infinito se pueden normalizar de modo que x ₀ = 1. Entonces M se convierte en

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},}$

y estableciendo y , tenemos y . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3})}$ ${\displaystyle d=(p_{01},p_{02},p_{03})}$ ${\displaystyle m=(p_{23},p_{31},p_{12})}$

Dualmente, tenemos y ${\displaystyle d=(p^{23},p^{31},p^{12})}$ ${\displaystyle m=(p^{01},p^{02},p^{03}).}$

Biyección entre rectas y cuádrica de Klein

Ecuaciones planas

Si el punto se encuentra en L , entonces las columnas de ${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{0}:z_{1}:z_{2}:z_{3})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}}$

son linealmente dependientes , de modo que el rango de esta matriz más grande sigue siendo 2. Esto implica que todas las submatrices 3×3 tienen determinante cero, lo que genera cuatro (4 elige 3) ecuaciones planas, como

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned}}}$

Los cuatro planos posibles obtenidos son los siguientes.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}}$

Usando coordenadas duales, y dejando ( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ ) como los coeficientes de línea, cada uno de estos es simplemente a ⁱ = p ^ij , o

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots ,3.}$

Cada coordenada de Plücker aparece en dos de las cuatro ecuaciones, multiplicando cada vez una variable diferente; y como al menos una de las coordenadas no es cero, se nos garantizan ecuaciones no vacías para dos planos distintos que se intersecan en L. Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de una línea determinan esa línea de manera única, y la función α es una inyección .

Relación cuadrática

La imagen de α no es el conjunto completo de puntos en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ ; las coordenadas de Plücker de una línea L satisfacen la relación de Plücker cuadrática

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}}$

Para demostrarlo, escriba este polinomio homogéneo como determinantes y utilice la expansión de Laplace (a la inversa).

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

Dado que ambos determinantes 3×3 tienen columnas duplicadas, el lado derecho es idénticamente cero.

Otra prueba puede hacerse así: Dado que el vector

${\displaystyle d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)}$

es perpendicular al vector

${\displaystyle m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)}$

(ver arriba), el producto escalar de d y m debe ser cero. qed

Ecuaciones de puntos

Si ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) son las coordenadas de los puntos, cuatro puntos posibles en una línea tienen cada uno coordenadas x _i = p _ij , para j = 0, 1, 2, 3 . Algunos de estos puntos posibles pueden ser inadmisibles porque todas las coordenadas son cero, pero como al menos una coordenada de Plücker es distinta de cero, se garantizan al menos dos puntos distintos.

Biyectividad

Si son las coordenadas homogéneas de un punto en ⁠ ⁠ , sin pérdida de generalidad supongamos que q ₀₁ es distinto de cero. Entonces la matriz ${\displaystyle (q_{01}:q_{02}:q_{03}:q_{23}:q_{31}:q_{12})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02}\\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}}$

tiene rango 2, por lo que sus columnas son puntos distintos que definen una línea L . Cuando las coordenadas ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ , q _ij , satisfacen la relación cuadrática de Plücker , son las coordenadas de Plücker de L . Para ver esto, primero normalizamos q ₀₁ a 1. Luego tenemos inmediatamente que para las coordenadas de Plücker calculadas a partir de M , p _ij = q _ij, excepto por

${\displaystyle p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.}$

Pero si los q _ij satisfacen la relación de Plücker

${\displaystyle q_{23}+q_{02}q_{31}+q_{03}q_{12}=0,}$

entonces p ₂₃ = q ₂₃ , completando el conjunto de identidades.

En consecuencia, α es una sobreyección sobre la variedad algebraica que consiste en el conjunto de ceros del polinomio cuadrático

${\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.}$

Y como α también es una inyección, las líneas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ están entonces en correspondencia biyectiva con los puntos de esta cuádrica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ , llamada cuádrica de Plücker o cuádrica de Klein .

Usos

Las coordenadas de Plücker permiten soluciones concisas a problemas de geometría de líneas en el espacio tridimensional, especialmente aquellos que implican incidencia .

Cruce de línea a línea

Dos rectas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ son oblicuas o coplanares , y en el último caso son coincidentes o se intersecan en un único punto. Si p _ij y p′ _ij son las coordenadas de Plücker de dos rectas, entonces son coplanares precisamente cuando

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} '=0,}$

como lo muestra

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Cuando las líneas están oblicuas, el signo del resultado indica el sentido del cruce: positivo si un tornillo de derecha lleva L a L′ , en caso contrario, negativo.

La relación de Plücker cuadrática establece esencialmente que una línea es coplanar consigo misma.

Unión línea-línea

En el caso de que dos rectas sean coplanares pero no paralelas, su plano común tiene ecuación

${\displaystyle 0=(\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} ')x_{0}+(\mathbf {d} \times \mathbf {d} ')\cdot \mathbf {x} ,}$

dónde ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3}).}$

La más mínima perturbación destruirá la existencia de un plano común, y el paralelismo casi absoluto de las líneas causará dificultades numéricas a la hora de encontrar dicho plano incluso si existiera.

Encuentro línea a línea

Dualmente, dos líneas coplanares, ninguna de las cuales contiene el origen, tienen un punto común

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} ':\mathbf {m} \times \mathbf {m} ').}$

Para manejar líneas que no cumplen esta restricción, consulte las referencias.

Encuentro en línea de avión

Dado un plano con ecuación

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},}$

o más concisamente,

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ;}$

y dada una línea que no está en ella con coordenadas de Plücker ( d  : m ) , entonces su punto de intersección es

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} :\mathbf {a} \times \mathbf {m} -a_{0}\mathbf {d} ).}$

Las coordenadas del punto, ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) , también se pueden expresar en términos de coordenadas de Plücker como

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

Unión punto-línea

Dualmente, dado un punto ( y ₀  : y ) y una recta que no lo contiene, su plano común tiene ecuación

${\displaystyle 0=(\mathbf {y} \cdot \mathbf {m} )x_{0}+(\mathbf {y} \times \mathbf {d} -y_{0}\mathbf {m} )\cdot \mathbf {x} .}$

Las coordenadas del plano, ( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ ) , también se pueden expresar en términos de coordenadas de Plücker duales como

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

Familias de lineas

Como la cuádrica de Klein está en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ , contiene subespacios lineales de dimensiones uno y dos (pero no mayores). Estos corresponden a familias de líneas de uno y dos parámetros en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ .

Por ejemplo, supongamos que L, L′ son líneas distintas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ determinadas por los puntos x , y y x ′, y ′ , respectivamente. Las combinaciones lineales de sus puntos determinantes dan combinaciones lineales de sus coordenadas de Plücker, generando una familia de líneas de un parámetro que contiene a L y L ′ . Esto corresponde a un subespacio lineal unidimensional perteneciente a la cuádrica de Klein.

Líneas en el plano

Si tres rectas distintas y no paralelas son coplanares, sus combinaciones lineales generan una familia de rectas de dos parámetros, todas ellas en el plano. Esto corresponde a un subespacio lineal bidimensional perteneciente a la cuádrica de Klein.

Líneas que pasan por el punto

Si tres rectas distintas y no coplanares se cortan en un punto, sus combinaciones lineales generan una familia de rectas de dos parámetros, todas las que pasan por el punto. Esto también corresponde a un subespacio lineal bidimensional perteneciente a la cuádrica de Klein.

Superficie reglada

Una superficie reglada es una familia de líneas que no es necesariamente lineal. Corresponde a una curva en la cuádrica de Klein. Por ejemplo, un hiperboloide de una hoja es una superficie cuádrica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ regida por dos familias diferentes de líneas, una línea de cada una de las cuales pasa por cada punto de la superficie; cada familia corresponde, según la función de Plücker, a una sección cónica dentro de la cuádrica de Klein en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ .

Geometría de línea

Durante el siglo XIX se estudió intensamente la geometría de líneas . En términos de la biyección dada anteriormente, ésta es una descripción de la geometría intrínseca de la cuádrica de Klein.

Trazado de rayos

La geometría de línea se utiliza ampliamente en aplicaciones de trazado de rayos donde la geometría y las intersecciones de los rayos deben calcularse en 3D. Se describe una implementación en Introducción a las coordenadas de Plücker escrita para el foro de trazado de rayos por Thouis Jones.

Véase también

• Plano proyectivo plano
• Matriz de Plücker

Referencias

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• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Coordenadas de Plücker", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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