Teorema de selección de Blaschke

Cualquier secuencia de conjuntos convexos contenidos en un conjunto acotado tiene una subsecuencia convergente

El teorema de selección de Blaschke es un resultado de la topología y la geometría convexa sobre secuencias de conjuntos convexos . En concreto, dada una secuencia de conjuntos convexos contenidos en un conjunto acotado , el teorema garantiza la existencia de una subsecuencia y un conjunto convexo tal que converge a en la métrica de Hausdorff . El teorema recibe su nombre de Wilhelm Blaschke . ${\displaystyle \{K_{n}\}}$ ${\displaystyle \{K_{n_{m}}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{n_{m}}}$ ${\displaystyle K}$

Declaraciones alternativas

• Una declaración sucinta del teorema es que el espacio métrico de los cuerpos convexos es localmente compacto .
• Utilizando la métrica de Hausdorff en conjuntos, cada colección infinita de subconjuntos compactos de la bola unitaria tiene un punto límite (y ese punto límite es en sí mismo un conjunto compacto ).

Solicitud

Como ejemplo de su uso, se puede demostrar que el problema isoperimétrico tiene una solución. ^[1] Es decir, existe una curva de longitud fija que encierra el área máxima posible. También se puede demostrar que otros problemas tienen una solución:

• Problema de recubrimiento universal de Lebesgue para un recubrimiento universal convexo de tamaño mínimo para la colección de todos los conjuntos en el plano de diámetro unitario, ^[1]
• El problema de máxima inclusión, ^[1]
• y el problema del gusano de Moser para una cubierta universal convexa de tamaño mínimo para la colección de curvas planas de longitud unitaria. ^[2]

Notas

1. Paul J. Kelly; Max L. Weiss (1979). Geometría y convexidad: un estudio en métodos matemáticos . Wiley. pp. Sección 6.4.
2. Wetzel, John E. (julio de 2005). "El problema clásico de los gusanos: un informe de situación". Geombinatorics . 15 (1): 34–42.

Referencias

• AB Ivanov (2001) [1994], "Teorema de selección de Blaschke", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• VA Zalgaller (2001) [1994], "Espacio métrico de conjuntos convexos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kai-Seng Chou; Xi-Ping Zhu (2001). El problema del acortamiento de la curva . CRC Press. pág. 45. ISBN 1-58488-213-1.