Campo Levi-Civita

Sistema de números con cantidades no finitas

En matemáticas, el cuerpo de Levi-Civita , llamado así por Tullio Levi-Civita , ^[1] es un cuerpo ordenado no arquimediano ; es decir, un sistema de números que contiene cantidades infinitas e infinitesimales . Generalmente se denota como . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Cada miembro puede construirse como una serie formal de la forma ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},}$

donde es el conjunto de números racionales , los coeficientes son números reales y debe interpretarse como un infinitesimal positivo fijo. Requerimos que para cada número racional , solo haya un número finito de números menores que con ; esta restricción es necesaria para que la multiplicación y la división estén bien definidas y sean únicas. Dos de estas series se consideran iguales solo si todos sus coeficientes son iguales. El orden se define de acuerdo con el orden del diccionario de la lista de coeficientes, que es equivalente a la suposición de que es un infinitesimal. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{q}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Los números reales se incorporan a este campo como series en las que todos los coeficientes se desvanecen excepto . ${\displaystyle a_{0}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle 7\varepsilon }$es un infinitesimal que es mayor que , pero menor que todo número real positivo. ${\displaystyle \varepsilon }$
• ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$es menor que , y también es menor que para cualquier real positivo . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon }$difiere infinitesimalmente de 1.
• ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$es mayor que e incluso mayor que para cualquier número real positivo , pero aún es menor que todo número real positivo. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$
• ${\displaystyle 1/\varepsilon }$es mayor que cualquier número real.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$se interpreta como , que difiere infinitesimalmente de 1. ${\displaystyle e^{\varepsilon }}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$es un miembro válido del campo, porque la serie debe construirse formalmente, sin ninguna consideración de convergencia .

Definición de las operaciones de campo y cono positivo

Si y son dos series de Levi-Civita, entonces ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$ ${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$

• Su suma es la suma puntual . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$
• Su producto es el producto Cauchy . ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$

(Se puede comprobar que para cada conjunto es finito, de modo que todos los productos están bien definidos y que la serie resultante define una serie de Levi-Civita válida.) ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}}$

• La relación se cumple si (es decir, al menos un coeficiente de es distinto de cero) y el menor coeficiente distinto de cero de es estrictamente positivo. ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Equipado con esas operaciones y orden, el campo de Levi-Civita es de hecho una extensión del campo ordenado donde la serie es un infinitesimal positivo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Propiedades y aplicaciones

El campo de Levi-Civita es cerrado en términos reales , lo que significa que puede cerrarse algebraicamente mediante la adición de una unidad imaginaria ( i ), o permitiendo que los coeficientes sean complejos . Es lo suficientemente rico como para permitir que se realice una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún pueden representarse en una computadora en el mismo sentido en que los números reales pueden representarse utilizando coma flotante . Es la base de la diferenciación automática , una forma de realizar la diferenciación en casos que son intratables mediante la diferenciación simbólica o los métodos de diferencias finitas. ^[2]

El campo de Levi-Civita también es Cauchy completo , lo que significa que si relativizamos las definiciones de secuencia de Cauchy y secuencia convergente a secuencias de series de Levi-Civita, cada secuencia de Cauchy en el campo converge. De manera equivalente, no tiene una extensión de campo denso ordenado propia. ${\displaystyle \forall \exists \forall }$

Como cuerpo ordenado, tiene una valoración natural dada por el exponente racional correspondiente al primer coeficiente distinto de cero de una serie de Levi-Civita. El anillo de valoración es el de las series acotadas por números reales, el cuerpo de residuos es , y el grupo de valores es . El cuerpo valorado resultante es henseliano (al ser real cerrado con un anillo de valoración convexo) pero no esféricamente completo . De hecho, el cuerpo de la serie de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores es una extensión inmediata propia, que contiene series como las que no están en el cuerpo de Levi-Civita. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle 1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots }$

Relaciones con otros campos ordenados

El cuerpo de Levi-Civita es la compleción de Cauchy del cuerpo de la serie de Puiseux sobre el cuerpo de los números reales, es decir, es una extensión densa de sin extensión densa propia. A continuación se muestra una lista de algunos de sus subcuerpos propios notables y sus extensiones de cuerpo ordenadas propias: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Subcampos notables

• El campo de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo de fracciones de polinomios reales ( funciones racionales ) con indeterminación positiva infinitesimal . ${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• El campo de la serie formal de Laurent sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} ((\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo de la serie de Puiseux sobre . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Extensiones notables

• El campo de series de Hahn con coeficientes reales y exponentes racionales. ${\displaystyle \mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]}$
• El campo de las transseries logarítmico-exponenciales . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$
• El campo de números surrealistas con fecha de nacimiento debajo del primer número . ${\displaystyle \mathbf {No} (\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• Campos de números hiperreales construidos como ultrapotencias de módulo un ultrafiltro libre (aunque aquí las incrustaciones no son canónicas). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Referencias

1. Levi-Civita, Tullio (1893). "Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici" [Sobre los infinitos y los infinitesimales reales como elementos analíticos]. Atti Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti (en italiano). LI (7a): 1795–1815.
2. Khodr Shamseddine, Martin Berz "Análisis del campo de Levi-Civita: una breve descripción general", Matemáticas contemporáneas , 508 págs. 215-237 (2010)

Enlaces externos

• Una calculadora basada en la web para los números de Levi-Civita