La escala de Bohlen-Pierce ( escala BP ) es una afinación y escala musical , descrita por primera vez en la década de 1970, que ofrece una alternativa a las escalas de repetición de octavas típicas de la música occidental y otras músicas, [1] específicamente la escala diatónica de temperamento igual .
El intervalo 3:1 (a menudo llamado con un nuevo nombre, tritava ) sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando el 2:1 de la escala diatónica (la octava) con una doceava perfecta (una octava más alta que una quinta perfecta). Para cualquier tono que sea parte de la escala BP, todos los tonos uno o más tritavas más altos o más bajos también son parte del sistema y se consideran equivalentes.
La escala BP divide la tritava en 13 pasos, ya sea de temperamento igual (la forma más popular) o en una versión de afinación justa . En comparación con las escalas que se repiten en octavas, los intervalos de la escala BP son más consonantes con ciertos tipos de espectros acústicos . [ cita requerida ]
La escala fue descrita independientemente por Heinz Bohlen , [2] Kees van Prooijen [3] y John R. Pierce . Pierce, quien, junto con Max Mathews y otros, publicó su descubrimiento en 1984, [4] renombró la escala Pierce 3579b y su variante cromática como escala Bohlen-Pierce después de enterarse de la publicación anterior de Bohlen. Bohlen había propuesto la misma escala basándose en la consideración de la influencia de los tonos de combinación en la impresión Gestalt de intervalos y acordes. [5]
Los intervalos entre las clases de tono de la escala BP se basan en proporciones de frecuencias de números enteros impares , en contraste con los intervalos en las escalas diatónicas, que emplean proporciones tanto impares como pares que se encuentran en la serie armónica . Específicamente, los pasos de la escala BP se basan en proporciones de números enteros cuyos factores son 3, 5 y 7. Por lo tanto, la escala contiene armonías consonánticas basadas en los sobretonos armónicos impares 3:5:7:9 ( ). El acorde formado por la proporción 3:5:7 ( ) cumple una función muy similar a la del acorde 4:5:6 (una tríada mayor ) en las escalas diatónicas (3:5:7 = 1: 1+2/3: 2+1/3 y 4:5:6 = 2: 2+1/2: 3 = 1: 1+1/4: 1+1/2 ).
El patrón de sensibilidad de entonación de 3:5:7 es similar al de 4:5:6 (el acorde mayor), más similar que el del acorde menor. [6] Esta similitud sugiere que nuestros oídos también percibirán 3:5:7 como consonante.
El acorde 3:5:7 puede considerarse la tríada mayor de la escala BP. Se aproxima a él por un intervalo de 6 semitonos BP de temperamento igual ( ) en la parte inferior y un intervalo de 4 semitonos de temperamento igual en la parte superior (semitonos 0, 6, 10; ). Una tríada menor tiene, correspondientemente, 6 semitonos en la parte superior y 4 semitonos en la parte inferior (0, 4, 10; ). 5:7:9 es la primera inversión de la tríada mayor (0, 4, 7; ). [7]
Un estudio de tríadas cromáticas formadas a partir de combinaciones arbitrarias de los 13 tonos de la escala cromática entre doce músicos y doce oyentes no entrenados encontró que los semitonos 0, 1, 2 eran los acordes más disonantes ( ), pero 0, 11, 13 ( ) fue considerado el más consonante por los sujetos entrenados (porque suena como una tríada mayor con una octava reducida) y 0, 7, 10 ( ) fue juzgado como el más consonante por los sujetos no entrenados. [8]
Cada tono de la escala Pierce 3579b está en una tríada mayor y menor, excepto el tono II de la escala. Hay trece tonalidades posibles. La modulación es posible cambiando una sola nota. Al mover la nota II hacia arriba un semitono, la tónica sube a lo que era la nota III (semitono 3), que por lo tanto puede considerarse la dominante . Se puede considerar que el VIII (semitono 10) es el análogo de la subdominante . [7]
3:1 sirve como la relación armónica fundamental, reemplazando el 2:1 de la escala diatónica (la octava ). ( ) Este intervalo es una doceava perfecta en la nomenclatura diatónica ( quinta perfecta cuando se reduce en una octava), pero como esta terminología se basa en tamaños de paso y funciones que no se usan en la escala BP, a menudo se le llama con un nuevo nombre, tritava ( ), en contextos BP, refiriéndose a su papel como pseudooctava , y usando el prefijo "tri-" (tres) para distinguirlo de la octava. En las escalas convencionales, si un tono dado es parte del sistema, entonces todos los tonos una o más octavas más altos o más bajos también son parte del sistema y, además, se consideran equivalentes . En la escala BP, si un tono dado está presente, entonces ninguno de los tonos una o más octavas más altos o más bajos están presentes, pero todos los tonos una o más tritavas más altos o más bajos son parte del sistema y se consideran equivalentes.
El uso de proporciones de números enteros impares en la escala BP es apropiado para timbres que contienen solo armónicos impares. Debido a que el espectro del clarinete (en el registro chalumeau ) consiste principalmente en armónicos impares, y el instrumento sobresopla en la duodécima (o tritava) en lugar de la octava como lo hacen la mayoría de los otros instrumentos de viento madera, existe una afinidad natural entre esta y la escala de Bohlen-Pierce. Por sugerencia del compositor Georg Hajdu , el fabricante de clarinetes Stephen Fox desarrolló los primeros clarinetes soprano Bohlen-Pierce y comenzó a ofrecerlos a la venta a principios de 2006. Produjo el primer clarinete tenor BP (seis pasos por debajo del soprano) en 2010 y el primer clarinete épsilon (cuatro pasos por encima del soprano) en 2011. Un clarinete contra (un tritave más bajo que el soprano) es tocado ahora (2020) por Nora Mueller, Lübeck, Alemania.
Se puede construir una escala diatónica de Bohlen-Pierce con las siguientes proporciones (el gráfico muestra la escala "Lambda" (λ)):
Se puede construir una escala BP justa a partir de cuatro acordes superpuestos 3:5:7, por ejemplo, V, II, VI y IV, aunque se pueden elegir acordes diferentes para producir una escala similar: [9]
(5:3)(7:5)VI IX III | III VII Yo | VI. IV. | IVVIIIII
Bohlen expresó originalmente la escala BP tanto en entonación justa como en temperamento igual . La forma temperada , que divide la tritava en trece pasos iguales, se ha convertido en la forma más popular. Cada paso está 13 √ 3 = 3 1 ⁄ 13 = 1.08818… por encima del siguiente, o 1200 log 2 (3 1 ⁄ 13 ) = 146.3… cents por paso. La octava se divide en un número fraccionario de pasos. Se utilizan doce pasos igualmente temperados por octava en 12-tet . La escala de Bohlen-Pierce podría describirse como 8.202087-tet, porque una octava completa (1200 cents), dividida por 146.3… cents por paso, da 8.202087 pasos por octava.
Dividir la tritava en 13 pasos iguales atenúa, o reduce al unísono, ambos intervalos 245:243 (alrededor de 14 centésimas, a veces llamado diesis menor de Bohlen-Pierce ) y 3125:3087 (alrededor de 21 centésimas, a veces llamado diesis mayor de Bohlen-Pierce) de la misma manera que dividir la octava en 12 pasos iguales reduce tanto 81:80 ( coma sintónica ) como 128:125 ( limma de 5 límites ) al unísono. Un temperamento lineal de 7 límites atenúa ambos intervalos; el temperamento de Bohlen-Pierce resultante ya no tiene nada que ver con equivalencias de tritavas o escalas que no sean de octava, más allá del hecho de que está bien adaptado para usarlas. Una afinación de 41 pasos iguales por octava ( 1200 ⁄ 41 = 29,27 centésimas por paso) sería bastante lógica para este temperamento. En una afinación de este tipo, una doceava perfecta temperada (1902,4 centésimas, aproximadamente medio centésima más grande que una doceava justa) se divide en 65 pasos iguales, lo que da como resultado una aparente paradoja: tomar cada quinto grado de esta escala basada en octavas produce una excelente aproximación a la escala BP temperada de igual temperancia que no se basa en octavas. Además, un intervalo de cinco de estos pasos genera MOS (momentos de simetría) ( basados en octavas ) con 8, 9 o 17 notas, y la escala de 8 notas (que comprende los grados 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 de la escala de 41 notas) podría considerarse la versión equivalente a una octava de la escala de Bohlen-Pierce.
Las siguientes son las trece notas de la escala (centavos redondeados al número entero más cercano):
Justamente afinado
De temperamento igual
¿Cómo suena estéticamente la música que utiliza una escala de Bohlen-Pierce ? Dave Benson sugiere que resulta útil utilizar solo sonidos con armónicos impares, incluidos clarinetes o tonos sintetizados, pero sostiene que debido a que "algunos de los intervalos suenan un poco como intervalos en la escala de doce tonos [más familiar] , pero muy desafinados ", el oyente promedio sentirá continuamente "que algo no está del todo bien", debido al condicionamiento social . [10]
Mathews y Pierce concluyen que se pueden componer melodías claras y memorables en la escala BP, que "el contrapunto suena bien" y que "los pasajes de acordes suenan como armonía", presumiblemente significando progresión , "pero sin gran tensión o sentido de resolución". [11] En su estudio de 1989 sobre el juicio de consonancia, ambos intervalos de los cinco acordes calificados como más consonantes por músicos entrenados son aproximadamente intervalos diatónicos, lo que sugiere que su entrenamiento influyó en su selección y que una experiencia similar con la escala BP influiría de manera similar en sus elecciones. [8]
Las composiciones que utilizan la escala Bohlen-Pierce incluyen "Purity", el primer movimiento de Clang-Tint de Curtis Roads . [12] Otros compositores informáticos que utilizan la escala BP incluyen a Jon Appleton , Richard Boulanger ( Solemn Song for Evening (1990)), Georg Hajdu , ppP de Juan Reyes (1999-2000), [13] "A Wild and Reckless Place" de Ami Radunskaya (1990), [ 14] Charles Carpenter ( Frog à la Pêche (1994) y Splat ), [15] [16] y Elaine Walker ( Stick Men (1991), Love Song y Greater Good (2011)). [17]
David Lieberman, profesor asociado de arquitectura en la Universidad de Toronto , dirigió el desarrollo de un "Stredici", un instrumento de cuerda afinado en la escala de Bohlen-Pierce. El instrumento de cinco metros de largo se utilizó en conciertos en Boston en 2012. [18]
Del 7 al 9 de marzo de 2010 se celebró en Boston el primer simposio Bohlen-Pierce, organizado por el compositor Georg Hajdu ( Hochschule für Musik und Theater Hamburg ) y la Boston Microtonal Society . Los coorganizadores fueron el Boston Goethe Institute , el Berklee College of Music , la Northeastern University y el New England Conservatory of Music. Los participantes del simposio, entre los que se encontraban Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow , Curtis Roads , David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich , Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky , Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker, Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund y Kevin Foster, presentaron 20 trabajos sobre la historia y las propiedades de la escala de Bohlen-Pierce, interpretaron más de 40 composiciones en el novedoso sistema e introdujeron varios instrumentos musicales nuevos. Entre los intérpretes se encontraban los músicos alemanes Nora-Louise Müller y Ákos Hoffman con clarinetes de Bohlen-Pierce y Arturo Grolimund con flauta de pan de Bohlen-Pierce, así como el ensamble canadiense tranSpectra y la banda xenarmónica estadounidense ZIA, dirigida por Elaine Walker.
Otras afinaciones no octavas investigadas por Bohlen [19] incluyen doce pasos en la tritava, llamada A12 por Enrique Moreno [20] y basada en el acorde 4:7:10 , siete pasos en la octava ( 7-tet ) u 11 pasos similares en la tritava, y ocho pasos en la octava, basada en 5:7:9 y de la cual solo se usaría la versión justa. Además, la pentava se puede dividir en ocho pasos que se aproximan a acordes de la forma 5:9:13:17:21:25. [21] La escala de 833 cents de Bohlen se basa en la secuencia de Fibonacci , aunque fue creada a partir de tonos de combinación , y contiene una red compleja de relaciones armónicas debido a la inclusión de armónicos coincidentes de intervalos de 833 cents apilados. Por ejemplo, "el paso 10 resulta ser idéntico a la octava (1200 centésimas) del tono base, presentando al mismo tiempo la proporción áurea en el paso 3". [22]
Se pueden especificar escalas alternativas indicando el tamaño de los pasos de temperamento igual, por ejemplo, la escala alfa de 78 centésimas y la escala beta de 63,8 centésimas de Wendy Carlos , y la escala de 88 centésimas de Gary Morrison (13,64 pasos por octava o 14 por octava estirada de 1232 centésimas). [23] Esto da a la escala alfa 15,39 pasos por octava y a la escala beta 18,75 pasos por octava. [24]
Paul Erlich propuso dividir cada paso de la escala de Bohlen-Pierce en tercios, de modo que la tríada se dividiera en 39 pasos iguales en lugar de 13 pasos iguales. La escala, que puede verse como tres escalas de Bohlen-Pierce escalonadas de manera uniforme, da armónicos impares adicionales. La escala de 13 pasos alcanza los armónicos impares 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 y 15:7; mientras que la escala de 39 pasos incluye todos esos y muchos más (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 y 35:13), aunque todavía faltan casi todos los armónicos pares (incluidos 2:1; 3:2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 y 15:8). El tamaño de esta escala es de aproximadamente 25 pasos iguales en una proporción ligeramente mayor que una octava, por lo que cada uno de los 39 pasos iguales es ligeramente más pequeño que la mitad de uno de los 12 pasos iguales de la escala estándar. [25]
Dividiendo cada paso de la escala de Bohlen-Pierce en quintas (de modo que la tritava se divide en 65 pasos) se obtiene una octava muy precisa (41 pasos) y una quinta perfecta (24 pasos), así como aproximaciones para otros intervalos exactos. La escala es prácticamente idéntica a la división igual de la octava en 41 tonos , excepto que cada paso es ligeramente más pequeño (menos de una centésima de centésima por paso).