Matriz de Plücker

Matriz antisimétrica de 4 × 4 que caracteriza una línea recta en el espacio proyectivo

La matriz de Plücker es una matriz especial antisimétrica de 4 × 4 que caracteriza una línea recta en el espacio proyectivo . La matriz está definida por 6 coordenadas de Plücker con 4 grados de libertad . Recibe su nombre en honor al matemático alemán Julius Plücker .

Definición

Una recta en el espacio está definida por dos puntos distintos y en coordenadas homogéneas del espacio proyectivo . Su matriz de Plücker es: ${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$ ${\displaystyle B=\left(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)}$

Donde la matriz antisimétrica está definida por las 6 coordenadas de Plücker ${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle \mathbf {L} \propto (L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23})^{\top }}$

con

${\displaystyle L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}.}$

Las coordenadas de Plücker cumplen las relaciones de Grassmann-Plücker

${\displaystyle L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0}$

y se definen a escala. Una matriz de Plücker tiene solo rango  2 y cuatro grados de libertad (al igual que las líneas en ). Son independientes de una elección particular de los puntos y y pueden verse como una generalización de la ecuación de línea, es decir, del producto vectorial tanto para la intersección (encuentro) de dos líneas como para la línea de unión de dos puntos en el plano proyectivo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Propiedades

La matriz de Plücker nos permite expresar las siguientes operaciones geométricas como producto matriz-vector:

• El plano contiene la línea: ${\displaystyle \mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$
• ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$es el punto de intersección de la línea y el plano ('Meet') ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$
• El punto se encuentra en la línea: ${\displaystyle \mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }$
• ${\displaystyle \mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X} }$es el plano común , que contiene tanto el punto como la línea ('Unir'). ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$
• Dirección de una recta: (Nota: Esta última puede interpretarse como un plano ortogonal a la recta que pasa por el origen de coordenadas) ${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=\left(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0\right)^{\top }}$
• Punto más cercano al origen ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.}$

Unicidad

Dos puntos arbitrarios distintos en la línea se pueden escribir como una combinación lineal de y : ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta {\text{ and }}\mathbf {B} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta .}$

Su matriz de Plücker es así:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}\mathbf {L} ^{\prime }{]}_{\times }&=\mathbf {A} ^{\prime }\mathbf {B} ^{\prime }-\mathbf {B} ^{\prime }\mathbf {A} ^{\prime }\\[6pt]&=(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )^{\top }-(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )^{\top }\\[6pt]&=\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} _{\lambda }[\mathbf {L} ]_{\times },\end{aligned}}}$

hasta escala idéntica a . ${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }}$

Intersección con un plano

El encuentro de un plano y una línea en un espacio tridimensional proyectivo expresado mediante la multiplicación con la matriz de Plücker

Sea el plano con la ecuación ${\displaystyle \mathbf {E} =\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

${\displaystyle E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.}$

que no contiene la recta . Entonces, el producto matriz-vector con la matriz de Plücker describe un punto ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,}$

que se encuentra en la línea porque es una combinación lineal de y . también está contenido en el plano ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,}$

y por tanto deben ser su punto de intersección.

Además, el producto de la matriz de Plücker por un plano es el vector cero, exactamente si la recta está contenida enteramente en el plano: ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \alpha =\beta =0\iff \mathbf {E} }$contiene ${\displaystyle \mathbf {L} .}$

Matriz de Plücker doble

La unión de un punto y una línea en el espacio tridimensional proyectivo, expresada mediante la multiplicación con la matriz de Plücker

En el espacio tridimensional proyectivo, tanto los puntos como los planos tienen la misma representación como 4-vectores y la descripción algebraica de su relación geométrica (el punto se encuentra en el plano) es simétrica. Al intercambiar los términos plano y punto en un teorema, se obtiene un teorema dual que también es verdadero.

En el caso de la matriz de Plücker, existe una representación dual de la línea en el espacio como intersección de dos planos:

${\displaystyle E=\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

y

${\displaystyle F=\left(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}}$

en coordenadas homogéneas del espacio proyectivo . Su matriz de Plücker es:

${\displaystyle \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }}$

y

${\displaystyle \mathbf {G} =\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} }$

describe el plano que contiene tanto el punto como la línea . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Relación entre matrices de Plücker primarias y duales

Como el vector , con un plano arbitrario , es el vector cero o un punto en la línea, se deduce: ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle \forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .}$

De este modo:

${\displaystyle \left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.}$

El siguiente producto cumple estas propiedades:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{array}{cccc}0&L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}&0&L_{03}&-L_{02}\\L_{13}&-L_{03}&0&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&-L_{01}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)\\[10pt]={}&\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

debido a la relación de Grassmann-Plücker . Con la unicidad de las matrices de Plücker hasta múltiplos escalares, para las coordenadas primarias de Plücker

${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{13},\,L_{23}\right)^{\top }}$

Obtenemos las siguientes coordenadas duales de Plücker:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {L} }}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }.}$

En el plano proyectivo

Dualidad de operaciones de unión y encuentro en dos espacios.

La 'unión' de dos puntos en el plano proyectivo es la operación de conectar dos puntos con una línea recta. Su ecuación lineal se puede calcular utilizando el producto vectorial :

${\displaystyle \mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).}$

De manera dual, se puede expresar el encuentro o intersección de dos líneas rectas mediante el producto vectorial:

${\displaystyle \mathbf {x} \propto \mathbf {l} \times \mathbf {m} }$

La relación con las matrices de Plücker se hace evidente si se escribe el producto vectorial como un producto matriz-vector con una matriz antisimétrica:

${\displaystyle [\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&l_{2}&-l_{1}\\-l_{2}&0&l_{0}\\l_{1}&-l_{0}&0\end{array}}\right)}$

y análogamente ${\displaystyle [\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }}$

Interpretación geométrica

Sea y , entonces podemos escribir ${\displaystyle \mathbf {d} =\left(-L_{03},\,-L_{13},\,-L_{23}\right)^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {m} =\left(L_{12},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }}$

${\displaystyle [\mathbf {L} ]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[\mathbf {m} ]_{\times }&\mathbf {d} \\-\mathbf {d} &0\end{array}}\right)}$

y

${\displaystyle [{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[-\mathbf {d} ]_{\times }&\mathbf {m} \\-\mathbf {m} &0\end{array}}\right),}$^{[ cita requerida ]}

donde es el desplazamiento y es el momento de la recta, compare la intuición geométrica de las coordenadas de Plücker . ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$

Referencias

• Richter-Gebert, Jürgen (2011). Perspectivas sobre geometría proyectiva: un recorrido guiado por la geometría proyectiva real y compleja . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
• Jorge Stolfi (1991). Geometría proyectiva orientada: un marco para cálculos geométricos . Academic Press . ISBN 978-1483247045.
  De la tesis doctoral original de la Universidad de Stanford de 1988, Primitivas para geometría computacional , disponible como [1].
• Blinn, James F. (agosto de 1977). "Una formulación homogénea para líneas en el espacio tridimensional". ACM SIGGRAPH Computer Graphics . 11 (2): 237–241. doi :10.1145/965141.563900. ISSN  0097-8930.