En matemáticas , el teorema de Cayley-Bacharach es un enunciado sobre las curvas cúbicas (curvas planas de grado tres) en el plano proyectivo P 2 . La forma original dice:
Una forma más intrínseca del teorema de Cayley-Bacharach se lee de la siguiente manera:
Un resultado relacionado sobre las cónicas fue demostrado por primera vez por el geómetra francés Michel Chasles y luego generalizado a las cúbicas por Arthur Cayley e Isaak Bacharach . [1]
Si siete de los puntos P 1 , ..., P 8 se encuentran en una cónica , entonces el noveno punto puede elegirse en esa cónica, ya que C siempre contendrá toda la cónica debido al teorema de Bézout . En otros casos, tenemos lo siguiente.
En ese caso, toda cúbica que pase por P 1 , ..., P 8 pasa también por la intersección de cualesquiera dos cúbicas distintas que pasen por P 1 , ..., P 8 , que tengan al menos nueve puntos (sobre la clausura algebraica ) en virtud del teorema de Bézout . Estos puntos no pueden ser cubiertos únicamente por P 1 , ..., P 8 , lo que nos da P 9 .
Como las cónicas degeneradas son la unión de dos líneas como máximo, siempre hay cuatro de los siete puntos de una cónica degenerada que son colineales. En consecuencia:
Por otra parte, supongamos que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 son colineales y que no hay siete puntos de P 1 , ..., P 8 que sean coconónicos. Entonces no hay cinco puntos de P 1 , ..., P 8 ni tres puntos de P 5 , P 6 , P 7 , P 8 que sean colineales. Como C siempre contendrá toda la línea que pasa por P 1 , P 2 , P 3 , P 4 debido al teorema de Bézout , el espacio vectorial de polinomios homogéneos cúbicos que se anulan en (los conos afines de) P 1 , ..., P 8 es isomorfo al espacio vectorial de polinomios homogéneos cuadráticos que se anulan (los conos afines de) P 5 , P 6 , P 7 , P 8 , que tiene dimensión dos.
Aunque los conjuntos de condiciones para ambos resultados de dimensión dos son diferentes, ambos son estrictamente más débiles que las posiciones generales completas: se permite que tres puntos sean colineales y que seis puntos se encuentren en una cónica (en general, dos puntos determinan una línea y cinco puntos determinan una cónica ). Para el teorema de Cayley-Bacharach, es necesario tener una familia de cúbicas que pasen por los nueve puntos, en lugar de una sola.
Según el teorema de Bézout , dos curvas cúbicas diferentes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado que no tienen componente irreducible común se encuentran exactamente en nueve puntos (contados con multiplicidad). El teorema de Cayley-Bacharach afirma entonces que el último punto de intersección de cualesquiera dos miembros de la familia de curvas no se mueve si ya se han prescrito ocho puntos de intersección (sin siete coconicos).
Un caso especial es el teorema de Pascal , en cuyo caso las dos cúbicas en cuestión son todas degeneradas: dados seis puntos en una cónica (un hexágono), considérense las líneas obtenidas al extender los lados opuestos; esto produce dos cúbicas de tres líneas cada una, que se intersecan en 9 puntos: los 6 puntos en la cónica y otros 3. Estos 3 puntos adicionales se encuentran en una línea, ya que la cónica más la línea que pasa por dos de los puntos es una cúbica que pasa por 8 de los puntos.
Una segunda aplicación es el teorema del hexágono de Pappus , similar al anterior, pero los seis puntos están en dos líneas en lugar de en una cónica.
Finalmente, se encuentra un tercer caso para demostrar la asociatividad de la suma de puntos en curvas elípticas . Sea una primera cúbica que contenga las tres rectas BC, O(A+B) y A(B+C); y una segunda cúbica que contenga las tres rectas AB, O(B+C) y C(A+B). Los siguientes ocho puntos son comunes a ambas cúbicas: A, B, C, A+B, -AB, B+C, -BC, O. Por lo tanto, sus novenos puntos deben ser los mismos -A-(B+C)=-(A+B)-C, lo que da la asociatividad.
El teorema de Cayley-Bacharach y por qué surge para el grado 3 se pueden entender contando las dimensiones . En términos simples, nueve puntos determinan una cúbica, pero en general definen una cúbica única . Por lo tanto, si los nueve puntos se encuentran en más de una cúbica, equivalentemente en la intersección de dos cúbicas (como 3 × 3 = 9 ), no están en posición general – están sobredeterminados por una dimensión – y por lo tanto las cúbicas que pasan a través de ellos satisfacen una restricción adicional, como se refleja en la propiedad "ocho implica nueve". El fenómeno general se llama superabundancia ; vea el teorema de Riemann-Roch para superficies .
Formalmente, primero recordemos que dadas dos curvas de grado d , definen un lápiz ( sistema lineal de un parámetro ) de curvas de grado d tomando combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones definitorias; esto corresponde a dos puntos que determinan una línea proyectiva en el espacio de parámetros de las curvas, que es simplemente espacio proyectivo.
El teorema de Cayley-Bacharach surge para un grado alto porque el número de puntos de intersección de dos curvas de grado d , es decir d 2 (por el teorema de Bézout ), crece más rápido que el número de puntos necesarios para definir una curva de grado d , que viene dado por
Estos primero concuerdan para d = 3 , por lo que el teorema de Cayley-Bacharach ocurre para cúbicas, y para mayor grado d 2 es mayor, de ahí las generalizaciones de mayor grado.
En detalle, el número de puntos necesarios para determinar una curva de grado d es el número de monomios de grado d menos 1 de la proyectivización. Para los primeros d, estos dan:
Por lo tanto, estos primeros concuerdan para 3, y el número de intersecciones es mayor cuando d > 3 .
El significado de esto es que los 9 puntos de intersección de dos cúbicas están en una posición especial con respecto a las cúbicas, a fortiori para un grado superior, pero a diferencia de un grado inferior: dos líneas se intersecan en un punto, que está trivialmente en una posición lineal general, y dos cuadráticas se intersecan en cuatro puntos, que (asumiendo que las cuadráticas son irreducibles, de modo que no hay tres puntos colineales) están en una posición cuadrática general porque cinco puntos determinan una cuadrática, y cualesquiera cuatro puntos (en posición lineal general) tienen un lápiz de cuadráticas que los atraviesan, ya que el sistema está subdeterminado. Para las cúbicas, nueve puntos determinan una cúbica, pero en general determinan una cúbica única ; por lo tanto, que dos cúbicas diferentes pasen por ellas (y, por lo tanto, un lápiz) es especial: el espacio de soluciones es una dimensión mayor que lo esperado y, por lo tanto, las soluciones satisfacen una restricción adicional, a saber, la propiedad "8 implica 9".
Más concretamente, debido a que el espacio vectorial de polinomios homogéneos P ( x , y , z ) de grado tres en tres variables x , y , z tiene dimensión 10 , el sistema de curvas cúbicas que pasa por ocho puntos (diferentes) está parametrizado por un espacio vectorial de dimensión ≥ 2 (la desaparición del polinomio en un punto impone una única condición lineal). Se puede demostrar que la dimensión es exactamente dos si no hay cuatro de los puntos colineales y no hay siete puntos que se encuentren en una cónica. El teorema de Cayley-Bacharach se puede deducir de este hecho. [2]
