Paradoja de Ehrenfest

La paradoja de Ehrenfest se refiere a la rotación de un disco "rígido" en la teoría de la relatividad .

En su formulación original de 1909, tal como la presentó Paul Ehrenfest en relación con el concepto de rigidez de Born dentro de la relatividad especial , ^[1] analiza un cilindro idealmente rígido que se hace girar sobre su eje de simetría. ^[2] El radio R como se ve en el marco de laboratorio es siempre perpendicular a su movimiento y, por lo tanto, debería ser igual a su valor R ₀ cuando está estacionario. Sin embargo, la circunferencia (2 $π$ R ) debería aparecer contraída por Lorentz a un valor menor que en reposo, por el factor habitual γ. Esto conduce a la contradicción de que R = R ₀ y R < R ₀ . ^[3]

La paradoja ha sido profundizada aún más por Albert Einstein , quien demostró que dado que las varillas de medición alineadas a lo largo de la periferia y moviéndose con ella deberían aparecer contraídas, cabrían más alrededor de la circunferencia, que medirían así más de 2 $π$ R. Esto indica que la geometría no es euclidiana para los observadores rotatorios, y fue importante para el desarrollo de la relatividad general por parte de Einstein . ^[4]

Cualquier objeto rígido hecho de material real que gira con una velocidad transversal cercana a la velocidad del sonido de ese material debe superar el punto de ruptura debido a la fuerza centrífuga , porque la presión centrífuga no puede superar el módulo de corte del material.

{\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G

donde es la velocidad del sonido, es la densidad y es el módulo de corte . Por lo tanto, al considerar velocidades relativistas , es solo un experimento mental . La materia degenerada por neutrones puede permitir velocidades cercanas a la velocidad de la luz, ya que la velocidad de oscilación de una estrella de neutrones es relativista (aunque no se puede decir estrictamente que estos cuerpos sean " rígidos "). $c_{s}$ ${\estilo de visualización \rho}$ ${\estilo de visualización G}$

Esencia de la paradoja

Imagine un disco de radio R que gira con velocidad angular constante . ${\estilo de visualización \omega}$

Paradoja de Ehrenfest: la circunferencia de un disco giratorio debería contraerse, pero no el radio, ya que el radio es perpendicular a la dirección del movimiento.

El marco de referencia está fijado al centro estacionario del disco. Entonces, la magnitud de la velocidad relativa de cualquier punto en la circunferencia del disco es . Por lo tanto, la circunferencia sufrirá una contracción de Lorentz por un factor de . $\omega R$ ${\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}$

Sin embargo, como el radio es perpendicular a la dirección del movimiento, no sufrirá ninguna contracción.

{\frac {\mathrm {circunferencia} }{\mathrm {diámetro} }}={\frac {2\pi R{\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2 }}}}{2R}}=\pi {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}.

Esto es paradójico, ya que de acuerdo con la geometría euclidiana , debería ser exactamente igual a $π$ .

El argumento de Ehrenfest

Ehrenfest consideró un cilindro rígido de Born ideal que se hace girar. Suponiendo que el cilindro no se expande ni se contrae, su radio permanece igual. Pero las varillas de medición dispuestas a lo largo de la circunferencia deberían contraerse según el método de Lorentz a un valor menor que en reposo, por el factor habitual γ. Esto conduce a la paradoja de que las varillas de medición rígidas tendrían que separarse unas de otras debido a la contracción de Lorentz; la discrepancia observada por Ehrenfest parece sugerir que un disco rígido de Born girado debería romperse. ${\estilo de visualización 2\pi R}$

Así, Ehrenfest argumentó por reducción al absurdo que la rigidez de Born no es compatible en general con la relatividad especial. Según la relatividad especial, un objeto no puede girar desde un estado no giratorio manteniendo la rigidez de Born, pero una vez que ha alcanzado una velocidad angular constante distinta de cero, mantiene la rigidez de Born sin violar la relatividad especial, y entonces (como Einstein demostró más tarde) un observador que se desplaza sobre un disco medirá una circunferencia: ^[3] $C^{\prime}={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Einstein y la relatividad general

El disco giratorio y su conexión con la rigidez también fue un importante experimento mental para Albert Einstein en el desarrollo de la relatividad general. ^[4] Se refirió a él en varias publicaciones en 1912, 1916, 1917, 1922 y extrajo de él la idea de que la geometría del disco se vuelve no euclidiana para un observador que gira en co-rotación. Einstein escribió (1922): ^[5]

66ff: Imaginemos un círculo dibujado alrededor del origen en el plano x'y' de K' y un diámetro de este círculo. Imaginemos, además, que tenemos un gran número de varillas rígidas, todas iguales entre sí. Supongamos que están colocadas en serie a lo largo de la periferia y del diámetro del círculo, en reposo con respecto a K'. Si U es el número de estas varillas a lo largo de la periferia, D el número a lo largo del diámetro, entonces, si K' no gira con respecto a K, tendremos . Pero si K' gira obtenemos un resultado diferente. Supongamos que en un tiempo definido t de K determinamos los extremos de todas las varillas. Con respecto a K, todas las varillas en la periferia experimentan la contracción de Lorentz, pero las varillas en el diámetro no experimentan esta contracción (¡a lo largo de sus longitudes!). Por lo tanto, se sigue que . $U/D=\pi$ $U/D>\pi$
De ello se deduce que las leyes de configuración de los cuerpos rígidos con respecto a K' no concuerdan con las leyes de configuración de los cuerpos rígidos que están de acuerdo con la geometría euclidiana. Si, además, colocamos dos relojes similares (rotando con K'), uno en la periferia y el otro en el centro del círculo, entonces, a juzgar por K, el reloj de la periferia irá más lento que el reloj del centro. Lo mismo debe suceder, a juzgar por K', si definimos el tiempo con respecto a K' de una manera no completamente antinatural, es decir, de tal manera que las leyes con respecto a K' dependan explícitamente del tiempo. Por lo tanto, el espacio y el tiempo no pueden definirse con respecto a K' como lo fueron en la teoría especial de la relatividad con respecto a los sistemas inerciales. Pero, según el principio de equivalencia, K' también debe considerarse como un sistema en reposo, con respecto al cual existe un campo gravitatorio (campo de fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis). Llegamos, pues, al resultado siguiente: el campo gravitatorio influye e incluso determina las leyes métricas del continuo espacio-tiempo. Si las leyes de configuración de los cuerpos rígidos ideales se han de expresar geométricamente, entonces, en presencia de un campo gravitatorio, la geometría no es euclidiana.

Breve historia

Se pueden encontrar citas de los artículos mencionados a continuación (y muchos otros que no lo son) en un artículo de Øyvind Grøn que está disponible en línea. ^[3]

Esta figura muestra la línea de universo de un observador de Langevin (curva helicoidal roja). La figura también muestra los conos de luz en varios eventos con el campo de referencia del observador de Langevin pasando por ese evento.

1909: Max Born introduce una noción de movimiento rígido en la relatividad especial. ^[6]
1909: Después de estudiar la noción de rigidez de Born, Paul Ehrenfest demostró mediante una paradoja sobre un cilindro que pasa del reposo a la rotación, que la mayoría de los movimientos de los cuerpos extendidos no pueden ser rígidos de Born. ^[1]
1910: Gustav Herglotz y Fritz Noether elaboraron de forma independiente el modelo de Born y demostraron ( teorema de Herglotz-Noether ) que la rigidez de Born solo permite tres grados de libertad para los cuerpos en movimiento. Por ejemplo, es posible que un cuerpo rígido esté ejecutando una rotación uniforme, pero la rotación acelerada es imposible. Por lo tanto, un cuerpo rígido de Born no puede pasar de un estado de reposo a una rotación, lo que confirma el resultado de Ehrenfest. ^[7]^[8]
1910: Max Planck llama la atención sobre el hecho de que no se debe confundir el problema de la contracción de un disco debido a su rotación con el de lo que medirán los observadores que se desplazan sobre el disco en comparación con los observadores estacionarios. Sugiere que para resolver el primer problema será necesario introducir algún modelo material y emplear la teoría de la elasticidad . ^[9]
1910: Theodor Kaluza señala que no hay nada inherentemente paradójico en el hecho de que los observadores estáticos y los que giran sobre el disco obtengan resultados diferentes para la circunferencia. Sin embargo, esto implica, argumenta Kaluza, que "la geometría del disco giratorio" no es euclidiana . Afirma sin pruebas que esta geometría es, de hecho, esencialmente, simplemente la geometría del plano hiperbólico . ^[10]
1911: Vladimir Varićak argumentó que la paradoja sólo ocurre en el punto de vista de Lorentz, donde los cuerpos rígidos se contraen, pero no si la contracción es "causada por la manera en que regulamos nuestros relojes y medimos la longitud". Einstein publicó una refutación , negando que su punto de vista fuera diferente al de Lorentz.
1911: Max von Laue demuestra que un cuerpo acelerado tiene un número infinito de grados de libertad, por lo que no pueden existir cuerpos rígidos en la relatividad especial. ^[11]
1916: mientras escribía su nueva teoría general de la relatividad , Albert Einstein se da cuenta de que los observadores que se desplazan sobre un disco miden una circunferencia más larga , C ′ = 2 πr / √ 1− v ² . Es decir, debido a que las reglas que se mueven en paralelo a su eje de longitud parecen más cortas cuando las miden los observadores estáticos, los observadores que se desplazan sobre un disco pueden colocar más reglas más pequeñas de una longitud dada alrededor de la circunferencia que los observadores estacionarios.
1922: En su libro fundamental "La teoría matemática de la relatividad" (p. 113), A. S. E. Dington calcula una contracción del radio del disco giratorio (en comparación con escalas estacionarias) de un cuarto del factor de "contracción de Lorentz" aplicado a la circunferencia.
1935: Paul Langevin introduce esencialmente un marco móvil (o campo de marco en lenguaje moderno) correspondiente a la familia de observadores que viajan sobre discos, ahora llamados observadores de Langevin . (Véase la figura.) También demuestra que las distancias medidas por observadores de Langevin cercanos corresponden a una cierta métrica de Riemann , ahora llamada métrica de Langevin-Landau-Lifschitz . ^[12]
1937: Jan Weyssenhoff (quizás ahora mejor conocido por su trabajo sobre las conexiones de Cartan con curvatura cero y torsión distinta de cero) advierte que los observadores de Langevin no son ortogonales a la hipersuperficie. Por lo tanto, la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz se define, no en una hipersección del espacio-tiempo de Minkowski, sino en el espacio cociente obtenido al reemplazar cada línea del universo por un punto . Esto da una variedad tridimensional suave que se convierte en una variedad de Riemann cuando añadimos la estructura métrica.
1946: Nathan Rosen demuestra que los observadores inerciales que se mueven instantáneamente con los observadores de Langevin también miden distancias pequeñas dadas por la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz.
1946: EL Hill analiza las tensiones relativistas en un material en el que (a grandes rasgos) la velocidad del sonido es igual a la velocidad de la luz y demuestra que estas simplemente anulan la expansión radial debida a la fuerza centrífuga (en cualquier material físicamente realista, los efectos relativistas disminuyen pero no anulan la expansión radial). Hill explica los errores en los análisis anteriores de Arthur Eddington y otros. ^[13]
1952: C. Møller intenta estudiar las geodésicas nulas desde el punto de vista de los observadores rotatorios (pero intenta utilizar incorrectamente cortes en lugar del espacio cociente apropiado)
1968: V. Cantoni ofrece una explicación directa y puramente cinemática de la paradoja al demostrar que "una de las suposiciones implícitamente contenidas en el enunciado de la paradoja de Ehrenfest no es correcta, ya que la geometría del espacio-tiempo de Minkowski permite el paso del disco del reposo a la rotación de tal manera que tanto la longitud del radio como la longitud de la periferia, medidas con respecto al marco de referencia comóvil, permanecen inalteradas".
1975: Øyvind Grøn escribe un artículo de revisión clásico sobre las soluciones de la "paradoja".
1977: Grünbaum y Janis introducen una noción de "no rigidez" físicamente realizable que se puede aplicar al giro de un disco inicialmente no giratorio (esta noción no es físicamente realista para materiales reales con los que se podría hacer un disco, pero es útil para experimentos mentales). ^[14]
1981: Grøn observa que la ley de Hooke no es consistente con las transformaciones de Lorentz e introduce una generalización relativista.
1997: TA Weber introduce explícitamente el campo de marco asociado con los observadores de Langevin.
2000: Hrvoje Nikolić señala que la paradoja desaparece cuando (de acuerdo con la teoría general de la relatividad ) cada pieza del disco giratorio se trata por separado, como si viviera en su propio marco local no inercial.
2002: Rizzi y Ruggiero (y Bel) introducen explícitamente la variedad cociente mencionada anteriormente.
2024: Jitendra Kumar analiza la paradoja de un anillo y señala que la resolución depende de cómo se lleva el anillo del reposo al movimiento de rotación, ya sea manteniendo constante la longitud en reposo de la periferia (en cuyo caso la periferia se desgarra) o manteniendo constante la longitud de la periferia en el marco inercial (en cuyo caso la periferia se estira físicamente, aumentando su longitud en reposo). ^[15]

Resolución de la paradoja

Grøn afirma que la resolución de la paradoja surge de la imposibilidad de sincronizar relojes en un marco de referencia giratorio. ^[16] Si los observadores en la circunferencia giratoria intentan sincronizar sus relojes alrededor de la circunferencia para establecer el tiempo del disco, hay una diferencia de tiempo entre los dos puntos finales donde se encuentran.

La resolución moderna se puede resumir brevemente de la siguiente manera:

Las distancias pequeñas medidas por observadores que viajan sobre un disco se describen mediante la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz , que de hecho se aproxima bien (para velocidades angulares pequeñas) mediante la geometría del plano hiperbólico, tal como había afirmado Kaluza.
En el caso de materiales físicamente razonables, durante la fase de aceleración, un disco real se expande radialmente debido a las fuerzas centrífugas; las correcciones relativistas contrarrestan parcialmente (pero no anulan) este efecto newtoniano. Una vez que se logra una rotación en estado estable y se permite que el disco se relaje, la geometría "en lo pequeño" está dada aproximadamente por la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz.

Véase también

Coordenadas de nacimiento , para un gráfico de coordenadas adaptado a observadores montados sobre un disco que gira rígidamente
Contracción de longitud
Disco relativista

Algunas otras "paradojas" de la relatividad especial

Notas

Citas

^ desde Ehrenfest 1909, pág. 918.
^ Fayngold 2008, pág. 363.
^abc Grøn 2004.
^Por Stachel 1980.
^ Einstein 1922.
^ Nacido en 1909, págs. 1–56.
^ Herglotz 1909, págs. 393–415.
^ Noether 1910.
^ Planck 1910.
^ Kalusa 1910.
^ Laue 1911.
^ Langevin 1935.
^ Colina 1946.
^ Grünbaum y Janis 1977.
^ Kumar 2024.
^ Grøn y Hervik 2007.

Obras citadas

Einstein, Albert (1922). El significado de la relatividad . Princeton University Press.
Fayngold, Moses (2008). Relatividad especial y cómo funciona (edición ilustrada). John Wiley & Sons. pág. 363. ISBN 978-3-527-40607-4.
Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007). Teoría General de la Relatividad de Einstein. Saltador. pag. 91.ISBN 978-0-387-69200-5.
Stachel, John (1980). "Einstein y el disco que gira rígidamente". En Held, A. (ed.). Relatividad general y gravitación . Nueva York: Springer. ISBN 978-0306402661.

Algunos artículos de interés histórico

Born, Max (1909), "Die Theorie des starren Körpers in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de la relatividad], Annalen der Physik (en alemán), 335 (11): 1 –56, Bibcode :1909AnP...335....1B, doi :10.1002/andp.19093351102
Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie" [Rotación uniforme de cuerpos rígidos y teoría de la relatividad], Physikalische Zeitschrift (en alemán), 10 : 918, Bibcode :1909PhyZ...10..918E
Grøn, Øyvind (2004). "Geometría espacial en un marco de referencia rotatorio: una evaluación histórica" (PDF) . En Rizzi, G.; Ruggiero, M. (eds.). Relatividad en marcos rotatorios . Kluwer. págs. 285–334. ISBN. 978-1402018053. Archivado (PDF) del original el 15 de junio de 2016 . Consultado el 30 de septiembre de 2013 .
Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007). Teoría General de la Relatividad de Einstein. Saltador. pag. 91.ISBN 978-0-387-69200-5.
Herglotz, Gustav (1909), "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Sobre los cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik (en alemán), 336 (2): 393–415, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
Kaluza, T. (1910). "Zur Relativitätstheorie" [Sobre la teoría de la relatividad]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 11 : 977–978.
Langevin, P. (1935). "Remarques au sujet de la Note de Prunier". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 200 : 48.
Laue, Mv (1911). "Zur Diskussion über den starren Körper in der Relativitätstheorie" [Sobre la discusión sobre los cuerpos rígidos en la teoría de la relatividad]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 12 : 85–87.
Noether, Fritz (1910). "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie". Annalen der Physik (en alemán). 336 (5): 919–944. Código bibliográfico : 1910AnP...336..919N. doi : 10.1002/andp.19103360504.
Planck, M. (1910). "Gleichförmige Rotation und Lorentz–Kontraktion" [Rotación uniforme y contracción de Lorentz]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 11 : 294.

Algunas referencias clásicas "modernas"

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Lifschitz, EF; Landau, LD (1980). La teoría clásica de campos (4.ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9. Véase la Sección 84 y el problema al final de la Sección 89 .
Reichenbach, Hans (1969). Axiomatización de la teoría de la relatividad . Berkeley: University of California Press. LCCN 68021540.

Algunos trabajos experimentales y discusión posterior

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Ashworth, DG; Jennison, RC (1976). "Topografía en sistemas rotatorios". J. Phys. A: Math. Gen . 9 (1): 35–43. Bibcode :1976JPhA....9...35A. doi :10.1088/0305-4470/9/1/008.
Boone, PF (1977). "Relatividad de la rotación". J. Phys. A: Math. Gen . 10 (5): 727–44. Bibcode :1977JPhA...10..727B. doi :10.1088/0305-4470/10/5/007.
Davies, PA (1976). "Medidas en sistemas rotatorios". J. Phys. A: Math. Gen . 9 (6): 951–9. Bibcode :1976JPhA....9..951D. doi :10.1088/0305-4470/9/6/014.
Davies, PA; Jennison, RC (1975). "Experimentos que involucran transpondedores de espejo en marcos rotatorios". J. Phys. A: Math. Gen . 8 (9): 1390–7. Bibcode :1975JPhA....8.1390D. doi :10.1088/0305-4470/8/9/007.

Fuentes recientes seleccionadas

Nikolic, Hrvoje (2000). "Contracción relativista y efectos relacionados en sistemas no inerciales". Phys. Rev. A . 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Bibcode :2000PhRvA..61c2109N. doi :10.1103/PhysRevA.61.032109. S2CID 5783649.Estudia el movimiento general no inercial de una partícula puntual y trata el disco giratorio como una colección de dichas partículas no inerciales. Véase también la versión impresa.
Pauri, Massimo; Vallisneri, Michele (2000). "Coordenadas de Märzke–Wheeler para observadores acelerados en relatividad especial". Encontrado. Phys. Lett . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Código Bibliográfico :2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID 15097773.Estudia un gráfico de coordenadas construido utilizando la distancia de radar "en general" de un solo observador de Langevin. Véase también la versión impresa.
Rizzi, G.; Ruggiero, ML (2002). "Geometría espacial de plataformas rotatorias: un enfoque operacional". Encontrado. Phys . 32 (10): 1525–1556. arXiv : gr-qc/0207104 . Código Bibliográfico :2002gr.qc.....7104R. doi :10.1023/A:1020427318877. S2CID 16826601.Ofrecen una definición precisa del "espacio del disco" (no euclidiano) y resuelven la paradoja sin consideraciones dinámicas ajenas. Véase también la versión impresa.
Ruggiero, ML; Rizzi, G. (2004). Relatividad en sistemas rotatorios . Dordrecht: Kluwer. ISBN 978-1-4020-1805-3. Este libro contiene un estudio histórico exhaustivo de Øyvind Grøn, en el que se basa la "breve historia" de este artículo, y otros artículos sobre la paradoja de Ehrenfest y controversias relacionadas. En este libro se pueden encontrar cientos de referencias adicionales, en particular el artículo de Grøn.
Kumar, Jitendra (2024). "Paradoja de Ehrenfest: un examen cuidadoso". Am. J. Phys . 92 (2): 140–145. arXiv : 2305.07953 . Código Bibliográfico : 2024AmJPh..92..140K. doi : 10.1119/5.0153190.Se consideran dos formas de llevar un anillo desde el reposo al movimiento de rotación y se resuelve la paradoja para esos dos casos. Véase también la versión impresa.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Paradoja de Ehrenfest .

El disco giratorio rígido en la relatividad, por Michael Weiss (1995), de las preguntas frecuentes de sci.physics .
El carrusel de Einstein (sección 3.5.4), por B. Crowell