Cuerpo convexo

Conjunto convexo no vacío en el espacio euclidiano

Un dodecaedro es un cuerpo convexo.

En matemáticas , un cuerpo convexo en un espacio euclidiano de dimensión - es un conjunto convexo compacto con un interior no vacío . Algunos autores no exigen que el interior no esté vacío, sino simplemente que el conjunto no esté vacío. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un cuerpo convexo se llama simétrico si es centralmente simétrico con respecto al origen; es decir, un punto se encuentra en si y solo si su antípoda , también se encuentra en Los cuerpos convexos simétricos están en una correspondencia biunívoca con las bolas unitarias de normas en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Algunos ejemplos comúnmente conocidos de cuerpos convexos son la bola euclidiana , el hipercubo y el politopo cruzado .

Estructura del espacio métrico

Escribe para el conjunto de cuerpos convexos en . Entonces es un espacio métrico completo con métrica ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

${\displaystyle d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}}$. ^[1]

Además, el teorema de selección de Blaschke dice que cada secuencia acotada en d tiene una subsecuencia convergente. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

Cuerpo polar

Si es un cuerpo convexo acotado que contiene el origen en su interior, el cuerpo polar es . El cuerpo polar tiene varias propiedades interesantes, entre ellas , es acotado y si entonces . El cuerpo polar es un tipo de relación de dualidad . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle \{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}}$ ${\displaystyle (K^{*})^{*}=K}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}}$

Véase también

• Lista de temas sobre convexidad
• Elipsoide de John  : elipsoide que contiene más de cerca, o está contenido en, un objeto convexo n-dimensional
• Teorema de Brunn-Minkowski , que tiene muchas implicaciones relevantes para la geometría de los cuerpos convexos.

Referencias

1. Hug, Daniel; Weil, Wolfgang (2020). "Conferencias sobre geometría convexa". Textos de posgrado en matemáticas . 286 . doi :10.1007/978-3-030-50180-8. ISBN 978-3-030-50179-2. ISSN  0072-5285.

• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo. doi :10.1007/978-3-642-56468-0. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Rockafellar, R. Tyrrell (12 de enero de 1997). Análisis convexo. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.
• Arya, Sunil; Mount, David M. (2023). "Límites óptimos sensibles al volumen para la aproximación de politopos". 39.º Simposio Internacional sobre Geometría Computacional (SoCG 2023) . 258 : 9:1–9:16. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2023.9 .
• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .