Campo vectorial de muerte conforme

Campo vectorial en geometría conforme

En geometría conforme , un campo vectorial de Killing conforme en una variedad de dimensión n con métrica (pseudo) de Riemann (también llamado vector de Killing conforme, CKV o colineación conforme), es un campo vectorial cuyo flujo (definido localmente) define transformaciones conformes , es decir, conserva hasta la escala y conserva la estructura conforme. Existen varias formulaciones equivalentes, llamadas ecuación de Killing conforme , en términos de la derivada de Lie del flujo, por ejemplo, para alguna función en la variedad. Porque hay un número finito de soluciones, que especifican la simetría conforme de ese espacio, pero en dos dimensiones, hay una infinidad de soluciones . El nombre Killing se refiere a Wilhelm Killing , quien investigó por primera vez los campos vectoriales de Killing . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\neq 2}$

Tensor métrico densificado y vectores de Killing conforme

Un campo vectorial es un campo vectorial de Killing si y solo si su flujo preserva el tensor métrico (estrictamente hablando, para cada subconjunto compacto de la variedad, el flujo solo necesita definirse para un tiempo finito). Formulado matemáticamente, es Killing si y solo si satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$

¿Dónde está la derivada de Lie? ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

De manera más general, defina un campo vectorial w -Killing como un campo vectorial cuyo flujo (local) preserva la métrica densificada , donde es la densidad de volumen definida por (es decir, localmente ) y es su peso. Nótese que un campo vectorial de Killing preserva y, por lo tanto, también satisface automáticamente esta ecuación más general. Nótese también que es el peso único que hace que la combinación sea invariante bajo el escalamiento de la métrica. Por lo tanto, en este caso, la condición depende solo de la estructura conforme . Ahora bien, es un campo vectorial w -Killing si y solo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}$

Dado que esto es equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}$

Tomando trazas de ambos lados, concluimos . Por lo tanto, para , necesariamente y un campo vectorial de Killing w es simplemente un campo vectorial de Killing normal cuyo flujo preserva la métrica. Sin embargo, para , el flujo de solo tiene que preservar la estructura conforme y es, por definición, un campo vectorial de Killing conforme . ${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$ ${\displaystyle w\neq -2/n}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle X}$

Formulaciones equivalentes

Los siguientes son equivalentes

1. ${\displaystyle X}$es un campo vectorial de Killing conforme,
2. El flujo (definido localmente) conserva la estructura conforme, ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$para alguna función ${\displaystyle \lambda .}$

La discusión anterior demuestra la equivalencia de todas las formas excepto la última, que parece más general. Sin embargo, las dos últimas formas también son equivalentes: tomar trazas muestra que necesariamente . ${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$

La última forma deja claro que cualquier vector de Killing es también un vector de Killing conforme, con ${\displaystyle \lambda \cong 0.}$

La ecuación de Killing conforme

Usando que donde es la derivada de Levi Civita de (también conocida como derivada covariante), y es la forma dual 1 de (también conocido como vector covariante asociado también conocido como vector con índices reducidos), y es la proyección en la parte simétrica, uno puede escribir la ecuación de Killing conforme en notación de índice abstracto como ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

Otra notación de índice para escribir las ecuaciones de Killing conformes es

${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}$

Ejemplos

Espacio plano

En el espacio plano -dimensional, es decir, el espacio euclidiano o pseudoeuclidiano , existen coordenadas globalmente planas en las que tenemos una métrica constante, donde en el espacio con signatura , tenemos componentes . En estas coordenadas, las componentes de conexión se anulan, por lo que la derivada covariante es la derivada de la coordenada. La ecuación de Killing conforme en el espacio plano es Las soluciones de la ecuación de Killing conforme en el espacio plano incluyen las soluciones de la ecuación de Killing en el espacio plano analizadas en el artículo sobre campos vectoriales de Killing. Estas generan el grupo de Poincaré de isometrías del espacio plano. Considerando el ansatz , eliminamos la parte antisimétrica de ya que corresponde a soluciones conocidas, y estamos buscando nuevas soluciones. Entonces es simétrico. Se deduce que esta es una dilatación , con para real , y vector de Killing correspondiente . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ $${\displaystyle \partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.}$$ ${\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{\mu }=\lambda x^{\mu }}$

A partir de la solución general existen más generadores, conocidos como transformaciones conformes especiales , dadas por ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },}$

donde la parte sin traza de over desaparece, por lo tanto puede parametrizarse mediante . ${\displaystyle c_{\mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}$

En conjunto, las traslaciones, las transformaciones de Lorentz, la dilatación y las transformaciones conformes especiales comprenden el álgebra conforme, que genera el grupo conforme del espacio pseudoeuclidiano. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Campo vectorial afín
• Tensor de Killing conforme
• Colineación de curvatura
• Variedad de Einstein
• Campo vectorial homotético
• Operador diferencial invariante
• Campo vectorial de la muerte
• Colineación de materia
• Simetrías del espacio-tiempo

Referencias

1. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN  0-387-94785-X

Lectura adicional

• Wald, RM (1984). Relatividad general. The University of Chicago Press.