Teorema de Cameron-Martin

Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.

En matemáticas , el teorema de Cameron-Martin o fórmula de Cameron-Martin (llamado así por Robert Horton Cameron y WT Martin ) es un teorema de la teoría de la medida que describe cómo la medida abstracta de Wiener cambia bajo la traslación de ciertos elementos del espacio de Hilbert de Cameron-Martin .

Motivación

La medida gaussiana estándar en el espacio euclidiano de dos dimensiones no es invariante a la traslación . (De hecho, existe una única medida de Radon invariante a la traslación hasta la escala del teorema de Haar : la medida de Lebesgue de dos dimensiones , denotada aquí ). En cambio, un subconjunto medible tiene medida gaussiana ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.}$

Aquí se hace referencia al producto escalar euclidiano estándar en . La medida gaussiana de la traslación de por un vector es ${\displaystyle \langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h\in \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{n}(A-h)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x-h,x-h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Entonces, bajo la traducción a través de , la medida gaussiana se escala según la función de distribución que aparece en la última visualización: ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

La medida que asocia al conjunto el número es la medida de empuje hacia adelante , denotada . Aquí se refiere al mapa de traducción: . El cálculo anterior muestra que la derivada de Radon-Nikodym de la medida de empuje hacia adelante con respecto a la medida gaussiana original está dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(A-h)}$ ${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).}$

La medida abstracta de Wiener en un espacio de Banach separable , donde es un espacio abstracto de Wiener , es también una "medida gaussiana" en un sentido adecuado. ¿Cómo cambia con la traslación? Resulta que se cumple una fórmula similar a la anterior si consideramos solo las traslaciones por elementos del subespacio denso . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle i(H)\subseteq E}$

Enunciado del teorema

Sea un espacio abstracto de Wiener con medida abstracta de Wiener . Para , defina por . Entonces es equivalente a con la derivada de Radon–Nikodym ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle \gamma :\operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle T_{h}:E\to E}$ ${\displaystyle T_{h}(x)=x+i(h)}$ ${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),}$

dónde

${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)}$

denota la integral de Paley-Wiener .

La fórmula de Cameron-Martin es válida únicamente para traslaciones por elementos del subespacio denso , llamado espacio de Cameron-Martin , y no por elementos arbitrarios de . Si la fórmula de Cameron-Martin fuera válida para traslaciones arbitrarias, contradeciría el siguiente resultado: ${\displaystyle i(H)\subseteq E}$ ${\displaystyle E}$

Si es un espacio de Banach separable y es una medida de Borel localmente finita en que es equivalente a su propio avance bajo cualquier traslación, entonces tiene dimensión finita o es la medida trivial (cero) . (Véase medida cuasi-invariante ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu }$

De hecho, es cuasi-invariante bajo la traslación de un elemento si y solo si . Los vectores en a veces se conocen como direcciones de Cameron-Martin . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v\in i(H)}$ ${\displaystyle i(H)}$

Integración por partes

La fórmula de Cameron-Martin da lugar a una fórmula de integración por partes en : si tiene derivada de Fréchet acotada , la integración de la fórmula de Cameron-Martin con respecto a la medida de Wiener en ambos lados da ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F:E\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}}$

${\displaystyle \int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)}$

Para cualquier . Derivando formalmente con respecto a y evaluando en se obtiene la fórmula de integración por partes ${\displaystyle t\in \mathbf {R} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).}$

La comparación con el teorema de divergencia del cálculo vectorial sugiere

${\displaystyle \mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },}$

donde es la constante " campo vectorial " para todo . El deseo de considerar campos vectoriales más generales y pensar en las integrales estocásticas como "divergencias" conduce al estudio de los procesos estocásticos y el cálculo de Malliavin y, en particular, el teorema de Clark-Ocone y su fórmula asociada de integración por partes. ${\displaystyle V_{h}:E\to E}$ ${\displaystyle V_{h}(x)=i(h)}$ ${\displaystyle x\in E}$

Una aplicación

Utilizando el teorema de Cameron-Martin se puede establecer (véase Liptser y Shiryayev 1977, pág. 280) que para una matriz definida no negativa simétrica cuyos elementos son continuos y satisfacen la condición ${\displaystyle q\times q}$ ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle H_{j,k}(t)}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,}$

Se cumple para un proceso de Wiener -dimensional que ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w(t)}$

${\displaystyle E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],}$

donde es una matriz definida no positiva que es una solución única de la ecuación diferencial de Riccati con valores matricial ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle q\times q}$

${\displaystyle {\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)}$

con la condición de contorno . ${\displaystyle G(T)=0}$

En el caso especial de un movimiento browniano unidimensional donde , la única solución es , y tenemos la fórmula original establecida por Cameron y Martin: ${\displaystyle H(t)=1/2}$ ${\displaystyle G(t)=\tanh(t-T)}$ $${\displaystyle E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.}$$

Véase también

• Teorema de Girsanov  – Teorema sobre cambios en procesos estocásticos
• Teorema de Sazonov

Referencias

• Cameron, RH; Martin, WT (1944). "Transformaciones de integrales de Wiener bajo traslaciones". Anales de Matemáticas . 45 (2): 386–396. doi :10.2307/1969276. JSTOR  1969276.
• Liptser, RS; Shiryayev, AN (1977). Estadística de procesos aleatorios I: teoría general . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90226-0.