Axonometría

El proceso de proyectar un objeto tridimensional sobre un plano bidimensional.

Proyección caballeresca de arco de medio punto.

La axonometría es un procedimiento gráfico perteneciente a la geometría descriptiva que genera una imagen plana de un objeto tridimensional. El término "axonometría" significa "medir a lo largo de ejes ", e indica que las dimensiones y la escala de los ejes de coordenadas juegan un papel crucial. El resultado de un procedimiento axonométrico es una proyección paralela del objeto a escala uniforme. En general, la proyección paralela resultante es oblicua (los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen), lo que en este contexto se llama axonometría ortogonal .

En el dibujo técnico y en la arquitectura , la perspectiva axonométrica es una forma de representación bidimensional de objetos tridimensionales cuyo objetivo es conservar la impresión de volumen o relieve . A veces también llamada perspectiva rápida o perspectiva artificial, se diferencia de la perspectiva cónica y no representa lo que el ojo ve realmente: en particular, las líneas paralelas permanecen paralelas y los objetos distantes no se reducen de tamaño. Se puede considerar una perspectiva cónica cuyo centro ha sido desplazado hasta el infinito, es decir, muy lejos del objeto observado.

El término axonometría se utiliza tanto para el procedimiento gráfico descrito a continuación, como para la imagen producida por este procedimiento.

La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , que en la literatura inglesa suele referirse a la axonometría ortogonal .

Principio de axonometría

El punto es la proyección de un punto sobre el plano de proyección Π . Los escorzos son , y . ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

El teorema de Pohlke es la base del siguiente procedimiento para construir una proyección paralela a escala de un objeto tridimensional: ^{[1] [2]}

1. Seleccione proyecciones de los ejes de coordenadas de modo que los tres ejes de coordenadas no se reduzcan a un único punto o línea. Normalmente, el eje z es vertical.
2. Seleccione para estas proyecciones los escorzos , , y , donde ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. La proyección de un punto se determina en tres subpasos (el resultado es independiente del orden de estos subpasos): ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$
   • comenzando en el punto , muévete la cantidad en la dirección de , luego ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ${\displaystyle v_{x}\cdot x}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$
   • moverse por la cantidad en la dirección de , entonces ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$
   • moverse por la cantidad en la dirección de y finalmente ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$
4. Marca la posición final como punto . ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para obtener resultados no distorsionados, seleccione con cuidado las proyecciones de los ejes y los escorzos (ver más abajo). Para producir una proyección ortográfica , solo se seleccionan libremente las proyecciones de los ejes de coordenadas; los escorzos son fijos (ver de:orthogonale Axonometrie). ^[3]

La elección de las imágenes de los ejes y los escorzos

Parámetros y notaciones

Notación:

• ${\displaystyle \alpha :}$ángulo entre el eje y el eje ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$
• ${\displaystyle \beta :}$ángulo entre el eje y el eje ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$
• ${\displaystyle \gamma :}$ángulo entre el eje y el eje. ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$

Los ángulos se pueden elegir de manera que Los escorzos : ${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\ .}$
${\displaystyle 0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\ .}$

Sólo con la elección adecuada de ángulos y escorzos se obtienen imágenes sin distorsión. El siguiente diagrama muestra las imágenes del cubo unitario para distintos ángulos y escorzos y ofrece algunas sugerencias sobre cómo realizar estas elecciones personales.

Varias imágenes axonométricas de un cubo unitario. (El plano de la imagen es paralelo al plano yz).
Las imágenes de la izquierda y la del extremo derecho parecen más cuboides prolongados que un cubo.

Axonometría (perspectiva caballeresca) de una casa sobre papel con estampado de cuadros.

Para mantener el dibujo simple, se deben elegir escorzos simples, por ejemplo o . ${\displaystyle 1.0}$ ${\displaystyle 0.5}$

Si dos escorzos son iguales, la proyección se llama dimétrica .
Si los tres escorzos son iguales, la proyección se llama isométrica .
Si todos los escorzos son diferentes, la proyección se llama trimétrica .

Los parámetros del diagrama de la derecha (por ejemplo, de la casa dibujada en papel cuadriculado) son: Por lo tanto, se trata de una axonometría dimétrica . El plano de la imagen es paralelo al plano yz y cualquier figura plana paralela al plano yz aparece en su forma verdadera. ${\displaystyle \alpha =135^{\circ },\beta =90^{\circ },\ v_{y}=v_{z}=1,\;v_{x}=1/{\sqrt {2}}\ .}$

Axonometrías especiales

Parámetros de axonometrías especiales.

Proyección de ingeniero

En este caso ^{[4] [5]}

• Los escorzos son: (axonometría dimétrica) y ${\displaystyle v_{x}=0.5,\ v_{y}=v_{z}=1\ }$
• Los ángulos entre los ejes son: ${\displaystyle \alpha =132^{\circ },\ \beta =97^{\circ }\ .}$

Estos ángulos están marcados en muchas escuadras alemanas .

Ventajas de una proyección ingenieril:

• escorzos simples,
• una proyección ortográfica de escala uniforme con un factor de escala de 1,06,
• El contorno de una esfera es un círculo (en general, una elipse).

Para más detalles: ver de:Axonometrie.

Perspectiva arrogante, perspectiva de gabinete

• plano de imagen paralelo al plano yz.

En la literatura, los términos "perspectiva caballeresca" y "perspectiva de gabinete" no están definidos de manera uniforme. La definición anterior es la más general. A menudo, se aplican restricciones adicionales. ^{[6] [7]} Por ejemplo:

Perspectiva del gabinete: seleccione adicionalmente (oblicua) y (dimétrica), ${\displaystyle \alpha =135^{\circ }}$ ${\displaystyle v_{x}=0.5}$

perspectiva caballeresca: elija adicionalmente (oblicua) e (isométrica). ${\displaystyle \alpha =135^{\circ }}$ ${\displaystyle v_{x}=1}$

Vista aérea, proyección militar

• plano de imagen paralelo al plano xy.

Proyección militar: elegir adicionalmente (isométrica). ${\displaystyle v_{z}=1}$

Estas axonometrías se utilizan a menudo en mapas de ciudades, con el fin de mantener las figuras horizontales sin distorsiones.

Axonometría isométrica

Isometría estándar: cubo, cuboide, casa y esfera.

(No debe confundirse con una isometría entre espacios métricos).

En una axonometría isométrica, todos los escorzos son iguales. Los ángulos se pueden elegir de forma arbitraria, pero una opción común es . ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }}$

Para la isometría estándar o simplemente isometría se elige:

• ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$(todos los ejes sin distorsión)
• ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }\ .}$

La ventaja de una isometría estándar:

• Las coordenadas se pueden tomar sin cambios,
• La imagen es una proyección ortográfica escalada con factor de escala . Por lo tanto, la imagen tiene una buena impresión y el contorno de una esfera es un círculo. ${\displaystyle {\sqrt {1.5}}=1.225}$
• Algunos sistemas de gráficos por computadora (por ejemplo, xfig ) proporcionan un raster adecuado (ver diagrama) como soporte.

Para evitar la descamación, se pueden elegir escorzos poco prácticos.

• ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}={\sqrt {2/3}}}$(en lugar de 1)

y la imagen es una proyección ortográfica (sin escala).

Varias axonometrías de una torre
proyección militar dimétrica:, proyecciones dimétricas de ingeniería y de caballería:, axonometría isométrica: ${\displaystyle v_{z}=0.5,v_{x,y}=1}$ ${\displaystyle v_{x}=0.5,v_{y,z}=1}$ ${\displaystyle v_{x,y,z}=1}$

Círculos en axonometría

Una proyección paralela de un círculo es, en general, una elipse. Un caso especial importante se produce si el plano del círculo es paralelo al plano de la imagen: la imagen del círculo es entonces un círculo congruente. En el diagrama, el círculo contenido en la cara frontal no está distorsionado. Si la imagen de un círculo es una elipse, se pueden representar cuatro puntos en los diámetros ortogonales y el cuadrado de tangentes circundante y, en el paralelogramo de la imagen, rellenar una elipse a mano. Un método mejor, pero que requiere más tiempo, consiste en dibujar las imágenes de dos diámetros perpendiculares del círculo, que son diámetros conjugados de la elipse de la imagen, determinar los ejes de la elipse con la construcción de Rytz y dibujar la elipse .

• 
  Perspectiva arrogante: círculos
• 
  Proyección militar: esfera

Esferas en axonometría

En una axonometría general de una esfera, el contorno de la imagen es una elipse. El contorno de una esfera es un círculo solo en una axonometría ortogonal . Pero, como la proyección de ingeniería y la isometría estándar son proyecciones ortográficas a escala, el contorno de una esfera también es un círculo en estos casos. Como muestra el diagrama, una elipse como contorno de una esfera puede ser confusa, por lo que, si una esfera es parte de un objeto que se va a representar, se debe elegir una axonometría ortogonal, una proyección de ingeniería o una isometría estándar.

Referencias

• Graf, Ulrich; Barner, Martín (1961). Geometría de Darstellende . Heidelberg: Quelle & Meyer. ISBN 3-494-00488-9.
• Joder, Kirch Nickel (1998). Geometría de Darstellende . Leipzig: Fachbuch-Verlag. ISBN 3-446-00778-4.
• Leopold, Cornelie (2005). Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung . Stuttgart: Kohlhammer Verlag . ISBN 3-17-018489-X.
• Brailov, Aleksandr Yurievich (2016). Gráficos de ingeniería: fundamentos teóricos de la geometría de ingeniería para el diseño . Springer. ISBN 978-3-319-29717-0.
• Stärk, Roland (1978). Geometría de Darstellende . Schöningh. ISBN 3-506-37443-5.

Notas

1. Graf 1961, pág. 144.
2. Stärk 1978, pág. 156.
3. Graf 1961, pág. 145.
4. Graf 1961, pág. 155.
5. Stärk 1978, pág. 168.
6. Graf 1961, pág. 95.
7. Stärk 1978, pág. 159.

Enlaces externos

• Axonometría ortogonal