Conjetura de Pólya

Conjetura refutada en teoría de números

Función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 10 ⁷ . La conjetura (refutada) establece que esta función es siempre negativa. Las oscilaciones fácilmente visibles se deben al primer cero no trivial de la función zeta de Riemann .

Primer plano de la función sumatoria de Liouville L ( n ) en la región donde la conjetura de Pólya no se cumple.

Gráfica logarítmica del negativo de la función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 2 × 10 ⁹ . La punta verde muestra la función misma (no su negativo) en la región estrecha donde la conjetura falla; la curva azul muestra la contribución oscilatoria del primer cero de Riemann.

En teoría de números , la conjetura de Pólya (o conjetura de Pólya ) afirmaba que "la mayoría" (es decir, el 50% o más) de los números naturales menores que cualquier número dado tienen un número impar de factores primos . La conjetura fue planteada por el matemático húngaro George Pólya en 1919, ^{[1] y} C. Brian Haselgrove demostró que era falsa en 1958. Aunque los matemáticos suelen referirse a esta afirmación como la conjetura de Pólya, Pólya nunca conjeturó realmente que la afirmación fuera verdadera; en cambio, demostró que la verdad de la afirmación implicaría la hipótesis de Riemann . Por esta razón, se la llama con más precisión "problema de Pólya".

El tamaño del contraejemplo más pequeño se utiliza a menudo para demostrar el hecho de que una conjetura puede ser verdadera para muchos casos y aún así no cumplirse en general, ^[2] proporcionando una ilustración de la ley fuerte de los números pequeños .

Declaración

La conjetura de Pólya establece que para cualquier n  > 1, si los números naturales menores o iguales a n (excluyendo 0) se dividen en aquellos con un número impar de factores primos y aquellos con un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene al menos tantos miembros como el segundo. Los factores primos repetidos se cuentan repetidamente; por ejemplo, decimos que 18 = 2 × 3 × 3 tiene un número impar de factores primos, mientras que 60 = 2 × 2 × 3 × 5 tiene un número par de factores primos.

De manera equivalente, se puede expresar en términos de la función sumatoria de Liouville , con la conjetura de que

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$

para todo n > 1. Aquí, λ( k ) = (−1) ^{Ω( k )} es positivo si el número de factores primos del entero k es par, y es negativo si es impar. La función Omega grande cuenta el número total de factores primos de un entero.

Refutación

La conjetura de Pólya fue refutada por C. Brian Haselgrove en 1958. Demostró que la conjetura tiene un contraejemplo, que estimó en alrededor de 1,845 × 10 ³⁶¹ . ^[3]

R. Sherman Lehman dio un contraejemplo explícito (mucho más pequeño), de n = 906.180.359, en 1960. ^[4] El contraejemplo más pequeño es n = 906.150.257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. ^[5]

La conjetura no se cumple para la mayoría de los valores de n en la región de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. En esta región, la función sumatoria de Liouville alcanza un valor máximo de 829 en n = 906.316.571.

Referencias

1. Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán). 28 : 31–40. JFM  47.0882.06.
2. Stein, Sherman K. (2010). Matemáticas: el universo creado por el hombre. Courier Dover Publications. pág. 483. ISBN 9780486404509..
3. Haselgrove, CB (1958). "Refutación de una conjetura de Pólya". Mathematika . 5 (2): 141–145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
4. Lehman, RS (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas de la computación . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . JSTOR  2003890. MR  0120198.
5. Tanaka, M. (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulativa de la función de Liouville". Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Pólya". MathWorld .