Coordenadas nacidas

Coordenadas para capturar características de sistemas de referencia giratorios.

Geometría espacio-temporal de coordenadas de Born. Las líneas rojas ( | ) son líneas mundiales (congruencia) de puntos en el disco (con r = z = ϕ = const). El entrelazado de franjas azules y grises muestra el cambio de t (franjas de simultaneidad). Las curvas naranjas ( / \ ) son curvas similares a la luz (geodésicas nulas) con r fija .

En física relativista , el gráfico de coordenadas de Born es un gráfico de coordenadas para (parte del) espaciotiempo de Minkowski , el espaciotiempo plano de la relatividad especial . A menudo se utiliza para analizar la experiencia física de observadores que viajan sobre un anillo o disco que gira rígidamente a velocidades relativistas , los llamados observadores de Langevin . Este gráfico se atribuye a menudo a Max Born , debido a su trabajo de 1909 sobre la física relativista de un cuerpo en rotación. Para obtener una descripción general de la aplicación de aceleraciones en el espacio-tiempo plano, consulte Aceleración (relatividad especial) y marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano) .

A partir de la experiencia con escenarios inerciales (es decir, mediciones en marcos inerciales), los observadores de Langevin sincronizan sus relojes mediante la convención estándar de Einstein o mediante sincronización lenta del reloj , respectivamente (ambas sincronizaciones internas). Para cierto observador de Langevin, este método funciona perfectamente. En sus inmediaciones los relojes están sincronizados y la luz se propaga isotrópicamente en el espacio. Pero la experiencia cuando los observadores intentan sincronizar sus relojes a lo largo de una trayectoria cerrada en el espacio es desconcertante: siempre hay al menos dos relojes vecinos que tienen horas diferentes. Para remediar la situación, los observadores acuerdan un procedimiento de sincronización externa (tiempo de coordenadas t , o para los observadores que viajan en anillo, un tiempo de coordenadas adecuado para un radio fijo r ). Según este acuerdo, los observadores de Langevin que viajen sobre un disco que gira rígidamente concluirán, a partir de mediciones de pequeñas distancias entre ellos, que la geometría del disco no es euclidiana. Independientemente del método que utilicen, concluirán que la geometría se aproxima bien mediante una determinada métrica de Riemann , a saber, la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz. Esto, a su vez, se aproxima muy bien mediante la geometría del plano hiperbólico (con las curvaturas negativas −3 ω ² y −3 ω ²  r ² respectivamente). Pero si estos observadores miden distancias mayores, obtendrán resultados diferentes , dependiendo del método de medición que utilicen. En todos estos casos, sin embargo, lo más probable es que obtengan resultados que sean inconsistentes con cualquier métrica riemanniana . En particular, si utilizan la noción más simple de distancia, la distancia del radar, debido a diversos efectos como la asimetría ya señalada, concluirán que la "geometría" del disco no sólo es no euclidiana, sino también no riemanniana.

El disco giratorio no es una paradoja . Cualquiera que sea el método que utilicen los observadores para analizar la situación: al final se encuentran analizando un disco giratorio y no un sistema inercial.

Observadores de Langevin en la carta cilíndrica

Para motivar la carta de Born, primero consideramos la familia de observadores de Langevin representados en una carta de coordenadas cilíndrica ordinaria para el espacio-tiempo de Minkowski. Las líneas mundiales de estos observadores forman una congruencia temporal que es rígida en el sentido de tener un tensor de expansión evanescente. Representan observadores que giran rígidamente alrededor de un eje de simetría cilíndrica.

Fig. 1: Parte de la línea mundial helicoidal de un observador típico de Langevin (curva roja), representada en el gráfico cilíndrico, con algunos conos de luz futuros apuntando (dorados) con los vectores de marco asignados por el marco de Langevin (barras negras). En esta figura, la coordenada Z no es esencial y ha sido suprimida. El cilindro blanco muestra un lugar geométrico de radio constante; la línea verde discontinua representa el eje de simetría R=0. La curva azul es una curva integral del vector unitario azimutal . ${\displaystyle {\vec {p}}_{3}}$

Del elemento de línea

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} Z^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\,\mathrm {d} \Phi ^{2},\;\;\\&-\infty <T,\,Z<\infty ,\;0<R<\infty ,\;-\pi <\Phi <\pi \end{aligned}}}$

podemos leer inmediatamente un campo de marco que representa los marcos de Lorentz locales de observadores estacionarios (inerciales)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{T},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{R},\;\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }}$

Aquí hay un campo vectorial unitario de tipo temporal , mientras que los demás son campos vectoriales unitarios de tipo espacial ; en cada evento, los cuatro son mutuamente ortogonales y determinan el marco de Lorentz infinitesimal del observador estático cuya línea mundial pasa por ese evento. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Simultáneamente impulsando estos campos de marco en la dirección, obtenemos el campo de marco deseado que describe la experiencia física de los observadores de Langevin, es decir ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\partial _{\Phi }}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{R}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}}$

Al parecer, este marco fue introducido por primera vez (implícitamente) por Paul Langevin en 1935; Su primer uso explícito parece haber sido por TA Weber, ¡en 1997! Se define en la región 0 < R < 1/ω; esta limitación es fundamental, ya que cerca del límite exterior, la velocidad de los observadores de Langevin se acerca a la velocidad de la luz.

Fig. 2: Esta figura muestra las líneas mundiales de un observador fiduciario de Langevin (curva roja) y sus vecinos más cercanos (curvas discontinuas de color azul marino). Muestra un cuarto de órbita del observador fiduciario alrededor del eje de simetría (línea verde vertical).

Cada curva integral del campo vectorial unitario temporal aparece en el gráfico cilíndrico como una hélice con radio constante (como la curva roja en la Fig. 1). Supongamos que elegimos un observador de Langevin y consideramos a los otros observadores que viajan sobre un anillo de radio R que gira rígidamente con velocidad angular ω. Luego, si tomamos una curva integral (curva helicoidal azul en la Fig. 1) del vector base espacial , obtenemos una curva que esperamos pueda ser interpretada como una "línea de simultaneidad" para los observadores que viajan en el anillo. Pero como vemos en la figura 1, los relojes ideales que llevan estos observadores montados en anillos no se pueden sincronizar . Este es nuestro primer indicio de que no es tan fácil como cabría esperar definir una noción satisfactoria de geometría espacial incluso para un anillo giratorio , ¡y mucho menos para un disco giratorio! ${\displaystyle {\vec {p}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{3}}$

Calculando la descomposición cinemática de la congruencia de Langevin, encontramos que el vector de aceleración es

${\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,R}{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{2}}$

Esto apunta radialmente hacia adentro y depende sólo del radio (constante) de cada línea mundial helicoidal. El tensor de expansión desaparece de manera idéntica, lo que significa que los observadores de Langevin cercanos mantienen una distancia constante entre sí. El vector de vorticidad es

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}}$

que es paralelo al eje de simetría. Esto significa que las líneas mundiales de los vecinos más cercanos de cada observador de Langevin están girando alrededor de su propia línea mundial , como sugiere la Fig. 2. Se trata de una especie de noción local de "remolino" o vorticidad.

Por el contrario, tenga en cuenta que proyectar las hélices sobre cualquiera de los hipercortes espaciales ortogonales a las líneas mundiales de los observadores estáticos da un círculo, que por supuesto es una curva cerrada. Aún mejor, el vector base de coordenadas es un campo vectorial Killing espacial cuyas curvas integrales son curvas espaciales cerradas (círculos, de hecho), que además degeneran en curvas cerradas de longitud cero en el eje R = 0. Esto expresa el hecho de que nuestro espacio-tiempo exhibe simetría cilíndrica , y también exhibe una especie de noción global de la rotación de nuestros observadores de Langevin. ${\displaystyle T=T_{0}}$ ${\displaystyle \partial _{\Phi }}$

En la Fig. 2, la curva magenta muestra cómo giran los vectores espaciales (lo cual se suprime en la figura ya que la coordenada Z no es esencial). Es decir, los vectores no son transportados por Fermi-Walker a lo largo de la línea mundial, por lo que el marco de Langevin gira además de ser no inercial . En otras palabras, en nuestra derivación sencilla del marco de Langevin, mantuvimos el marco alineado con el vector base de coordenadas radiales . Introduciendo una rotación constante del marco que lleva cada observador de Langevin alrededor de , podríamos, si quisiéramos, "desgirar" nuestro marco para obtener una versión giroestabilizada. ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}}$ ${\displaystyle \partial _{R}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{1}}$

Transformándose al gráfico Born

Fig. 3: Un intento de definir una noción de "espacio a la vez" para nuestros observadores de Langevin, representado en la carta de Born. ¡Este intento está condenado al fracaso por al menos dos razones! Esta figura representa la región 0 < r < 1 cuando ω = 1/5, con una discontinuidad en ϕ = π. El rayo radial a partir del cual hemos "crecido" las curvas integrales para formar la superficie está en ϕ = 0 (en el lado opuesto de esta imagen).

Para obtener la carta de Born , enderezamos las líneas helicoidales del mundo de los observadores de Langevin usando la simple transformación de coordenadas.

${\displaystyle t=T,\;\;z=Z,\;\;r=R,\;\;\phi =\Phi -\omega \,T}$

El nuevo elemento de línea es

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-\omega ^{2}r^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\omega r^{2}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2},}$

${\displaystyle -\infty <t,\,z<\infty ,0<r<{\frac {1}{\omega }},\;-\pi <\phi <\pi }$

Observe los "términos cruzados" que involucran a , que muestran que el gráfico de Born no es un gráfico de coordenadas ortogonales . Las coordenadas de Born también se denominan a veces coordenadas cilíndricas giratorias . ${\displaystyle \mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }$

En el nuevo gráfico, las líneas mundiales de los observadores de Langevin aparecen como líneas rectas verticales. De hecho, podemos transformar fácilmente los cuatro campos vectoriales que componen el marco de Langevin en el nuevo gráfico. Obtenemos

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

Estos son exactamente los mismos campos vectoriales que antes: ¡ahora simplemente están representados en un gráfico de coordenadas diferente!

No hace falta decir que en el proceso de "desenrollar" las líneas mundiales de los observadores de Langevin, que aparecen como hélices en la carta cilíndrica, "desenrollamos" las líneas mundiales de los observadores estáticos, que ahora aparecen como hélices en la carta de Born. ! Tenga en cuenta también que, al igual que el marco de Langevin, el gráfico de Born sólo se define en la región 0 < r < 1/ω.

Si volvemos a calcular la descomposición cinemática de los observadores de Langevin, es decir, de la congruencia temporal , obtendremos por supuesto la misma respuesta que obtuvimos antes, sólo que expresada en términos del nuevo gráfico. Específicamente, el vector de aceleración es ${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}\,{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,r}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\vec {p}}_{2}}$

el tensor de expansión desaparece y el vector de vorticidad es

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}}$

El campo covector dual del campo vectorial unitario temporal en cualquier campo de cuadro representa hipercortes espaciales infinitesimales. Sin embargo, el teorema de integrabilidad de Frobenius ofrece una fuerte restricción sobre si estos elementos del hiperplano espacial pueden "entrelazarse" para formar una familia de hipersuperficies espaciales que son en todas partes ortogonales a las líneas mundiales de la congruencia. De hecho, resulta que esto es posible, en cuyo caso decimos que la congruencia es ortogonal de hipersuperficie , si y sólo si el vector de vorticidad desaparece de manera idéntica . Así, mientras que los observadores estáticos en la carta cilíndrica admiten una familia única de hipercortes ortogonales , los observadores de Langevin no admiten tales hipercortes . En particular, las superficies espaciales en la carta de Born son ortogonales a los observadores estáticos, no a los observadores de Langevin . Esta es nuestra segunda (y mucho más clara) indicación de que definir "la geometría espacial de un disco giratorio" no es tan simple como cabría esperar. ${\displaystyle T=T_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Para comprender mejor este punto crucial, considere las curvas integrales del tercer vector del marco de Langevin.

${\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}$

que pasan por el radio . (Por conveniencia, suprimiremos la coordenada z no esencial de nuestra discusión.) Estas curvas se encuentran en la superficie ${\displaystyle \phi =0,\,t=0}$

${\displaystyle \phi +\omega \,t-{\frac {t}{\omega \,r^{2}}}=0,\;\;-\pi <\phi <\pi }$

como se muestra en la Fig. 3. Nos gustaría considerar esto como un "espacio a la vez" para nuestros observadores de Langevin. Pero dos cosas salen mal.

Primero, el teorema de Frobenius nos dice que no son tangentes a ningún hipercorte espacial. De hecho, excepto en el radio inicial, los vectores no se encuentran en nuestro sector . Por lo tanto, si bien encontramos una hipersuperficie espacial, es ortogonal a las líneas del mundo de solo algunos de nuestros observadores de Langevin. Debido a que la obstrucción del teorema de Frobenius puede entenderse en términos de la falla de los campos vectoriales para formar un álgebra de Lie , esta obstrucción es diferencial, de hecho, teórica de Lie. Es decir, es una especie de obstrucción infinitesimal a la existencia de una noción satisfactoria de hipercortes espaciales para nuestros observadores en rotación. ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}}$

En segundo lugar, como muestra la Fig. 3, nuestro intento de hipercorte conduciría a una noción discontinua de "tiempo" debido a los "saltos" en las curvas integrales (que se muestran como una discontinuidad de cuadrícula de color azul). Alternativamente, podríamos intentar utilizar un tiempo multivalor. ¡Ninguna de estas alternativas parece muy atractiva! Esto es evidentemente una obstrucción global . Por supuesto, es una consecuencia de nuestra incapacidad para sincronizar los relojes de los observadores de Langevin que viajan incluso en un solo anillo (por ejemplo, el borde de un disco), y mucho menos en un disco completo .

El efecto Sagnac

Imaginemos que hemos fijado un cable de fibra óptica alrededor de la circunferencia de un anillo de radio que gira con velocidad angular constante ω. Deseamos calcular el tiempo de viaje de ida y vuelta, medido por un observador montado en un anillo, para un pulso láser enviado en sentido horario y antihorario alrededor del cable. Para simplificar, ignoraremos el hecho de que la luz viaja a través de un cable de fibra óptica a una velocidad algo menor que la de la luz en el vacío, y supondremos que la línea mundial de nuestro pulso láser es una curva nula (¡pero ciertamente no una geodésica nula ! ). ${\displaystyle r_{0}}$

En el elemento de la línea Born, pongamos . Esto da ${\displaystyle \mathrm {d} s=\mathrm {d} z=\mathrm {d} r=0}$

${\displaystyle (1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2})\,\mathrm {d} t^{2}=2\omega \,r_{0}^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +r_{0}^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}$

o

${\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}},\quad \mathrm {d} t_{-}=-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}}$

Obtenemos para el tiempo de viaje de ida y vuelta.

${\displaystyle \Delta t_{+}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1-\omega \,r_{0}}},\quad \Delta t_{-}=\int _{0}^{-2\pi }-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1+\omega \,r_{0}}}}$

Poniendo , encontramos (ω positivo significa rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, ω negativo significa rotación en el sentido de las agujas del reloj) de modo que los observadores que viajan en el anillo pueden determinar la velocidad angular del anillo (medida por un observador estático) a partir de la diferencia entre los viajes en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj. veces. Esto se conoce como efecto Sagnac . Es evidentemente un efecto global . ${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta t_{+}-\Delta t_{-}}{2\,\pi \,r_{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{+,-}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\delta ^{2}}}}{r_{0}\,\delta }}}$

Geodésicas nulas

Fig. 4: Dos trayectorias geodésicas radiales nulas (curva verde: hacia afuera, curva roja: hacia adentro) representadas en la carta de Born. También se muestra la trayectoria de un observador de Langevin L que orbita en el sentido contrario a las agujas del reloj con un radio R = R ₀ , es decir, montado en un anillo giratorio en el sentido contrario a las agujas del reloj (círculo azul marino). Parámetros: ω = +0,2, R ₀ =r ₀ =1

Deseamos comparar la apariencia de las geodésicas nulas en el gráfico cilíndrico y el gráfico de Born.

En el gráfico cilíndrico, las ecuaciones geodésicas leen

${\displaystyle {\ddot {T}}=0,\;\;{\ddot {Z}}=0,\;\;{\ddot {R}}-R\,{\dot {\Phi }}^{2}=0,\;\;{\ddot {\Phi }}+{\frac {2}{R}}\,{\dot {\Phi }}\,{\dot {R}}=0.}$

Obtenemos inmediatamente las primeras integrales.

${\displaystyle {\dot {T}}=E,\;\;{\dot {Z}}=P,\;\;{\dot {\Phi }}={\frac {L}{R^{2}}}.}$

Al conectarlos a la expresión obtenida del elemento de línea estableciendo , obtenemos ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0}$

${\displaystyle {\dot {R}}^{2}=E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R^{2}}}\geq 0}$

de lo cual vemos que el radio mínimo de una geodésica nula está dado por

${\displaystyle E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}=0\quad }$es decir, ${\displaystyle \quad R_{\mathrm {min} }={\frac {|L|}{\sqrt {E^{2}-P^{2}}}}}$

por eso

${\displaystyle {\dot {R}}^{2}=L^{2}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}-{\frac {1}{R^{2}}}\right).}$

Fig. 5: Geodésicas nulas representadas en el gráfico de Born entre observadores de Langevin que viajan en anillo ( r = r ₀ = 1). Las geodésicas nulas que se propagan con la rotación están dobladas hacia adentro (curva verde), las geodésicas nulas que se propagan en contra de la rotación están dobladas hacia afuera (curva roja). El tiempo adecuado de viaje de la luz de L ₁ a L ₂ Δ t ₁₂ es 1,311, de L ₂ a L ₁ Δ t ₂₁ es 1,510, los tiempos adecuados de viaje de la luz no son simétricos sino que la distancia del radar (Δ t ₁₂ + Δ t ₂₁ )/2 es. Para ω → 0, ambos tiempos de viaje de la luz adecuados tienden a √ 2 = 1,414. Las geodésicas nulas entre observadores de Langevin opuestos (L ₁ y L ₃ ) se curvan simétricamente alrededor del centro de rotación. Parámetros: ω = +0.1, R ₀ =r ₀ =1, Δ ϕ (L ₁ ,L ₂ )=π/2, Δ ϕ (L ₁ ,L ₃ )=π

Ahora podemos resolver para obtener las geodésicas nulas como curvas parametrizadas por un parámetro afín, de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+L^{2}/(E^{2}-P^{2})}}=\\&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+R_{\mathrm {min} }^{2}}},\\T&=T_{0}+E\,s,\\[1em]Z&=Z_{0}+P\,s,\\\Phi &=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {E^{2}-P^{2}}{L}}\,s\right)=\\&=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {\sqrt {E^{2}-P^{2}}}{R_{\mathrm {min} }\,\operatorname {sgn} {(L)}}}\,s\right).\end{aligned}}}$

Más útil para nuestros propósitos es la observación de que la trayectoria de una geodésica nula (su proyección en cualquier hipercorte espacial ) es, por supuesto, una línea recta, dada por ${\displaystyle T=T_{0}}$

${\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi -\Phi _{0}).}$

Para obtener el radio mínimo de la línea que pasa por dos puntos (en el mismo lado del punto de mayor aproximación al origen), resolvemos

${\displaystyle R_{1}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{1}-\Phi _{0}),\;\;R_{2}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{2}-\Phi _{0})}$

lo que da

${\displaystyle R_{\mathrm {min} }={\frac {R_{1}\,R_{2}\,|\sin(\Phi _{2}-\Phi _{1})|}{\sqrt {R_{1}^{2}-2\,R_{1}\,R_{2}\,\cos(\Phi _{2}-\Phi _{1})+R_{2}^{2}}}}.}$

Consideremos ahora el caso más simple, las geodésicas radiales nulas (R _min = L = 0, E = 1, P = 0). Una geodésica radial nula con destino al exterior se puede escribir en la forma

${\displaystyle T=s,\;Z=Z_{0},\;R=s,}$

${\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} =\omega \,R_{0}}$

con el radio R ₀ del anillo que monta el observador de Langevin (ver Fig. 4). Transformando a la carta de Born, encontramos que la trayectoria se puede escribir como

${\displaystyle r=r_{0}-{\frac {\phi }{\omega }}.}$

Las pistas aparecen ligeramente dobladas en el gráfico de Born (ver curva verde en la Fig. 4). En la sección Transformación al gráfico de Born vemos que en el gráfico de Born no podemos referirnos adecuadamente a estas "pistas" como "proyecciones", ya que para el observador de Langevin no existe un hipercorte ortogonal para t = t ₀ (ver Fig. 3). .

De manera similar, para geodésicas radiales nulas con destino hacia adentro, obtenemos

${\displaystyle r={\frac {\phi }{\omega }}}$

representado como curva roja en la Fig. 4.

Observe que para enviar un pulso láser hacia el observador estacionario S en R = 0, el observador de Langevin L tiene que apuntar ligeramente hacia atrás para corregir su propio movimiento. Dando la vuelta a las cosas, tal como esperaría un cazador de patos, para enviar un pulso láser hacia el observador de Langevin montado en un anillo giratorio en sentido antihorario, el observador central tiene que apuntar, no a la posición actual de este observador, sino a la posición a la que llegará. Justo a tiempo para interceptar la señal. Estas familias de geodésicas radiales nulas con destino hacia adentro y hacia afuera representan curvas muy diferentes en el espacio-tiempo y sus proyecciones no concuerdan para ω > 0.

Fig. 6: Un arco geodésico nulo, representado en la carta de Born, que modela una señal enviada de un observador a otro en el anillo. Las líneas mundiales de estos observadores se muestran como líneas verticales azules; el centro de simetría como una línea vertical verde. Observe que nuestra geodésica nula (arco ámbar) parece doblarse ligeramente hacia adentro (ver también la curva verde en la Fig. 5).

De manera similar, las geodésicas nulas entre observadores de Langevin que viajan en anillos aparecen ligeramente dobladas hacia adentro en el gráfico de Born, si las geodésicas se propagan con la dirección de la rotación (consulte la curva verde en la Fig. 5). Para ver esto, escriba la ecuación de una geodésica nula en el gráfico cilíndrico en la forma

${\displaystyle T=R_{\mathrm {min} }\,\tan(\Phi ),}$

${\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi ).}$

Transformando a coordenadas de Born, obtenemos las ecuaciones.

${\displaystyle t=r_{\mathrm {min} }\,\tan(\phi +\omega \,t),}$

${\displaystyle r=r_{\mathrm {min} }\,\sec(\phi +\omega \,t).}$

Eliminar ϕ da

${\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}}}$

lo que muestra que la geodésica realmente parece doblarse hacia adentro (ver Fig. 6). También encontramos que

${\displaystyle \phi =-\omega \,t+\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} }).}$

Para geodésicas nulas que se propagan en contra de la rotación (curva roja en la Fig. 5) obtenemos

${\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}},}$

${\displaystyle \phi =-\omega \,t-\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} })}$

y la geodésica se inclina ligeramente hacia afuera. Esto completa la descripción de la apariencia de las geodésicas nulas en la carta de Born, ya que cada geodésica nula es radial o tiene algún punto de máxima aproximación al eje de simetría cilíndrica.

Tenga en cuenta (ver Fig. 5) que un observador montado en un anillo que intenta enviar un pulso láser a otro observador montado en un anillo debe apuntar ligeramente por delante o por detrás de su coordenada angular como se indica en la carta de Born, para compensar el movimiento de rotación. del objetivo. Tenga en cuenta también que la imagen presentada aquí es totalmente compatible con nuestra expectativa (ver apariencia del cielo nocturno ) de que un observador en movimiento verá que la posición aparente de otros objetos en su esfera celeste se desplaza hacia la dirección de su movimiento.

Distancia de radar en el gran

Fig. 7: Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre un observador en anillo y un observador central estático (con la misma coordenada Z ).

Incluso en el espacio-tiempo plano, resulta que los observadores que aceleran (incluso los observadores que aceleran linealmente; véanse las coordenadas de Rindler ) pueden emplear varias nociones de distancia distintas pero operativamente significativas. Quizás la más sencilla de ellas sea la distancia por radar .

Considere cómo un observador estático en R=0 podría determinar su distancia a un observador montado en un anillo en R = R ₀ . En el evento C, envía un pulso de radar hacia el anillo, que incide en la línea mundial de un observador que viaja en el anillo en A ′ y luego regresa al observador central en el evento C ″. (Vea el diagrama de la derecha en la Fig. 7.) Luego divide el tiempo transcurrido (medido por un reloj ideal que lleva) por dos. No es difícil ver que obtiene para esta distancia simplemente R ₀ (en el gráfico cilíndrico), o r ₀ (en el gráfico de Born).

De manera similar, un observador que viaja en el anillo puede determinar su distancia al observador central enviando un pulso de radar, en el evento A, hacia el observador central, que golpea su línea mundial en el evento C ′ y regresa al observador que viaja en el anillo en el evento A ″ . (Ver el diagrama de la izquierda en la Fig. 7.) No es difícil ver que obtiene para esta distancia (en el gráfico cilíndrico) o (en el gráfico de Born), un resultado que es algo menor que el obtenido por el observador central. Esto es una consecuencia de la dilatación del tiempo: el tiempo transcurrido para un observador que viaja en anillo es menor en un factor que el tiempo para el observador central. Por lo tanto, si bien la distancia del radar tiene un significado operativo simple, ni siquiera es simétrica . ${\displaystyle R_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle r_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}}$

Fig. 8: Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre dos observadores de Langevin montados en un anillo con radio R ₀ que gira con velocidad angular ω . En el diagrama de la izquierda, el anillo gira en sentido antihorario; en el diagrama de la derecha, gira en el sentido de las agujas del reloj.

Para aclarar este punto crucial, compare las distancias de radar obtenidas por dos observadores montados en anillos con coordenadas radiales R = R ₀ . En el diagrama de la izquierda de la Fig. 8, podemos escribir las coordenadas del evento A como

${\displaystyle T=0,\;Z=0,\;X=R_{0},Y=0}$

y podemos escribir las coordenadas del evento B ′ como

${\displaystyle T=2\,R_{0}\,\sin \left({\frac {\Phi }{2}}\right),\;Z=0,}$

${\displaystyle X=R_{0}\cos(\Phi ),\;Y=R_{0}\sin(\Phi )}$

Escribiendo el tiempo propio transcurrido desconocido como , ahora escribimos las coordenadas del evento A ″ como ${\displaystyle \Delta s}$

${\displaystyle T={\frac {\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}},\;Z=0}$

${\displaystyle X=R_{0}\cos \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right),\;Y=R_{0}\sin \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right)}$

Al exigir que los segmentos de línea que conectan estos eventos sean nulos, obtenemos una ecuación que en principio podemos resolver para Δ s . Resulta que este procedimiento da una ecuación no lineal bastante complicada, por lo que simplemente presentamos algunos resultados numéricos representativos. Con R ₀ = 1, Φ = π/2 y ω = 1/10, encontramos que la distancia del radar de A a B es aproximadamente 1,311, mientras que la distancia de B a A es aproximadamente 1,510. Como ω tiende a cero, ambos resultados tienden a √ 2 = 1,414 (ver también Fig. 5).

A pesar de estas discrepancias posiblemente desalentadoras, no es en modo alguno imposible idear un mapa de coordenadas que se adapte para describir la experiencia física de un único observador de Langevin, o incluso de un único observador que acelere arbitrariamente en el espacio-tiempo de Minkowski. Pauri y Vallisneri han adaptado el procedimiento de sincronización del reloj de Märzke-Wheeler para diseñar coordenadas adaptadas que llaman coordenadas de Märzke-Wheeler (consulte el artículo citado a continuación). En el caso de un movimiento circular constante, este gráfico está, de hecho, muy estrechamente relacionado con la noción de distancia del radar "en general" desde un observador de Langevin determinado.

Distancia de radar en el pequeño

Como se mencionó anteriormente, por diversas razones la familia de observadores de Langevin no admite ninguna familia de hipercortes ortogonales. Por lo tanto, estos observadores simplemente no pueden asociarse con ninguna división del espacio-tiempo en una familia de "porciones de tiempo constante" sucesivas.

Sin embargo, debido a que la congruencia de Langevin es estacionaria , podemos imaginarnos reemplazando cada línea mundial en esta congruencia por un punto . Es decir, podemos considerar el espacio cociente del espaciotiempo de Minkowski (o más bien, la región 0 < R < 1/ ω ) por la congruencia de Langevin, que es una variedad topológica tridimensional . Aún mejor, podemos colocar una métrica de Riemann en esta variedad cociente, convirtiéndola en una variedad de Riemann tridimensional , de tal manera que la métrica tenga un significado operativo simple.

Para ver esto, considere el elemento de la línea Born.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1-\omega ^{2}\,r^{2})\,\mathrm {d} t^{2}+2\,\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2},}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi .}$

Estableciendo d s ² = 0 y resolviendo para d t obtenemos

${\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi +{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},}$

${\displaystyle \mathrm {d} t_{-}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi -{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}.}$

El tiempo adecuado transcurrido para una señal de radar de ida y vuelta emitida por un observador de Langevin es entonces

${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\frac {\mathrm {d} t_{+}-\mathrm {d} t_{-}}{2}}={\sqrt {\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}.}$

Por lo tanto, en nuestra variedad cociente, el elemento lineal de Riemann

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi }$

Corresponde a la distancia entre observadores de Langevin infinitamente cercanos . La llamaremos métrica de Langevin-Landau-Lifschitz , y podemos llamar a esta noción de distancia de radar "en lo pequeño" .

Esta métrica fue dada por primera vez por Langevin , pero la interpretación en términos de distancia de radar "en lo pequeño" se debe a Lev Landau y Evgeny Lifshitz , quienes generalizaron la construcción para que funcione para el cociente de cualquier variedad de Lorentz mediante una congruencia temporal estacionaria .

Si adoptamos el coframe

${\displaystyle \theta ^{\hat {1}}=\mathrm {d} z,\;\;\theta ^{\hat {2}}=\mathrm {d} r,\;\;\theta ^{\hat {3}}={\frac {r\,\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}$

Podemos calcular fácilmente el tensor de curvatura de Riemann de nuestra variedad de cociente tridimensional. Tiene sólo dos componentes independientes no triviales,

${\displaystyle {R^{\hat {2}}}_{{\hat {3}}{\hat {2}}{\hat {3}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{2}}}=-3\,\omega ^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{2}),}$

${\displaystyle {R^{\hat {3}}}_{{\hat {2}}{\hat {3}}{\hat {2}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}\,r^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{3}}}=-3\,\omega ^{2}\,r^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{4}).}$

Así, en cierto sentido, la geometría de un disco giratorio es curva , como afirmó Theodor Kaluza (sin pruebas) ya en 1910. De hecho, en segundo orden en ω tiene la geometría del plano hiperbólico, tal como afirmó Kaluza.

Advertencia: como hemos visto, hay muchas nociones posibles de distancia que pueden emplear los observadores de Langevin montados en un disco en rotación rígida, por lo que las afirmaciones que se refieren a "la geometría de un disco en rotación" siempre requieren una cuidadosa calificación.

Para aclarar este importante punto, usemos la métrica de Landau-Lifschitz para calcular la distancia entre un observador de Langevin montado en un anillo con radio R ₀ y un observador estático central. Para hacer esto, solo necesitamos integrar nuestro elemento de línea sobre la pista geodésica nula apropiada. De nuestro trabajo anterior, vemos que debemos conectar

${\displaystyle \mathrm {d} r={\frac {\mathrm {d} \phi }{\omega }},\,\mathrm {d} z=0}$

en nuestro elemento de línea e integrar

${\displaystyle \int _{0}^{\Delta }\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{r_{0}}{\left(1+{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{1-\omega ^{2}r^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} r.}$

Esto da

${\displaystyle \Delta =\int _{0}^{r_{0}}{\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}={\frac {\arcsin(\omega r_{0})}{\omega }}=r_{0}+{\frac {\omega ^{2}\,r_{0}^{3}}{6}}+O(r_{0}^{5}).}$

Debido a que ahora estamos tratando con una métrica de Riemann, esta noción de distancia es, por supuesto, simétrica al intercambiar los dos observadores, a diferencia de la distancia del radar "en general". Los valores dados por esta noción están en contradicción con las distancias de radar "en general" calculadas en la sección anterior. Además, como hasta el segundo orden la métrica de Landau-Lifschitz concuerda con la convención de sincronización de Einstein, vemos que el tensor de curvatura que acabamos de calcular tiene importancia operativa: mientras que la distancia de radar "en general" entre pares de observadores de Langevin ciertamente no es una Noción riemanniana de distancia , la distancia entre pares de observadores de Langevin cercanos sí corresponde a una distancia de Riemann, dada por la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz. (En la feliz frase de Howard Percy Robertson , esto es cinemática en Kleinen .)

Una manera de ver que todas las nociones razonables de distancia espacial para nuestros observadores de Langevin concuerdan para los observadores cercanos es mostrar, siguiendo a Nathan Rosen , que para cualquier observador de Langevin, un observador inercial en movimiento conjunto instantáneo también obtendrá las distancias dadas por el modelo de Langevin. -Métrica Landau-Lifschitz, para distancias muy pequeñas.

Ver también

• Paradoja de Ehrenfest , para un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando la tabla de Born.
• giroscopio de fibra óptica
• Coordenadas de Rindler , para otro útil gráfico de coordenadas adaptado a otra importante familia de observadores acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski ; Este artículo también enfatiza la existencia de nociones distintas de distancia que pueden ser empleadas por tales observadores.
• efecto sagnac

Referencias

Algunos artículos de interés histórico:

• Nacido, M. (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitäts-Prinzipes". Ana. Física . 30 (11): 1–56. Código bibliográfico : 1909AnP...335....1B. doi : 10.1002/andp.19093351102.
  • Traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad
• Ehrenfest, P. (1909). "Gleichförmige Rotation protagonizada por Körper und Relativitätstheorie". Física. Z.​ 10 : 918. Código bibliográfico : 1909PhyZ...10..918E.
  • Traducción de Wikisource: Rotación uniforme de cuerpos rígidos y teoría de la relatividad
• Langevin, P. (1935). "Remarques au sujet de la Note de Prunier". CR Acad. Ciencia. París . 200 : 48.

Algunas referencias clásicas:

• Grøn, Ø. (1975). "Descripción relativista de un disco giratorio". Soy. J. Física . 43 (10): 869–876. Código bibliográfico : 1975AmJPh..43..869G. doi :10.1119/1.9969.
• Landau, LD y Lifschitz, EM (1980). La teoría clásica de los campos (4ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9. Consulte la Sección 84 para conocer la métrica de Landau-Lifschitz sobre el cociente de una variedad de Lorentz por una congruencia estacionaria ; consulte el problema al final de la Sección 89 para la aplicación a los observadores de Langevin.

Fuentes recientes seleccionadas:

• Rizzi, G. y Ruggiero, ML (2004). Relatividad en marcos giratorios . Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-1805-3. Este libro contiene un valioso estudio histórico de Øyvind Grøn y algunos otros artículos sobre la paradoja de Ehrenfest y controversias relacionadas y un artículo de Lluis Bel que analiza la congruencia de Langevin. En este libro se pueden encontrar cientos de referencias adicionales.
• Pauri, Massimo y Vallisneri, Michele (2000). "Coordenadas de Märzke-Wheeler para observadores acelerados en relatividad especial". Encontró. Física. Lett . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Código Bib : 2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID  15097773.Estudia un gráfico de coordenadas construido utilizando la distancia del radar "en general" de un único observador de Langevin. Véase también la versión impresa.

enlaces externos

• El disco giratorio rígido en la relatividad, de Michael Weiss (1995), de las preguntas frecuentes sobre ciencia física .