Equilibrio competitivo

Concepto de equilibrio económico

El equilibrio competitivo (también llamado: equilibrio walrasiano ) es un concepto de equilibrio económico , introducido por Kenneth Arrow y Gérard Debreu en 1951, ^[1] apropiado para el análisis de mercados de productos básicos con precios flexibles y muchos comerciantes, y que sirve como punto de referencia de eficiencia. en el análisis económico. Se basa fundamentalmente en el supuesto de un entorno competitivo en el que cada comerciante decide una cantidad que es tan pequeña en comparación con la cantidad total comercializada en el mercado que sus transacciones individuales no tienen influencia sobre los precios. Los mercados competitivos son un estándar ideal mediante el cual se evalúan otras estructuras de mercado.

Definiciones

Un equilibrio competitivo (CE) consta de dos elementos:

• Una función de precio . Toma como argumento un vector que representa un conjunto de mercancías y devuelve un número real positivo que representa su precio. Por lo general, la función de precios es lineal: se representa como un vector de precios, un precio para cada tipo de producto. ${\displaystyle P}$
• Una matriz de asignación . Para cada , es el vector de mercancías asignado al agente . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Estos elementos deben satisfacer el siguiente requisito:

• Satisfacción ( libre de envidia del mercado ): cada agente prefiere débilmente su paquete a cualquier otro paquete asequible:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n}$, si entonces . ${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

A menudo, existe una matriz de dotación inicial : para cada , es la dotación inicial del agente . Entonces, un CE debería cumplir algunos requisitos adicionales: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle i}$

• Liquidación de mercado : la demanda es igual a la oferta, no se crean ni se destruyen artículos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$.

• Racionalidad individual : todos los agentes están en mejor situación después de la operación que antes de la operación:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$.

• Saldo Presupuestario : todos los agentes pueden afrontar su asignación dada su dotación:

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$.

Definición 2

Esta definición permite explícitamente la posibilidad de que pueda haber múltiples conjuntos de productos que sean igualmente atractivos. También por precios cero. Una definición alternativa ^[2] se basa en el concepto de conjunto de demanda . Dada una función de precios P ​​y un agente con una función de utilidad U, una determinada cesta de bienes x está en el conjunto de demanda del agente si: para cualquier otra cesta y. Un equilibrio competitivo es una función de precios P ​​y una matriz de asignación X tal que: ${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• La cesta asignada por X a cada agente está en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios P;
• Todo bien que tiene un precio positivo está totalmente asignado (es decir, todo artículo no asignado tiene precio 0).

Equilibrio aproximado

En algunos casos es útil definir un equilibrio en el que la condición de racionalidad se relaja. ^[3] Dado un valor positivo (medido en unidades monetarias, por ejemplo, dólares), un vector de precios y un paquete , defina como un vector de precios en el que todos los artículos en x tienen el mismo precio que tienen en P, y todos los artículos que no están en x tienen un precio mayor que su precio en P. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$

En un equilibrio competitivo , el paquete x asignado a un agente debe estar en el conjunto de demanda de ese agente para el vector de precios modificado , . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Esta aproximación es realista cuando existen comisiones de compra/venta. Por ejemplo, supongamos que un agente tiene que pagar dólares por comprar una unidad de un artículo, además del precio de ese artículo. Ese agente mantendrá su paquete actual mientras esté en el vector de precios del conjunto de demanda . Esto hace que el equilibrio sea más estable. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos involucran una economía de intercambio con dos agentes, Jane y Kelvin, dos bienes, por ejemplo, plátanos (x) y manzanas (y), y ningún dinero.

1. Ejemplo gráfico : supongamos que la asignación inicial está en el punto X, donde Jane tiene más manzanas que Kelvin y Kelvin tiene más plátanos que Jane.

Al observar sus curvas de indiferencia de Jane y de Kelvin, podemos ver que esto no es un equilibrio: ambos agentes están dispuestos a comerciar entre sí a los precios y . Después de negociar, tanto Jane como Kelvin pasan a una curva de indiferencia que representa un nivel más alto de utilidad y . Las nuevas curvas de indiferencia se cruzan en el punto E. La pendiente de la tangente de ambas curvas es igual a - . ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

Y el ; . La tasa marginal de sustitución (TMS) de Jane es igual a la de Kelvin. Por lo tanto, la sociedad de 2 individuos alcanza la eficiencia de Pareto , donde no hay manera de mejorar la situación de Jane o Kelvin sin empeorar la situación del otro. ${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$ ${\displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$

2. Ejemplo aritmético: ^{[4] : ​​322–323} supongamos que ambos agentes tienen utilidades Cobb-Douglas :

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

¿ Dónde están las constantes? ${\displaystyle a,b}$

Supongamos que la dotación inicial es . ${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

La función de demanda de Jane para x es:

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

La función de demanda de Kelvin para x es:

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

La condición de liquidación de mercado para x es:

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

Esta ecuación produce la relación de precios de equilibrio:

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {1-a}{b}}}$

Podríamos hacer un cálculo similar para y, pero no es necesario, ya que la ley de Walras garantiza que los resultados serán los mismos. Obsérvese que en CE sólo se determinan los precios relativos; Podemos normalizar los precios, por ejemplo, exigiéndolo . Entonces obtenemos . Pero cualquier otra normalización también funcionará. ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=1}$ ${\displaystyle p_{1}={\frac {b}{1+b-a}},p_{1}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3. Ejemplo de inexistencia: Supongamos que las utilidades de los agentes son:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

y la dotación inicial es [(2,1),(2,1)]. En CE, cada agente debe tener solo x o solo y (el otro producto no aporta nada a la utilidad, por lo que al agente le gustaría intercambiarlo). Por lo tanto, las únicas asignaciones de CE posibles son [(4,0), (0,2)] y [(0,2), (4,0)]. Dado que los agentes tienen los mismos ingresos, necesariamente . Pero entonces, el agente que tiene 2 unidades de y querrá cambiarlas por 4 unidades de x. ${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. Para ver ejemplos de existencia y no existencia que involucran utilidades lineales, consulte Utilidad lineal#Ejemplos .

Artículos indivisibles

Cuando hay partidas indivisibles en la economía, es común suponer que también hay dinero, que es divisible. Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales : su utilidad es la cantidad de dinero que tienen más la utilidad del conjunto de artículos que poseen.

A. Elemento único: Alice tiene un automóvil que ella valora como 10. Bob no tiene automóvil y valora el automóvil de Alice como 20. Un CE posible es: el precio del automóvil es 15, Bob obtiene el automóvil y le paga 15 a Alice. . Este es un equilibrio porque el mercado está equilibrado y ambos agentes prefieren su paquete final al inicial. De hecho, todo precio entre 10 y 20 será un precio CE, con la misma asignación. La misma situación se aplica cuando el auto no está inicialmente en manos de Alice, sino en una subasta en la que Alice y Bob son compradores: el auto irá a Bob y el precio estará entre 10 y 20.

Por otro lado, cualquier precio inferior a 10 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de demanda (tanto Alice como Bob quieren el automóvil a ese precio), y cualquier precio superior a 20 no es un precio de equilibrio porque hay un exceso de oferta ( ni Alice ni Bob quieren el coche a ese precio).

Este ejemplo es un caso especial de subasta doble .

B. Sustitutos: En una subasta se venden un coche y un caballo. A Alice solo le importa el transporte, así que para ella estos son sustitutos perfectos: obtiene la utilidad 8 del caballo, 9 del auto, y si tiene ambos entonces usa solo el auto, por lo que su utilidad es 9. Bob obtiene una utilidad de 5 del caballo y 7 del coche, pero si tiene ambos entonces su utilidad es 11 ya que también le gusta el caballo como mascota. En este caso es más difícil encontrar un equilibrio (ver más abajo). Un equilibrio posible es que Alicia compra el caballo por 5 y Bob compra el coche por 7. Este es un equilibrio ya que a Bob no le gustaría pagar 5 por el caballo, lo que le dará sólo 4 utilidades adicionales, y a Alicia no le gustaría pagar 5 por el caballo, lo que le dará sólo 4 utilidades adicionales. pagar 7 por el coche, lo que le dará sólo 1 utilidad adicional.

C. Complementos : ^[5] Se venden en subasta un caballo y un carruaje. Hay dos compradores potenciales: AND y XOR. Y solo quiere el caballo y el carruaje juntos; reciben una utilidad de por tener ambos, pero una utilidad de 0 por tener solo uno de ellos. XOR quiere el caballo o el carruaje, pero no necesita ambos: reciben una utilidad de por sostener uno de ellos y la misma utilidad por sostener a ambos. Aquí, cuando , NO existe un equilibrio competitivo, es decir, ningún precio equilibrará el mercado. Prueba : considere las siguientes opciones para la suma de los precios (precio del caballo + precio del carruaje): ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$ ${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$

• La suma es menor que . Entonces, AND quiere ambos elementos. Dado que el precio de al menos un artículo es menor que , XOR quiere ese artículo, por lo que hay un exceso de demanda. ${\displaystyle v_{and}}$ ${\displaystyle v_{xor}}$
• La suma es exactamente . Entonces, a AND le resulta indiferente comprar ambos artículos o no comprar ningún artículo. Pero XOR todavía quiere exactamente un artículo, por lo que hay exceso de demanda o exceso de oferta. ${\displaystyle v_{and}}$
• La suma es más de . Entonces, AND no quiere ningún artículo y XOR todavía quiere como máximo un artículo, por lo que hay exceso de oferta. ${\displaystyle v_{and}}$

D. Consumidores de demanda unitaria: Hay n consumidores. Cada consumidor tiene un índice . Hay un solo tipo de bien. Cada consumidor quiere como máximo una unidad del bien, lo que le proporciona una utilidad de . Los consumidores están ordenados de manera que sea una función débilmente creciente de . Si la oferta es unitaria, entonces cualquier precio que lo satisfaga es un precio de equilibrio, ya que hay k consumidores que quieren comprar el producto o son indiferentes entre comprarlo o no comprarlo. Tenga en cuenta que un aumento en la oferta provoca una disminución en el precio. ${\displaystyle i=1,...,n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

Existencia de un equilibrio competitivo

Recursos divisibles

El modelo Arrow-Debreu muestra que existe una CE en toda economía de intercambio con bienes divisibles que satisfacen las siguientes condiciones:

• Todos los agentes tienen preferencias estrictamente convexas ;
• Todos los bienes son deseables. Esto significa que, si algún bien se entrega gratuitamente ( ), entonces todos los agentes quieren tanto como sea posible de ese bien. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p_{j}=0}$

La prueba se desarrolla en varios pasos. ^{[4] : 319–322}

R. Para ser más concretos, supongamos que hay agentes y bienes divisibles. Normalice los precios de modo que su suma sea 1, es decir . Entonces el espacio de todos los precios posibles es la unidad dimensional simplex en . A este simplex lo llamamos precio simplex . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B. Sea la función de exceso de demanda . Esta es una función del vector de precios cuando la dotación inicial se mantiene constante: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}}$

Se sabe que, cuando los agentes tienen preferencias estrictamente convexas , la función de demanda marshalliana es continua. Por tanto, también es una función continua de . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p}$

C. Defina la siguiente función a partir del precio simplex consigo mismo:

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

Esta es una función continua, por lo que según el teorema del punto fijo de Brouwer existe un vector de precios tal que: ${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

entonces,

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D. Usando la ley de Walras y algo de álgebra, es posible demostrar que para este vector de precios, no hay exceso de demanda en ningún producto, es decir:

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. El supuesto de deseabilidad implica que todos los productos tienen precios estrictamente positivos:

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Según la ley de Walras , . Pero esto implica que la desigualdad anterior debe ser una igualdad: ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

Esto significa que es un vector de precios de un equilibrio competitivo. ${\displaystyle p^{*}}$

Tenga en cuenta que las utilidades lineales son débilmente convexas, por lo que no califican para el modelo Arrow-Debreu . Sin embargo, David Gale demostró que existe una EC en toda economía de intercambio lineal que satisface ciertas condiciones. Para más detalles ver Utilidades lineales#Existencia de equilibrio competitivo .

Los algoritmos para calcular el equilibrio del mercado se describen en Cálculo del equilibrio del mercado .

Artículos indivisibles

En los ejemplos anteriores, existía un equilibrio competitivo cuando los artículos eran sustitutos pero no cuando eran complementarios. Esto no es una coincidencia.

Dada una función de utilidad sobre dos bienes X e Y , digamos que los bienes son sustitutos débilmente brutos (GS) si son bienes independientes o bienes sustitutos brutos , pero no bienes complementarios . Esto significa que . Es decir, si el precio de Y aumenta, entonces la demanda de X permanece constante o aumenta, pero no disminuye. Si el precio de Y disminuye, entonces la demanda de X permanece constante o disminuye. ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

Una función de utilidad se llama GS si, según esta función de utilidad, todos los pares de bienes diferentes son GS. Con una función de utilidad GS, si un agente tiene una demanda fijada en un vector de precios determinado y los precios de algunos artículos aumentan, entonces el agente tiene un conjunto de demanda que incluye todos los artículos cuyo precio permaneció constante. ^{[3] [6]} Puede decidir que no quiere un artículo que se ha vuelto más caro; también puede decidir que quiere otro artículo (un sustituto); pero puede que no decida que no quiere un tercer artículo cuyo precio no haya cambiado.

Cuando las funciones de utilidad de todos los agentes son GS, siempre existe un equilibrio competitivo. ^[7]

Además, el conjunto de valoraciones de GS es el conjunto más grande que contiene valoraciones de demanda unitaria para las cuales se garantiza la existencia de equilibrio competitivo: para cualquier valoración que no sea GS, existen valoraciones de demanda unitaria tales que no existe un equilibrio competitivo para estas valoraciones de demanda unitaria. valoraciones de demanda junto con la valoración no GS dada. ^[8]

Para conocer el problema computacional de encontrar un equilibrio competitivo en un tipo especial de mercado, consulte Fisher market#indivisible .

El equilibrio competitivo y la eficiencia asignativa

Según los teoremas fundamentales de la economía del bienestar , cualquier asignación CE es eficiente en el sentido de Pareto , y cualquier asignación eficiente puede ser sostenible mediante un equilibrio competitivo. Además, según los teoremas de Varian , una asignación CE en la que todos los agentes tienen los mismos ingresos también está libre de envidia .

En el equilibrio competitivo, el valor que la sociedad asigna a un bien es equivalente al valor de los recursos invertidos para producirlo (el beneficio marginal es igual al costo marginal ). Esto asegura la eficiencia asignativa : el valor adicional que la sociedad asigna a otra unidad del bien es igual a lo que la sociedad debe renunciar en recursos para producirlo. ^[9]

Tenga en cuenta que el análisis microeconómico no supone una utilidad aditiva ni ninguna compensación de utilidad interpersonal. La eficiencia, por tanto, se refiere a la ausencia de mejoras de Pareto . No opina de ninguna manera sobre la equidad de la asignación (en el sentido de justicia o equidad distributiva ). Un equilibrio eficiente podría ser aquel en el que un jugador tiene todos los bienes y otros no tienen ninguno (en un ejemplo extremo), lo cual es eficiente en el sentido de que es posible que no se pueda encontrar una mejora de Pareto, lo que hace que todos los jugadores (incluido el uno con todo en este caso) mejor (para una mejora estricta de Pareto), o no peor.

Teoremas de bienestar para la asignación de elementos indivisibles

En el caso de elementos indivisibles, tenemos las siguientes versiones sólidas de los dos teoremas del bienestar : ^[2]

1. Cualquier equilibrio competitivo maximiza el bienestar social (la suma de utilidades), no sólo sobre todas las asignaciones realistas de artículos, sino también sobre todas las asignaciones fraccionarias de artículos. Es decir, incluso si pudiéramos asignar fracciones de un artículo a diferentes personas, no podríamos hacerlo mejor que un equilibrio competitivo en el que sólo se asignan artículos completos.
2. Si hay una asignación integral (sin asignaciones fraccionarias) que maximiza el bienestar social, entonces hay un equilibrio competitivo con esa asignación.

Encontrar un equilibrio

En el caso de la asignación de artículos indivisibles, cuando las funciones de utilidad de todos los agentes son GS (y por lo tanto existe un equilibrio), es posible encontrar un equilibrio competitivo utilizando una subasta ascendente . En una subasta ascendente, el subastador publica un vector de precios, inicialmente cero, y los compradores declaran su paquete favorito bajo estos precios. En caso de que cada artículo sea deseado por como máximo un solo postor, los artículos se dividen y la subasta finaliza. En caso de que haya un exceso de demanda en uno o más artículos, el subastador aumenta el precio de un artículo con exceso de demanda en una pequeña cantidad (por ejemplo, un dólar) y los compradores vuelven a pujar.

En la literatura se han sugerido varios mecanismos diferentes de subasta ascendente. ^{[3] [7] [10]} Estos mecanismos suelen denominarse subasta walrasiana , tâtonnement walrasiano o subasta inglesa .

Ver también

• Fijación de precios sin envidia : una relajación del equilibrio walrasiano en el que algunos artículos pueden permanecer sin asignar.
• Mercado de pescadores : un modelo de mercado simplificado, con un único vendedor y muchos compradores, en el que se puede calcular un CE de manera eficiente.
• Eficiencia asignativa
• Equilibrio económico
• Teoría del equilibrio general
• subasta walrasiana

Referencias

1. K. Arrow, 'Una extensión de los teoremas básicos de la economía del bienestar clásica' (1951); G. Debreu, 'El coeficiente de utilización de recursos' (1951)
2. Liad Blumrosen y Noam Nisam (2007). "Subastas combinatorias / Equilibrio walrasiano". En Nisán, Noam; Jardín áspero, Tim; Tardós, Eva; Vazirani, Vijay (eds.). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . págs. 277-279. ISBN 978-0521872829.
3. Liad Blumrosen y Noam Nisam (2007). "Subastas combinatorias / Subastas ascendentes". En Nisán, Noam; Jardín áspero, Tim; Tardós, Eva; Vazirani, Vijay (eds.). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . págs. 289–294. ISBN 978-0521872829.
4. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
5. Jasidim, Avinatan; Kaplan, Haim; Mansur, Yishay; Nisán, Noam (2011). "Equilibrios distintos de precios en mercados de bienes discretos". Actas de la 12ª conferencia ACM sobre comercio electrónico - EC '11 . pag. 295. arXiv : 1103.3950 . doi :10.1145/1993574.1993619. ISBN 9781450302616.
6. El término fue introducido en: Kelso, AS; Crawford, vicepresidente (1982). "Conjunción de empleos, formación de coaliciones y sustitutos brutos". Econométrica . 50 (6): 1483. doi : 10.2307/1913392. JSTOR  1913392.
7. Gul, F.; Stacchetti, E. (2000). "La subasta inglesa con productos diferenciados". Revista de teoría económica . 92 : 66–95. doi :10.1006/jeth.1999.2580.
8. Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Equilibrio walrasiano con sustitutos brutos". Revista de teoría económica . 87 : 95-124. doi :10.1006/jeth.1999.2531.
9. Callan, SJ y Thomas, JM (2007). 'Modelado del proceso de mercado: una revisión de los conceptos básicos', Capítulo 2 en Economía y gestión ambiental: teoría, política y aplicaciones , 4ª ed., Thompson Southwestern, Mason, OH, EE. UU.
10. Ben-Zwi, Oren; Lavi, Ron; Newman, Ilán (2013). "Subastas ascendentes y equilibrio walrasiano". arXiv : 1301.1153v3 [cs.GT].

• Richter, MK; Wong, KC (1999). "Incomputabilidad del equilibrio competitivo". Teoría económica . 14 : 1–27. doi :10.1007/s001990050281. S2CID  121248813.

enlaces externos

• Equilibrio competitivo, equilibrio walrasiano y subasta walrasiana en Economics Stack Exchange.