BIO-LGCA

En biología computacional y matemática , un autómata celular biológico de red gaseosa (BIO-LGCA) es un modelo discreto para agentes biológicos en movimiento e interacción, ^[1] un tipo de autómata celular . El BIO-LGCA se basa en el modelo de autómata celular de red gaseosa (LGCA) utilizado en dinámica de fluidos. Un modelo BIO-LGCA describe las células y otros agentes biológicos móviles como partículas puntuales que se mueven en una red discreta, interactuando así con partículas cercanas. A diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, las partículas en BIO-LGCA se definen por su posición y velocidad. Esto permite modelar y analizar fluidos activos y migración colectiva mediada principalmente por cambios en el momento, en lugar de la densidad. Las aplicaciones de BIO-LGCA incluyen la invasión del cáncer ^[2] y la progresión del cáncer . ^[3]

Definición del modelo

Como todos los modelos de autómatas celulares, un modelo BIO-LGCA se define mediante una red , un espacio de estados , un vecindario y una regla . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

• La red ( ) define el conjunto de todas las posibles posiciones de las partículas. Las partículas están restringidas a ocupar solo ciertas posiciones, que suelen resultar de una teselación regular y periódica del espacio. Matemáticamente, es un subconjunto discreto del espacio de dimensión dimensional. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$
• El espacio de estados ( ) describe los posibles estados de las partículas dentro de cada sitio de la red . En BIO-LGCA, múltiples partículas con diferentes velocidades pueden ocupar un solo sitio de la red, a diferencia de los modelos de autómatas celulares clásicos, donde típicamente solo una sola célula puede residir en cada nodo de la red simultáneamente. Esto hace que el espacio de estados sea ligeramente más complejo que el de los modelos de autómatas celulares clásicos (ver a continuación). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$
• El vecindario ( ) indica el subconjunto de sitios de la red que determina la dinámica de un sitio dado en la red. Las partículas solo interactúan con otras partículas dentro de su vecindario. Las condiciones de contorno deben elegirse para los vecindarios de sitios de la red en el límite de redes finitas. Los vecindarios y las condiciones de contorno se definen de manera idéntica a las de los autómatas celulares regulares (consulte Autómata celular ). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
• La regla ( ) dicta cómo las partículas se mueven, proliferan o mueren con el tiempo. Como todo autómata celular, BIO-LGCA evoluciona en pasos de tiempo discretos. Para simular la dinámica del sistema , la regla se aplica sincrónicamente a cada sitio de la red en cada paso de tiempo. La aplicación de la regla cambia el estado original de un sitio de la red a un nuevo estado. La regla depende de los estados de los sitios de la red en el vecindario de interacción del sitio de la red que se va a actualizar. En BIO-LGCA, la regla se divide en dos pasos, un paso de interacción probabilística seguido de un paso de transporte determinista. El paso de interacción simula los procesos de reorientación, nacimiento y muerte, y se define específicamente para el proceso modelado. El paso de transporte transloca partículas a nodos de red vecinos en la dirección de sus velocidades. Consulte a continuación para obtener más detalles. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Espacio de estados

Subestructura de un sitio reticular BIO-LGCA con seis canales de velocidad (que corresponden a una red hexagonal 2D) y un único canal de reposo. En este caso , , y la capacidad de carga . Los canales 2, 3, 6 y 7 están ocupados, por lo que la configuración reticular es , y el número de partículas es . ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle K=7}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(0,1,1,0,0,1,1)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)=\sum _{i=1}^{K}s_{i}=4}$

Para modelar explícitamente las velocidades de las partículas, se supone que los sitios reticulares tienen una subestructura específica. Cada sitio reticular está conectado a sus sitios reticulares vecinos a través de vectores llamados "canales de velocidad", , , donde el número de canales de velocidad es igual al número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, depende de la geometría reticular ( para una red unidimensional, para una red hexagonal bidimensional, etc.). En dos dimensiones, los canales de velocidad se definen como . Además, se puede definir un número arbitrario de los denominados "canales de reposo", de modo que , . Se dice que un canal está ocupado si hay una partícula en el sitio reticular con una velocidad igual al canal de velocidad. La ocupación del canal se indica mediante el número de ocupación . Normalmente, se supone que las partículas obedecen a un principio de exclusión , de modo que no más de una partícula puede ocupar un único canal de velocidad en un sitio reticular simultáneamente. En este caso, los números de ocupación son variables booleanas, es decir , y, por lo tanto, cada sitio tiene una capacidad de carga máxima . Dado que la colección de todos los números de ocupación del canal define la cantidad de partículas y sus velocidades en cada sitio de la red, el vector describe el estado de un sitio de la red y el espacio de estados está dado por . ${\displaystyle \mathbf {r} \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,b\}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}=(0,0)}$ ${\displaystyle i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle K=a+b}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}}$

Dinámica de reglas y modelos

Los estados de cada sitio en la red se actualizan sincrónicamente en pasos de tiempo discretos para simular la dinámica del modelo. La regla se divide en dos pasos. El paso de interacción probabilística simula la interacción de partículas, mientras que el paso de transporte determinista simula el movimiento de partículas.

Paso de interacción

Dependiendo de la aplicación específica, el paso de interacción puede estar compuesto de operadores de reacción y/o reorientación.

El operador de reacción reemplaza el estado de un nodo con un nuevo estado siguiendo una probabilidad de transición , que depende del estado de los sitios reticulares vecinos para simular la influencia de las partículas vecinas en el proceso reactivo. El operador de reacción no conserva el número de partículas, lo que permite simular el nacimiento y la muerte de individuos. La probabilidad de transición del operador de reacción suele definirse ad hoc a partir de observaciones fenomenológicas. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}}$

El operador de reorientación también reemplaza un estado con un nuevo estado con probabilidad . Sin embargo, este operador conserva el número de partículas y, por lo tanto, solo modela cambios en la velocidad de las partículas redistribuyendo las partículas entre los canales de velocidad. La probabilidad de transición para este operador se puede determinar a partir de observaciones estadísticas (utilizando el principio de calibre máximo ) o a partir de la dinámica de partículas individuales conocidas (utilizando la distribución de probabilidad angular de estado estable discretizada dada por la ecuación de Fokker-Planck asociada a una ecuación de Langevin que describe la dinámica de reorientación), ^{[5] [6]} y generalmente toma la forma donde es una constante de normalización (también conocida como función de partición ), es una función similar a la energía que las partículas probablemente minimizarán al cambiar su dirección de movimiento, es un parámetro libre inversamente proporcional a la aleatoriedad de la reorientación de partículas (análogo a la temperatura inversa en termodinámica), y es un delta de Kronecker que asegura que el número de partículas antes y después de la reorientación no cambie. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} \right)}$ ${\displaystyle n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$

La forma estatal resultante de aplicar el operador de reacción y reorientación se conoce como configuración de post-interacción y se denota por . ${\displaystyle \mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}}$

Dinámica del modelo BIO-LGCA. En cada paso de tiempo, los números de ocupación se modifican de forma estocástica mediante los operadores de reacción y/o reorientación en todos los sitios de la red simultáneamente durante el paso de interacción. Posteriormente, las partículas se mueven de forma determinista al mismo canal de velocidad en un nodo vecino en la dirección de su canal de velocidad, durante el paso de transporte. Los colores en el esquema se utilizan para rastrear la dinámica de las partículas de los nodos individuales. Este esquema supone una regla de conservación de partículas (sin operador de reacción).

Paso de transporte

Después de la etapa de interacción, se aplica de manera sincrónica a todos los sitios de la red la etapa de transporte determinista. La etapa de transporte simula el movimiento de los agentes según su velocidad, debido a la autopropulsión de los organismos vivos.

Durante este paso, los números de ocupación de los estados posteriores a la interacción se definirán como los nuevos estados de ocupación del mismo canal del sitio reticular vecino en la dirección del canal de velocidad, es decir . ${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )}$

Un nuevo paso temporal comienza cuando se han producido tanto la interacción como el transporte. Por lo tanto, la dinámica de la BIO-LGCA se puede resumir como la ecuación microdinámica de diferencias finitas estocásticas $${\displaystyle s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$$

Ejemplo de dinámica de interacción

Modelo BIO-LGCA hexagonal de enjambre polar. En este modelo, las células cambian preferentemente sus velocidades para ser paralelas al momento del vecindario. Los sitios de la red están coloreados de acuerdo con su orientación, siguiendo la rueda de colores . Los sitios vacíos son blancos. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

La probabilidad de transición del operador de reacción y/o reorientación debe definirse para simular adecuadamente el sistema modelado. A continuación se enumeran algunas interacciones elementales y las probabilidades de transición correspondientes.

Paseo aleatorio

En ausencia de estímulos externos o internos, las células pueden moverse aleatoriamente sin preferencia direccional. En este caso, el operador de reorientación puede definirse mediante una probabilidad de transición. $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}}$$

Modelo hexagonal BIO-LGCA de medios excitables. En este modelo, el operador de reacción favorece la reproducción rápida de partículas dentro de los canales de velocidad y la muerte lenta de partículas dentro de los canales de reposo. Las partículas en los canales de reposo inhiben la reproducción de partículas en los canales de velocidad. El operador de reorientación es el operador de paseo aleatorio en el texto. Los sitios de la red están coloreados de manera brillante cuanto más partículas móviles hay. Las partículas en reposo no se muestran. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

donde . Dicha probabilidad de transición permite que cualquier configuración posterior a la reorientación con el mismo número de partículas que la configuración previa a la reorientación se seleccione de manera uniforme . ${\displaystyle Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

Proceso simple de nacimiento y muerte

Si los organismos se reproducen y mueren independientemente de otros individuos (con la excepción de la capacidad de carga finita), entonces se puede simular un proceso simple de nacimiento/muerte ^[3] con una probabilidad de transición dada por donde , son probabilidades constantes de nacimiento y muerte, respectivamente, es el delta de Kronecker que asegura que solo ocurra un evento de nacimiento/muerte en cada paso de tiempo, y es la función de Heaviside , que asegura que los números de partículas sean positivos y estén limitados por la capacidad de carga . $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]}$$ ${\displaystyle r_{b},r_{d}\in [0,1]}$ ${\displaystyle r_{b}+r_{d}\leq 1}$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \Theta (x)}$ ${\displaystyle K}$

Modelo BIO-LGCA cuadrado de células que interactúan de forma adhesiva. Las células se mueven preferentemente en la dirección del gradiente de densidad celular. Los sitios reticulares se colorean con tonos azules cada vez más oscuros a medida que aumenta la densidad celular. Los nodos vacíos se colorean de blanco. Se utilizan condiciones de contorno periódicas.

Interacciones adhesivas

Las células pueden adherirse entre sí mediante moléculas de cadherina en la superficie celular. Las interacciones de cadherina permiten que las células formen agregados. La formación de agregados celulares a través de biomoléculas adhesivas se puede modelar ^[7] mediante un operador de reorientación con probabilidades de transición definidas como $${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]}$$

Modelo BIO-LGCA cuadrado de células que interactúan indirectamente de forma quimiotáctica . En este modelo, las células producen un quimioatrayente que se difunde con una vida media determinada . Las células se mueven preferentemente en la dirección del gradiente del quimioatrayente. Los sitios reticulares se colorean de forma aditiva con un tinte azul más oscuro a medida que aumenta la densidad celular y con un tinte amarillo más oscuro a medida que aumenta la concentración del quimioatrayente. Los sitios reticulares vacíos se colorean de blanco. Se utilizaron condiciones de contorno periódicas.

donde es un vector que apunta en la dirección de la máxima densidad celular, definida como , donde es la configuración del sitio reticular dentro del vecindario , y es el momento de la configuración posterior a la reorientación, definida como . Esta probabilidad de transición favorece las configuraciones posteriores a la reorientación con células que se mueven hacia el gradiente de densidad celular. ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}}$

Análisis matemático

Dado que un tratamiento exacto de un modelo estocástico basado en agentes rápidamente se vuelve inviable debido a las correlaciones de alto orden entre todos los agentes, ^[8] el método general para analizar un modelo BIO-LGCA es convertirlo en una ecuación de diferencias finitas (EDF) aproximada y determinista que describa la dinámica media de la población, luego realizar el análisis matemático de este modelo aproximado y comparar los resultados con el modelo BIO-LGCA original.

Primero, se obtiene el valor esperado de la ecuación microdinámica donde denota el valor esperado , y es el valor esperado del -ésimo número de ocupación del canal del sitio reticular en el paso de tiempo . Sin embargo, el término de la derecha es altamente no lineal en los números de ocupación tanto del sitio reticular como de los sitios reticulares dentro del vecindario de interacción , debido a la forma de la probabilidad de transición y las estadísticas de la ubicación de las partículas dentro de los canales de velocidad (por ejemplo, que surgen de un principio de exclusión impuesto a las ocupaciones del canal). Esta no linealidad daría como resultado correlaciones y momentos de alto orden entre todas las ocupaciones del canal involucradas. En cambio, generalmente se supone una aproximación de campo medio, en la que se descuidan todas las correlaciones y los momentos de alto orden, de modo que las interacciones directas partícula-partícula se sustituyen por interacciones con los respectivos valores esperados. En otras palabras, si son variables aleatorias, y es una función, entonces bajo esta aproximación. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación a donde es una función no lineal de la configuración del sitio reticular esperada y la configuración del vecindario esperada que depende de las probabilidades de transición y las estadísticas de partículas en el nodo. ${\displaystyle s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)}$

A partir de esta FDE no lineal, se pueden identificar varios estados estacionarios homogéneos o constantes independientes de y que son soluciones a la FDE. Para estudiar las condiciones de estabilidad de estos estados estacionarios y el potencial de formación de patrones del modelo, se puede realizar un análisis de estabilidad lineal . Para ello, la FDE no lineal se linealiza como donde denota el estado estacionario homogéneo , y se asumió una vecindad de von Neumann . Para convertirla en una ecuación de diferencias finitas más familiar con solo incrementos temporales, se puede aplicar una transformada de Fourier discreta en ambos lados de la ecuación. Después de aplicar el teorema de desplazamiento y aislar el término con un incremento temporal a la izquierda, se obtiene la ecuación de red-Boltzmann ^[4] donde es la unidad imaginaria , es el tamaño de la red a lo largo de una dimensión, es el número de onda de Fourier y denota la transformada de Fourier discreta. En notación matricial, esta ecuación se simplifica a , donde la matriz se denomina propagador de Boltzmann y se define como Los valores propios del propagador de Boltzmann dictan las propiedades de estabilidad del estado estable: ^[4] ${\displaystyle {\bar {f}}_{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {ss} }$ ${\displaystyle f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}}$ $${\displaystyle {\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}}$$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle {\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right].}$$ ${\displaystyle \lambda \left(\mathbf {q} \right)}$

• Si , donde denota el módulo , entonces las perturbaciones con número de onda crecen con el tiempo. Si , y , entonces las perturbaciones con número de onda dominarán y se observarán patrones con una longitud de onda clara . De lo contrario, el estado estacionario es estable y cualquier perturbación decaerá. ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1}$ ${\displaystyle \left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {max} }}$
• Si , donde denota el argumento , entonces se transportan perturbaciones y se observan comportamientos no estacionarios de la población. De lo contrario, la población parecerá estática a nivel macroscópico. ${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$

Aplicaciones

La construcción de un BIO-LGCA para el estudio de fenómenos biológicos implica principalmente definir probabilidades de transición apropiadas para el operador de interacción, aunque las definiciones precisas del espacio de estados (para considerar varios fenotipos celulares , por ejemplo), condiciones de contorno (para modelar fenómenos en condiciones confinadas), vecindad (para igualar cuantitativamente los rangos de interacción experimental) y capacidad de carga (para simular efectos de hacinamiento para tamaños de células determinados) pueden ser importantes para aplicaciones específicas. Si bien la distribución del operador de reorientación se puede obtener a través de los métodos estadísticos y biofísicos antes mencionados, la distribución de los operadores de reacción se puede estimar a partir de las estadísticas de experimentos in vitro , por ejemplo. ^[9]

Los modelos BIO-LGCA se han utilizado para estudiar diversos fenómenos celulares, biofísicos y médicos. Algunos ejemplos incluyen:

• Angiogénesis : ^[10] Se comparó un experimento in vitro con células endoteliales y observables de simulación BIO-LGCA para determinar los procesos involucrados durante la angiogénesis y su peso. Se encontró que la adhesión, la alineación, la guía de contacto y la remodelación de la matriz extracelular están involucradas en la angiogénesis, mientras que las interacciones de largo alcance no son vitales para el proceso.
• Fluidos activos : ^[11] Se investigaron las propiedades físicas macroscópicas de una población de partículas que interactúan a través de interacciones de alineación polar utilizando un modelo BIO-LGCA. Se descubrió que el aumento de la densidad inicial de partículas y la fuerza de interacción dan como resultado una transición de fase de segundo orden desde un estado homogéneo y desordenado a un estado ordenado, modelado y en movimiento.
• Epidemiología : ^[12] Se utilizó un modelo espacial SIR BIO-LGCA para estudiar el efecto de diferentes estrategias de vacunación y el efecto de aproximar una epidemia espacial con un modelo no espacial. Encontraron que las estrategias de vacunación de tipo barrera son mucho más efectivas que las estrategias de vacunación espacialmente uniformes. Además, encontraron que los modelos no espaciales sobreestiman en gran medida la tasa de infección.
• Bloqueo celular : ^[13] Se utilizaron modelos in vitro y Bio-LGCA para estudiar el comportamiento metastásico en el cáncer de mama. El modelo BIO-LGCA reveló que la metástasis puede exhibir diferentes comportamientos, como estados aleatorios similares a gases, sólidos bloqueados y fluidos correlacionados, según el nivel de adhesividad entre las células, la densidad de la matriz extracelular y las interacciones entre células y matrices extracelulares.

Referencias

1. Deutsch, Andreas; Nava-Sedeño, Josué Manik; Syga, Simon; Hatzikirou, Haralampos (15 de junio de 2021). "BIO-LGCA: una clase de modelado de autómatas celulares para analizar la migración celular colectiva". PLOS Computational Biology . 17 (6): e1009066. Bibcode :2021PLSCB..17E9066D. doi : 10.1371/journal.pcbi.1009066 . ISSN  1553-7358. PMC  8232544 . PMID  34129639.
2. Reher, David; Klink, Barbara; Deutsch, Andreas; Voss-Böhme, Anja (11 de agosto de 2017). "La heterogeneidad de la adhesión celular refuerza la diseminación de células tumorales: nuevos conocimientos a partir de un modelo matemático". Biology Direct . 12 (1): 18. doi : 10.1186/s13062-017-0188-z . ISSN  1745-6150. PMC 5553611 . PMID  28800767. 
3. Böttger, Katrin; Hatzikirou, Haralambos; Voss-Böhme, Anja; Cavalcanti-Adam, Elisabetta Ada; Herrero, Miguel A.; Deutsch, Andreas (3 de septiembre de 2015). Alber, Mark S (ed.). "Un efecto Allee emergente es crítico para la iniciación y persistencia de tumores". PLOS Computational Biology . 11 (9): e1004366. Bibcode :2015PLSCB..11E4366B. doi : 10.1371/journal.pcbi.1004366 . ISSN  1553-7358. PMC 4559422 . PMID  26335202. 
4. "Modelado matemático de la formación de patrones biológicos", Modelado de autómatas celulares de la formación de patrones biológicos , Modelado y simulación en ciencia, ingeniería y tecnología, Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 45-56, 2005, doi : 10.1007/0-8176-4415-6_3, ISBN 978-0-8176-4281-5, consultado el 25 de mayo de 2021
5. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Peruani, F.; Deutsch, A. (2017-02-27). "Extracción de reglas de autómatas celulares a partir de modelos físicos de ecuaciones de Langevin para migración celular individual y colectiva". Journal of Mathematical Biology . 75 (5): 1075–1100. doi :10.1007/s00285-017-1106-9. ISSN  0303-6812. PMID  28243720. S2CID  32456636.
6. Nava-Sedeño, JM; Hatzikirou, H.; Klages, R.; Deutsch, A. (5 de diciembre de 2017). "Modelos de autómatas celulares para paseos aleatorios correlacionados en el tiempo: derivación y análisis". Scientific Reports . 7 (1): 16952. arXiv : 1802.04201 . Bibcode :2017NatSR...716952N. doi :10.1038/s41598-017-17317-x. ISSN  2045-2322. PMC 5717221 . PMID  29209065. 
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Enlaces externos

• Simulador Bio-LGCA: un simulador en línea con interacciones elementales con valores de parámetros personalizables.
• Paquete Python BIO-LGCA: un paquete Python de código abierto para implementar simulaciones del modelo BIO-LGCA.