En geometría y topología , la línea en el infinito es una línea proyectiva que se agrega al plano real (afín) para dar cierre y eliminar los casos excepcionales de las propiedades de incidencia del plano proyectivo resultante . La línea en el infinito también se denomina línea ideal . [1]
En geometría proyectiva, cualquier par de rectas siempre se interseca en algún punto, pero las rectas paralelas no se intersecan en el plano real. La recta en el infinito se añade al plano real. Esto completa el plano, porque ahora las rectas paralelas se intersecan en un punto que se encuentra en la recta en el infinito. Además, si cualquier par de rectas no se intersecan en un punto de la recta, entonces el par de rectas son paralelas.
Toda recta interseca a la recta del infinito en algún punto. El punto en el que se intersecan las rectas paralelas depende únicamente de la pendiente de las rectas, no de su intersección con el eje y .
En el plano afín, una línea se extiende en dos direcciones opuestas. En el plano proyectivo, las dos direcciones opuestas de una línea se encuentran en un punto de la línea en el infinito. Por lo tanto, las líneas en el plano proyectivo son curvas cerradas , es decir, son cíclicas en lugar de lineales. Esto es cierto para la línea en el infinito en sí; se encuentra a sí misma en sus dos puntos finales (que, por lo tanto, en realidad no son puntos finales en absoluto) y, por lo tanto, es realmente cíclica.
La línea en el infinito se puede visualizar como un círculo que rodea el plano afín. Sin embargo, los puntos diametralmente opuestos del círculo son equivalentes: son el mismo punto. La combinación del plano afín y la línea en el infinito hace que el plano proyectivo real sea , .
Una hipérbola puede verse como una curva cerrada que corta la línea en el infinito en dos puntos diferentes. Estos dos puntos están especificados por las pendientes de las dos asíntotas de la hipérbola. Del mismo modo, una parábola puede verse como una curva cerrada que corta la línea en el infinito en un solo punto. Este punto está especificado por la pendiente del eje de la parábola. Si la parábola se corta por su vértice en un par de "cuernos" simétricos, entonces estos dos cuernos se vuelven más paralelos entre sí a medida que se alejan del vértice, y en realidad son paralelos al eje y entre sí en el infinito, de modo que se cortan en la línea en el infinito.
El análogo del plano proyectivo complejo es una 'línea' en el infinito que es (naturalmente) una línea proyectiva compleja . Topológicamente esto es bastante diferente, ya que es una esfera de Riemann , que es por lo tanto una 2- esfera , que se agrega a un espacio afín complejo de dos dimensiones sobre C (por lo tanto, cuatro dimensiones reales ), lo que da como resultado una variedad compacta de cuatro dimensiones . El resultado es orientable , mientras que el plano proyectivo real no lo es.
La línea compleja en el infinito fue muy utilizada en la geometría del siglo XIX. De hecho, uno de los trucos más aplicados era considerar un círculo como una cónica obligada a pasar por dos puntos en el infinito, las soluciones de
Esta ecuación es la forma que adopta la de cualquier círculo cuando eliminamos términos de orden inferior en X e Y. Más formalmente, deberíamos utilizar coordenadas homogéneas.
y tenga en cuenta que la línea en el infinito se especifica estableciendo
Hacer que las ecuaciones sean homogéneas introduciendo potencias de Z y luego estableciendo Z = 0, elimina con precisión los términos de orden inferior.
Resolviendo la ecuación, por lo tanto, encontramos que todos los círculos "pasan por" los puntos circulares en el infinito.
Por supuesto, estos son puntos complejos para cualquier conjunto representativo de coordenadas homogéneas. Sin embargo, dado que el plano proyectivo tiene un grupo de simetría suficientemente grande , no son especiales en absoluto. La conclusión es que la familia de círculos de tres parámetros puede tratarse como un caso especial del sistema lineal de cónicas que pasa por dos puntos distintos dados P y Q.
