Conexión Gauss-Manin

En matemáticas , la conexión de Gauss-Manin es una conexión sobre un determinado fibrado vectorial sobre un espacio base S de una familia de variedades algebraicas . Las fibras del fibrado vectorial son los grupos de cohomología de De Rham de las fibras de la familia. Fue introducida por Yuri Manin  (1958) para las curvas S y por Alexander Grothendieck  (1966) en dimensiones superiores. ${\displaystyle V_{s}}$ ${\displaystyle H_{DR}^{k}(V_{s})}$ ${\displaystyle V_{s}}$

Las secciones planas del fibrado se describen mediante ecuaciones diferenciales ; la más conocida de ellas es la ecuación de Picard-Fuchs , que surge cuando se toma como familia de variedades la familia de curvas elípticas . En términos intuitivos, cuando la familia es localmente trivial, las clases de cohomología se pueden trasladar de una fibra de la familia a fibras cercanas, lo que proporciona el concepto de "sección plana" en términos puramente topológicos. La existencia de la conexión se infiere a partir de las secciones planas.

Intuición

Consideremos un morfismo suave de esquemas sobre la característica 0. Si consideramos estos espacios como espacios analíticos complejos, entonces el teorema de fibración de Ehresmann nos dice que cada fibra es una variedad suave y cada fibra es difeomorfa. Esto nos dice que los grupos de cohomología de De-Rham son todos isomorfos. Podemos usar esta observación para preguntar qué sucede cuando tratamos de diferenciar clases de cohomología usando campos vectoriales del espacio base . ${\displaystyle X\to B}$ ${\displaystyle X_{b}=f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$ ${\displaystyle B}$

Consideremos una clase de cohomología tal que donde es el mapa de inclusión. Entonces, si consideramos las clases ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(X)}$ ${\displaystyle i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})}$ ${\displaystyle i_{b}\colon X_{b}\to X}$

${\displaystyle \left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})}$

Finalmente, habrá una relación entre ellos, llamada ecuación de Picard-Fuchs . La conexión de Gauss-Manin es una herramienta que codifica esta información en una conexión en el fibrado vectorial plano construido a partir de . ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$

Ejemplo

Un ejemplo que se cita con frecuencia es la construcción Dwork de la ecuación de Picard-Fuchs . Sea

${\displaystyle V_{\lambda }(x,y,z)}$sea ​​la curva elíptica . ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;}$

Aquí, es un parámetro libre que describe la curva; es un elemento de la línea proyectiva compleja (la familia de hipersuperficies en dimensiones de grado n , definida de manera análoga, ha sido estudiada intensivamente en los últimos años, en conexión con el teorema de modularidad y sus extensiones). ^[2] Por lo tanto, el espacio base del fibrado se toma como la línea proyectiva. Para un fijo en el espacio base, considere un elemento del grupo de cohomología de De Rham asociado ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }\in H_{dR}^{1}(V_{\lambda }).}$

Cada uno de estos elementos corresponde a un período de la curva elíptica. La cohomología es bidimensional. La conexión de Gauss-Manin corresponde a la ecuación diferencial de segundo orden.

${\displaystyle (\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.}$

Explicación del módulo D

En el contexto más abstracto de la teoría del módulo D , la existencia de tales ecuaciones se subsume en una discusión general de la imagen directa .

Ecuaciones que surgen de la geometría

Toda la clase de conexiones de Gauss-Manin se ha utilizado para intentar formular el concepto de ecuaciones diferenciales que "surgen de la geometría". En relación con la conjetura de la p -curvatura de Grothendieck , Nicholas Katz demostró que la clase de conexiones de Gauss-Manin con coeficientes numéricos algebraicos satisface la conjetura. Este resultado está directamente relacionado con el concepto de G -función de Siegel de la teoría de números trascendentales , para soluciones de funciones meromórficas. La conjetura de Bombieri-Dwork , también atribuida a Yves André , que se da en más de una versión, postula una dirección inversa: soluciones como G -funciones, o p -curvatura nilpotente módulo p para casi todos los primos p , significa que una ecuación "surge de la geometría". ^{[3] [4]}

Véase también

• Conjetura de simetría especular
• Módulo mixto de Hodge
• Conexión meromórfica

Referencias

1. "Referencia para la conexión Gauss-Manin". math.stackexchange.com .
2. Katz, Nicholas M. (2009). "Otra mirada a la familia Dwork". Álgebra, aritmética y geometría, vol. II (PDF) . Boston: Birkhäuser. págs. 89-126. doi :10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN . 978-0-8176-4746-9.Señor 2641188  .
3. Reiter, Stefan (2002). "Sobre aplicaciones del funtor de convolución media de Katz (Deformación de ecuaciones diferenciales y análisis asintótico)" (PDF) . Repositorio de información de investigación de la Universidad de Kioto .
4. Totaro, Burt (2007). "Euler y la geometría algebraica" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 44 (4): 541–559. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01178-0 . MR  2338364.

• Kulikov, Valentine (1998), Estructuras y singularidades mixtas de Hodge , Cambridge Tracts in Mathematics, págs. 1–59(Ofrece una excelente introducción a las conexiones Gauss-Manin)
• Dimca, Alexandru , Hojas en topología , págs. 55–57, 206–207(Da un ejemplo de las conexiones de Gauss-Manin y su relación con la teoría del módulo D y la correspondencia de Riemmann-Hilbert)
• Griffiths, Phillip , Periodos de integrales en variedades algebraicas: Resumen de los resultados principales y discusión de problemas abiertos(Proporciona un bosquejo rápido del teorema de estructura principal de las conexiones de Gauss-Manin)
• Barrientos, Ivan, La conexión de Gauss-Manin y los puntos singulares regulares. (PDF)
• Grothendieck, Alexander (1966), "Sobre la cohomología de De Rham de las variedades algebraicas", Publications Mathématiques de l'IHÉS , carta a Atiyah, 14 de octubre de 1963, 29 (29): 95–103, doi :10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194, S2CID  123434721
• "Conexión Gauss-Manin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Manin, Ju. I. (1958), "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 22 : 737–756, SEÑOR  0103889Traducción al inglés en Manin, Ju. I. (1964) [1958], "Curvas algebraicas sobre campos con diferenciación", Traducciones de la American Mathematical Society: 22 artículos sobre álgebra, teoría de números y geometría diferencial, vol. 37, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7, Sr.  0103889