En matemáticas , el fibrado canónico de una variedad algebraica no singular de dimensión sobre un cuerpo es el fibrado lineal , que es la ésima potencia exterior del fibrado cotangente en .
Sobre los números complejos , es el fibrado determinante del fibrado cotangente holomorfo . Equivalentemente, es el fibrado lineal de las formas holomorfas en . Este es el objeto dualizante para la dualidad de Serre en . Puede considerarse igualmente como un haz invertible .
La clase canónica es la clase divisora de un divisor de Cartier en que da lugar al fibrado canónico —es una clase de equivalencia para equivalencia lineal en , y cualquier divisor en ella puede llamarse divisor canónico . Un divisor anticanónico es cualquier divisor − con canónico.
El fibrado anticanónico es el fibrado inverso correspondiente . Cuando el fibrado anticanónico de es amplio , se denomina variedad de Fano .
Supongamos que es una variedad suave y que es un divisor suave en . La fórmula de adjunción relaciona los fibrados canónicos de y . Es un isomorfismo natural
En términos de clases canónicas, es
Esta fórmula es una de las más potentes de la geometría algebraica. Una herramienta importante de la geometría biracional moderna es la inversión de la adjunción , que permite deducir resultados sobre las singularidades de a partir de las singularidades de .
Sea una superficie normal. Una fibración de género de es un morfismo plano propio de una curva suave tal que y todas las fibras de tienen género aritmético . Si es una superficie proyectiva suave y las fibras de no contienen curvas racionales de autointersección , entonces la fibración se llama mínima . Por ejemplo, si admite una fibración de género 0 (mínima), entonces es biracional, es decir, biracional a .
Para una fibración de género 1 mínima (también llamada fibración elíptica ) todas las fibras de , salvo un número finito, son geométricamente integrales y todas las fibras están geométricamente conectadas (por el teorema de conectividad de Zariski ). En particular, para una fibra de , tenemos que donde es un divisor canónico de ; por lo que para , si es geométricamente integral si y en caso contrario.
Considérese una fibración de género 1 mínima . Sean las fibras finitas que no son geométricamente integrales y escriba donde es el máximo común divisor de los coeficientes de la expansión de en componentes integrales; estas se denominan fibras múltiples . Por cohomología y cambio de base se tiene que donde es un haz invertible y es un haz de torsión ( se apoya en tal que ). Entonces, se tiene que
donde para cada y . [1] Se observa que
Por ejemplo, para la fibración mínima de género 1 de una superficie (cuasi)-bielíptica inducida por el morfismo de Albanese , la fórmula del fibrado canónico indica que esta fibración no tiene fibras múltiples. Se puede hacer una deducción similar para cualquier fibración mínima de género 1 de una superficie K3 . Por otro lado, una fibración mínima de género uno de una superficie de Enriques siempre admitirá fibras múltiples y, por lo tanto, dicha superficie no admitirá una sección.
En una variedad singular , hay varias formas de definir el divisor canónico. Si la variedad es normal, es suave en la codimensión uno. En particular, podemos definir el divisor canónico en el lugar geométrico suave. Esto nos da una clase de divisor de Weil única en . Es esta clase, denotada por la que se conoce como el divisor canónico en
Alternativamente, nuevamente en una variedad normal , se puede considerar , la 'ésima cohomología del complejo dualizante normalizado de . Este haz corresponde a una clase divisora de Weil , que es igual a la clase divisora definida anteriormente. En ausencia de la hipótesis de normalidad, el mismo resultado se cumple si es S2 y Gorenstein en dimensión uno.
Si la clase canónica es efectiva , entonces determina una función racional de V en el espacio proyectivo. Esta función se llama función canónica . La función racional determinada por el n -ésimo múltiplo de la clase canónica es la función n -canónica . La función n -canónica envía a V a un espacio proyectivo de dimensión uno menos que la dimensión de las secciones globales del n -ésimo múltiplo de la clase canónica. Las funciones n -canónicas pueden tener puntos base, lo que significa que no están definidas en todas partes (es decir, no pueden ser un morfismo de variedades). Pueden tener fibras dimensionales positivas, e incluso si tienen fibras dimensionales cero, no necesitan ser isomorfismos analíticos locales.
El caso mejor estudiado es el de las curvas. En este caso, el fibrado canónico es el mismo que el fibrado cotangente (holomorfo) . Por lo tanto, una sección global del fibrado canónico es lo mismo que una forma diferencial regular en todas partes. Clásicamente, se las denominaba diferenciales de primera especie . El grado de la clase canónica es 2 g − 2 para una curva de género g . [2]
Supóngase que C es una curva algebraica suave de género g . Si g es cero, entonces C es P1 , y la clase canónica es la clase de −2 P , donde P es cualquier punto de C. Esto se deduce de la fórmula de cálculo d (1/ t ) = − dt / t2 , por ejemplo, una diferencial meromórfica con doble polo en el origen en la esfera de Riemann . En particular, KC y sus múltiplos no son efectivos. Si g es uno, entonces C es una curva elíptica , y KC es el fibrado trivial. Las secciones globales del fibrado trivial forman un espacio vectorial unidimensional, por lo que la función n -canónica para cualquier n es la función a un punto.
Si C tiene género dos o más, entonces la clase canónica es grande , por lo que la imagen de cualquier función n -canónica es una curva. La imagen de la función 1-canónica se llama curva canónica . Una curva canónica de género g siempre se encuentra en un espacio proyectivo de dimensión g − 1. [ 3] Cuando C es una curva hiperelíptica , la curva canónica es una curva normal racional y C una doble cobertura de su curva canónica. Por ejemplo, si P es un polinomio de grado 6 (sin raíces repetidas), entonces
es una representación de curva afín de una curva de género 2, necesariamente hiperelíptica, y una base de las diferenciales del primer tipo se da en la misma notación por
Esto significa que la función canónica está dada por coordenadas homogéneas [1: x ] como un morfismo de la línea proyectiva. La curva normal racional para curvas hiperelípticas de género superior surge de la misma manera con monomios de potencia superior en x .
De lo contrario, para C no hiperelíptica que significa que g es al menos 3, el morfismo es un isomorfismo de C con su imagen, que tiene grado 2 g − 2. Por lo tanto, para g = 3, las curvas canónicas (caso no hiperelíptico) son curvas planas cuárticas . Todas las cuárticas planas no singulares surgen de esta manera. Hay información explícita para el caso g = 4, cuando una curva canónica es una intersección de una superficie cuádrica y una cúbica ; y para g = 5 cuando es una intersección de tres cuádricas. [3] Hay un recíproco, que es un corolario del teorema de Riemann-Roch : una curva no singular C de género g incrustada en un espacio proyectivo de dimensión g − 1 como una curva normal lineal de grado 2 g − 2 es una curva canónica, siempre que su extensión lineal sea todo el espacio. De hecho, la relación entre las curvas canónicas C (en el caso no hiperelíptico de g al menos 3), Riemann-Roch y la teoría de divisores especiales es bastante estrecha. Los divisores efectivos D en C que consisten en puntos distintos tienen un espacio lineal en la incrustación canónica con una dimensión directamente relacionada con la del sistema lineal en el que se mueven; y con un poco más de discusión esto se aplica también al caso de puntos con multiplicidades. [4] [5]
Hay disponible información más refinada para valores mayores de g , pero en estos casos las curvas canónicas no son generalmente intersecciones completas , y la descripción requiere más consideración del álgebra conmutativa . El campo comenzó con el teorema de Max Noether : la dimensión del espacio de cuádricas que pasan por C como curva canónica es ( g − 2)( g − 3)/2. [6] El teorema de Petri , a menudo citado bajo este nombre y publicado en 1923 por Karl Petri (1881-1955), establece que para g al menos 4 el ideal homogéneo que define la curva canónica es generado por sus elementos de grado 2, excepto para los casos de (a) curvas trigonales y (b) quinticas planas no singulares cuando g = 6. En los casos excepcionales, el ideal es generado por los elementos de grados 2 y 3. Históricamente hablando, este resultado era ampliamente conocido antes de Petri, y ha sido llamado el teorema de Babbage-Chisini-Enriques (por Dennis Babbage que completó la prueba, Oscar Chisini y Federigo Enriques ). La terminología es confusa, ya que el resultado también se llama teorema de Noether-Enriques . Fuera de los casos hiperelípticos, Noether demostró que (en lenguaje moderno) el fibrado canónico se genera normalmente : las potencias simétricas del espacio de secciones del fibrado canónico se proyectan sobre las secciones de sus potencias tensoriales. [7] [8] Esto implica, por ejemplo, la generación de las diferenciales cuadráticas en tales curvas por las diferenciales de la primera especie; y esto tiene consecuencias para el teorema local de Torelli . [9] El trabajo de Petri proporcionó en realidad generadores cuadráticos y cúbicos explícitos del ideal, mostrando que, aparte de las excepciones, las cúbicas podían expresarse en términos de las cuadráticas. En los casos excepcionales, la intersección de las cuadráticas a través de la curva canónica es respectivamente una superficie reglada y una superficie veronesa .
Estos resultados clásicos se demostraron sobre números complejos, pero la discusión moderna muestra que las técnicas funcionan sobre campos de cualquier característica. [10]
El anillo canónico de V es el anillo graduado
Si la clase canónica de V es un fibrado lineal amplio , entonces el anillo canónico es el anillo de coordenadas homogéneas de la imagen de la función canónica. Esto puede ser cierto incluso cuando la clase canónica de V no es amplia. Por ejemplo, si V es una curva hiperelíptica, entonces el anillo canónico es nuevamente el anillo de coordenadas homogéneas de la imagen de la función canónica. En general, si el anillo anterior es finitamente generado, entonces es elemental ver que es el anillo de coordenadas homogéneas de la imagen de una función k -canónica, donde k es cualquier entero positivo suficientemente divisible.
El programa de modelo mínimo propuso que el anillo canónico de cada variedad proyectiva suave o ligeramente singular se generaba finitamente. En particular, se sabía que esto implicaba la existencia de un modelo canónico , un modelo birracional particular de V con singularidades leves que se podía construir eliminando V. Cuando el anillo canónico se genera finitamente, el modelo canónico es Proj del anillo canónico. Si el anillo canónico no se genera finitamente, entonces Proj R no es una variedad, y por lo tanto no puede ser biracional a V ; en particular, V no admite ningún modelo canónico. Se puede demostrar que si el divisor canónico K de V es un divisor nef y la autointersección de K es mayor que cero, entonces V admitirá un modelo canónico (de manera más general, esto es cierto para espacios algebraicos de Gorenstein completos normales [11] ). [12]
Un teorema fundamental de Birkar–Cascini–Hacon–McKernan de 2006 [13] es que el anillo canónico de una variedad algebraica proyectiva suave o ligeramente singular se genera finitamente.
La dimensión Kodaira de V es la dimensión del anillo canónico menos uno. Aquí la dimensión del anillo canónico puede interpretarse como la dimensión de Krull o el grado de trascendencia .
